Macierz Odwrotna

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n.

Mówimy, że A jest macierzą odwracalną, jeżeli istnieje taka macierz B, że

. (*)

Jeżeli A jest odwracalna, to macierz B, która spełnia równość (*) nazywamy macierzą odwrotną do A i oznaczamy symbolem
.

Tw:

Jeżeli macierz A jest odwracalna, to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna do A.

(Inaczej: macierz odwrotna do odwracalnej jest wyznaczona jednoznacznie.)

Dowód

Załóżmy, że istnieją dwie różne macierze B, C odwrotne do A. Wówczas

oraz

Korzystając z własności mnożenia macierzy otrzymamy

.

Własności macierzy odwrotnej

wyznaczanie macierzy odwrotnej (sposób pierwszy)

Macierzą dołączoną macierzy kwadratowej A nazywamy macierz

TW.

Jeżeli A jest macierzą nieosobliwą, to macierz odwrotna
jest równa macierzy dołączonej do A podzielonej przez wyznacznik macierzy A.

.

Wyznaczanie macierzy odwrotnej za pomocą powyższego wzoru jest uciążliwe rachunkowo, wymaga obliczenia
dopełnień algebraicznych macierzy A.

Rozwiązywanie równań macierzowych

Niech dane będą macierze:

nieosobliwa macierz A,
oraz macierz B, C,
,
.

Rozwiązaniem równania macierzowego

jest macierz
,
.

Rozwiązaniem równania macierzowego

jest macierz
,
.