Nr ćwiczenia 1	Temat: Wyznaczanie rozkładu wyników pomiarów (krzywa Gaussa) wykonanych przy użyciu mostka Wheatstone'a	Ocena z teorii
Nr zespołu 5	Imię i nazwisko Paweł Furman	Ocena za sprawozda.
Data 23.02.1999	Wydział, rok, grupa EAIiE, I rok AIR, 2	Uwagi

Cel ćwiczenia: Wykazanie statystycznego charakteru wyników pomiarów wykonanych przy użyciu mostka Wheatstone'a. Pomiar nieznanego oporu za pomocą mostka Wheatstone'a.

1.Błąd pomiaru.

Wszystkie pomiary fizyczne mogą być dokonywane tylko z pewnym określonym stopniem dokładności. Powodem tego jest niedoskonałość przyrządów pomiarowych, którymi się posługujemy, nieprecyzyjność naszych zmysłów biorących udziałów obserwacjach, a także nieokreśloność samych obiektów mierzonych. Wyniki pomiarów nie dają nigdy rzeczywistych wartości mierzonej wielkości, lecz wartości do nich przybliżone. Niepewność wyniku pomiaru narzuca konieczność jej oszacowania celem określenia stopnia zaufania, jakim można obdarzyć pomiar. Opracowanie wyników powinno zawierać także miarę ich wiarygodności czyli błąd pomiaru.

2.Źródła i rodzaje błędów.

Ze względu na źródła, błędy możemy podzielić na błędy przyrządu pomiarowego, błędy metody pomiarowej, błędy spowodowane niedokładnością zmysłów lub statystycznym charakterem zjawiska. Ze względu na sposób w jaki błędy wpływają na wynik pomiaru dzielimy je na:

1. błędy systematyczne

2. błędy grube

3. błędy przypadkowe

ad.a)

Zawsze w ten sam sposób wpływają na wyniki pomiarów wykonywanych za pomocą tej samej metody i aparatury pomiarowej. Przy zmianie warunków pomiaru według określonej prawidłowości(lub powtarzaniu pomiaru), błąd systematyczny zachowuje stałą wartość lub zmienia się w sposób prawidłowy. Przyczyną tego błędu jest najczęściej niedoskonałe wykonanie przyrządów pomiarowych. _

Miarą błędu systematycznego jest odchylenie wartości średniej ( x ) od wartości rzeczywistej (x₀).

_{_}

ad.b)

Powstają na skutek nieumiejętności użycia danego przyrządu, pomyłek przy odczytywaniu i zapisywaniu wyników. Można ich uniknąć poprzez dobre przygotowanie ćwiczenia i staranne wykonanie pomiarów.

ad.c)

Powstają przy nastawianiu przyrządów pomiarowych, na skutek zmian mierzonej wielkości oraz w wyniku ograniczoności naszych zmysłów. Przy błędzie przypadkowym dominuje stochastyczny rozrzut wyników, ale środek ciężkości krzywej rozkładu jest równy wartości rzeczywistej. Istnieje taka sama szansa uzyskania wyników mniejszych i większych od x₀. Powtarzanie pomiaru pozwala na łatwe wykrycie błędu przypadkowego.

3.Obliczanie błędu przypadkowego, rozkład Gaussa

W celu określenia błędu przypadkowego określa się błąd bezwzględny. Jest to różnica między wielkością zmierzoną x_i a wielkością rzeczywistą x₀

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wielkości rzeczywistej. Błąd względny pomnożony przez 100% nosi nazwę błędu procentowego

Gdy występuje statystyczny rozrzut wyników kolejnych pomiarów wokół wartości średniej to mamy do czynienia z rozkładem normalnym lub rozkładem Gaussa. Rozkład błędów przypadkowych dany jest funkcją

Funkcja ta przedstawia zależność gęstości prawdopodobieństwa występowania błędu od jego wielkości. Wykres tej funkcji ma kształt dzwonu symetrycznego względem osi pionowej przechodzącej przez punkt x = x₀, szerokość charakteryzuje odchylenie standardowe.

Wnioski teorii prawdopodobieństwa nie mają charakteru pewników, więc dokładnej wartości mierzonej x ustalić nie możemy. Można tylko znaleźć najbardziej prawdopodobną jej wartość. Z rozważań nad krzywą Gaussa okazuje się że najbardziej prawdopodobną wartością, a więc najbardziej zbliżoną do prawdziwej do wartości rzeczywistej, jest wartość średnia. Możemy więc przyjąć za wartość rzeczywistą średnią arytmetyczną. Wprowadzając do wzoru na odchylenie od średniej arytmetycznej otrzymujemy

Prawdopodobieństwo otrzymania wartości x_i wyraża się wzorem

Z teorii prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo L(x) otrzymania w kolejnych pomiarach wartości x₁,x₂,...,x_n

wynosi_{___}

To wyrażenie przy
osiąga maksimum jeżeli

Otrzymany wynik zwany jest postulatem Gaussa; wynika z niego że wielkość x jest średnią arytmetyczną wyrażającą wzorem

Miarą błędu przypadkowego jest błąd średni pojedynczego pomiaru czyli odchylenie standardowe; pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów błędów bezwzględnych δ_i . Jednak nie znamy rzeczywistych błędów bezwzględnych więc błąd średni kwadratowy wyraża się przez odchylenia od wartości średniej

Ponieważ średnia arytmetyczna również jest tylko przybliżeniem wartości rzeczywistej więc określa się błąd średni średniej arytmetycznej (odchylenie standardowe średniej). Jest ono miarą błędu każdego z pomiarów wielkości prostej, wchodzących w skład serii.

Jeżeli nasza wielkość jest funkcją złożoną z(x₁,x₂,...x_n)wielu wielkości prostych, które mierzyliśmy wielokrotnie to wówczas odchylenie standardowe tej wielkości złożonej ( błąd bezwzględny średni ) określa wzór

Odchylenie standardowe średniej arytmetycznej wielkości złożonej wyraża się wzorem

W przypadku wielkości złożonej wpływ błędów wielkości prostych możemy uwzględnić obliczając tzw. błąd maksymalny, określając jaki maksymalny wpływ na wynik końcowy posiadają błędy systematyczne poszczególnych wielkości prostych. Gdy nasza wielkość z (x₁,x₂,...) posiada l-zmiennych to błąd maksymalny określa się jako

gdzie
jest równe 3σ

4. Mostek Wheatstone'a

R - opór dekadowy;

R_x - opór nieznany;

G - galwanometr;

A - początek uzwojenia potencjometru (0);

S - suwak;

B - koniec uzwojenia potencjometru (1000).

Mostek Wheatstone'a jest układem do pomiaru (porównywania) oporów. Aby dokonać pomiaru nieznanego oporu R_x należy najpierw doprowadzić mostek do stanu równowagi, a następnie korzystając z prawa Ohma i praw Kirchhoffa rozwiązujemy układ mostka, z którego otrzymujemy nieznany opór R_x.

n_x - wskazania potencjometru spiralnego;

n_1000-x - ilość pozostałych działek (1000 - n_x)

---