Zmienna losowa i twierdzenia graniczne
Zadanie 1
Zmienna losowa ma rozkład normalny N(40 ; 8). Należy obliczyć:
prawdopdobieństwo P(X>24) i wynik przedstawić graficznie.
Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = 2X - 6
Odp.: 0,9772; E(Y)=74; D2(Y)=256
Zadanie 2
Długość zużywanego paska papieru do wydruku paragonu w sklepie samoobsługowym w sąsiedztwie Uczelni jest zmienną losową, której rozkład charakteryzuje wartość oczekiwana 8,5 cm i odchylenie standardowe 1,2 cm.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wydrukowanie paragonów 100 klientom kasjerka zużyje pasek papieru o długości przekraczającej 850 cm.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wydrukowanie paragonów 100 klientom kasjerka zużyje pasek papieru o długości nieprzekraczającej 815 cm.
Odp.: 0,5; 0,0018
Zadanie 3
W wyniku kradzieży majonezów w supermarkecie firma traci dziennie średnio 105 zł z przeciętnym zróżnicowaniem 40 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kwartalna (92 dni) strata spowodowana kradzieżą majonezów wyniesie co najwyżej 10 000 zł.
Odp.: 0,81
Zadanie 4
Czas obsługi klienta na poczcie w mieście stołecznym jest zmienną losową, której rozkład charakteryzuje wartość oczekiwana 4,5 min. i odchylenie standardowe 0,6 min.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas obsługi 100 klientów będzie dłuższy niż 450 min.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas obsługi 100 klientów będzie krótszy niż 430 min.
Odp.: 0,5; 0,0004
Zadanie 5
Firma Herr O. Stratt ubezpiecza domy od pożarów w miejscowościach Ź. i Ś. Wartość oczekiwana w rozkładach rocznej liczby pożarów w każdym z miast wynosi odpowiednio, 1,5 i 2, a ponadto wartość wariancji w tych rozkładach wynosi odpowiednio 1,5 i 2 . Stała wartość kwoty odszkodowania za 1 pożar w Ź. wynosi 80 tys. zł, w Ś. 50 tys.
a/ W której z miejscowości wartość oczekiwana rocznej wypłaty jest wyższa?
b/ Gdzie zróżnicowanie rocznej wypłaty jest wyższe?
Odp.: Ż; Ś
Zadanie 6
Gracz piłkarski H. Pochodnia za popełniony w meczu błąd płaci karę 5 tys. zł. Gracz R. Lewin płaci zaś karę 3 tys. zł. Rozkład liczby błędów popełnianych w jednym meczu przez każdego z graczy można opisać za pomocą jednego typu rozkładu z wartością oczekiwana 2 (Pochodnia) i 3 (Lewin) i wariancją równo odpowiednio 2 (Pochodnia) i 3 (Lewin).
a/ W przypadku którego z graczy wartość oczekiwana kary za błędy w meczu jest wyższa?
b/ W przypadku którego z graczy zróżnicowanie kary za błędy w meczu jest niższe?
Odp.: P, L
Zadanie 7
Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia zeznania podatkowego przez osobę z podstawowym wykształceniem wynosi 0,2. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 25 000 podatników z wykształceniem podstawowym co najmniej 4800 wypełni błędnie zeznanie podatkowe jest większe od 0,3?
Odp.: 0,9992
Zadanie 8
Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia wniosku o wymianę prawa jazdy przez osobę z podstawowym wykształceniem wynosi 0,1. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 30 000 kierowców z wykształceniem podstawowym co najmniej 3120 wypełni błędnie wniosek jest większe od 0,5?
Odp.: 0,0105
Zadanie 9
Wiadomo, że prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji wynosi 0,1. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:
a) spośród 4 klientów przynajmniej 1 zgłosi reklamację,
b) spośród 400 klientów reklamację zgłosi co najmniej 38 osób? Proszę uzasadnić metodę rozwiązania.
Odp.: 0,3439; 0,6306
Zadanie 10
Wiadomo, że prawdopodobieństwo nieterminowej realizacji faktury wynosi 0,2. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:
spośród 3 klientów co najwyżej 2 nie zapłaci w terminie faktury,
spośród 100 klientów co najwyżej 67 nie zapłaci faktury w terminie? Proszę uzasadnić metodę rozwiązania.
Odp.: 0,992; ≈1
Zadanie 11
Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez maszynistkę na stronie tekstu wynosi 0,2. Maszynistka przepisała tekst liczący 2 strony.
Proszę przedstawić funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X będącej liczbą stron zawierających błąd oraz wyznaczyć dwa podstawowe parametry tego rozkładu.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczbą stron zawierających błąd jest większa niż 1?
Odp.:; E(Y)=0,4; D(Y)=0,56; 0,04
Zadanie 12
Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez maszynistkę na stronie tekstu wynosi 0,3. Maszynistka przepisała tekst liczący 2 strony.
Proszę przedstawić funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X będącej liczbą stron zawierających błąd oraz wyznaczyć dwa podstawowe parametry tego rozkładu.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczbą stron zawierających błąd jest większa niż 1?
Odp.: E(X)=0,6; D(X)=0,42; 0,09
Zadanie 13
Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia zeznania podatkowego przez osobę z wykształceniem wyższym wynosi 0,1. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 2000 podatników z wykształceniem podstawowym co najwyżej 600 wypełni błędnie zeznanie podatkowe jest mniejsze od 0,03?
Odp.: ≈1
Zadanie 14
Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia wniosku o wymianę prawa jazdy przez osobę z wykształceniem wyższym wynosi 0,01. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 3 000 kierowców z wykształceniem podstawowym co najmniej 320 wypełni błędnie wniosek jest mniejsze od 0,2?
Odp.: ≈0
Zadanie 15
Zmienna losowa ma rozkład normalny N(80 ; 16). Należy obliczyć:
prawdopodobieństwo P(X>48) i wynik przedstawić graficznie.
Kwartyl trzeci w tym rozkładzie,
Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = 3X
Odp.: 0,9773; E(Y)=240; D2(Y)=1296
Zadanie 16
W wyniku kradzieży majonezów w supermarkecie firma traci dziennie średnio 205 zł z przeciętnym zróżnicowaniem 30 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kwartalna (92 dni) strata spowodowana kradzieżą majonezów wyniesie:
a) 10 000 zł
b) co najwyżej 20 000 zł.
Odp.: 0; ≈0,00
Zadanie 17
Prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji przez nabywcę produktu wynosi 0,1.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród trzech nabywców jeden zgłosi reklamację?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 1000 nabywców co najmniej 120 zgłosi reklamację lecz nie więcej niż połowa?
Odp.: 0,243; 0,9825
Zadanie 18
Zmienna losowa ma rozkład normalny N(40 ; 8). Należy obliczyć:
prawdopodobieństwo P(X>36) i wynik przedstawić graficznie.
Kwartyl pierwszy w tym rozkładzie,
Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = 4X
Odp.: 0,6915; 34,6; E(Y)=160; D2(Y)=1088
Zadanie 19
Zmienna losowa ma rozkład normalny N(20 ; 4). Należy obliczyć:
prawdopodobieństwo P(X>12) i wynik przedstawić graficznie.
Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = ½X
Odp.: 0,9772; E(Y)=10; D2(Y)=4
Zadanie 20
Dzienne obroty hurtowni farmaceutycznych w pewnym województwie są zmienną losową o rozkładzie symetrycznym z wartością średnią 3250 zł i odchyleniem standardowym 750 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
w dowolnie wybranym dniu obroty przekroczą 3250 zł?
obroty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 35 000 zł?
Odp.: 0,5; ≈1
Zadanie 21
Zmienna losowa ma rozkład normalny N(10 ; 2). Należy obliczyć:
prawdopodobieństwo P(X>9) i wynik przedstawić graficznie.
Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = ¼X
Odp.: ≈0,691; E(Y)=2,5, D2(Y)=0,25
Zadanie 22
W wyniku awarii w dostawach prądu firma traci dziennie średnio 7,5 zł z przeciętnym zróżnicowaniem 3zł.
jakie jest prawdopodobieństwo, że w dowolnie wybranym dniu strata spowodowana awarią nie przekroczy 7,5 zł?
jakie jest prawdopodobieństwo, że półroczna (183 dni) strata spowodowana awariami wyniesie co najmniej 1500 zł
Odp.: nie wiadomo, 0,9992
Zadanie 23
Miesięczne wynagrodzenie w populacji pracowników światowe koncernu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 2000 $ i odchyleniem standardowym σ.
Wyznacz wartość parametru σ wiedząc, że 15,86% pracowników tego koncernu zarabia miesięcznie nie więcej niż 1800 $.
Jaka część pracowników tej firmy osiąga miesięczne wynagrodzenie wyższe niż 2000$ lecz nie przekraczające 2200 $.
Odp.: 200$; 34,13%
Zadanie 24
Wiadomo, że rozkład kosztów pracy robotników wykwalifikowanych w budownictwie charakteryzują następujące parametry: E(X)= 9,5 tys. zł D(X)= 1 tys. zł.
Jakie koszty pracy 200 pracowników zatrudnionych na jednej z budów należy uznać za nietypowe?
Wyznaczyć trzeci kwarty kosztów pracy 200 pracowników tej budowy.
Odp.: poniżej 1885 tys. zł oraz powyżej 1914,1 tys. zł, 1909,5 tys. zł
Zadanie 25
Wskaźnik aktywności zawodowej Polaków w roku 2002 wyniósł 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
wśród 2 osób mieszkających w Polsce każda będzie aktywna zawodowo?
wśród 1000 Polaków co najmniej 850 będzie aktywnych zawodowo? Uzasadnij metodę rozwiązania oraz przedstaw wynik graficznie.
Odp.: 0,64; 0,0001
Zadanie 26
Miesięczne wynagrodzenie w populacji pracowników światowe koncernu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 4000 $ i odchyleniem standardowym σ.
Wyznacz wartość parametru σ wiedząc, że 15,86% pracowników tego koncernu zarabia miesięcznie nie więcej niż 2400 $.
Jaka część pracowników tej firmy osiąga miesięczne wynagrodzenie wyższe niż 4000$ lecz nie przekraczające 5600 $.
Odp.: 1600$, 34,13%
Zadanie 27
Wiadomo, że rozkład kosztów pracy robotników wykwalifikowanych w rybołówstwie charakteryzują następujące parametry: E(X)= 12 tys. zł D(X)= 2 tys. zł.
Jakie koszty pracy 200 pracowników zatrudnionych w ostatnim sezonie w przedsiębiorstwie dalekomorskim należy uznać za nietypowe?
Wyznaczyć trzeci kwarty kosztów pracy 200 pracowników tego przedsiębiorstwa.
Odp.: poniżej 2371,7 tys. zł oraz powyżej 2428,3 tys. zł, 2419,1 tys. zł.
Zadanie 28
Wskaźnik aktywności zawodowej Polaków zamieszkałych na wsi w roku 2002 wyniósł 60%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
wśród 2 osób mieszkających na wsi każda będzie aktywna zawodowo?
wśród 1000 mieszkańców wsi co najmniej 750 będzie aktywnych zawodowo? Uzasadnij metodę rozwiązania oraz przedstaw wynik graficznie.
Odp.: 0,36, ≈0
Zadanie 29
Waga jednostkowego produktu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością średnią 50 dkg oraz odchyleniem standardowym 4 dkg. Ile sztuk produktu, w partii 20 000 sztuk będzie charakteryzowało się wagą powyżej 48,2 dkg?
Odp.: 13472
Zadanie 30
Dzienne straty hurtowni ołówków są zmienną losową o wartości średniej 35 zł z odchyleniem standardowym 5 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
straty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 350 zł?
średnia dziennych strat, realizowanych w okresie 100 dni, będzie zawierać się w przedziale od 32 zł do 33 zł?
Odp.: 0,5; 0,000003
Zadanie 31
Objętość jednostkowego opakowania produktu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością średnią 100 litrów oraz odchyleniem standardowym 20 litry. Ile opakowań, w partii 40 000 będzie charakteryzowało się objętością powyżej 85 litra?
Odp.: 30935
Zadanie 32
Dzienne obroty hurtowni farmaceutycznych w pewnym województwie są zmienną losową o wartości średniej 5500 zł z odchyleniem standardowym 1050 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
obroty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 570 000 zł?
średnia z dziennych obrotów, realizowanych w okresie 100 dni, będzie zawierać się w przedziale od 5200 zł do 5600 zł?
Odp.: ≈0,028; 0,8274
1
1
1