Równanie ruchu płynu w formie różniczkowej

Rozpatrzymy postać całkową równania ruchu obszaru płynnego V ograniczonego zamkniętą powierzchnią płynną A, która wynika z zasady zmiany pędu:

Rozwiniemy wyrażenie opisujące jednostkową siłę powierzchniową, uwzględniając postać tensora naprężeń S:

Sumę (wypadkową) sił powierzchniowych działających na zamkniętą powierzchnię płynną A, która występuje w równaniu ruchu, można zatem przedstawić w postaci:

Każdą ze składowych powyższej sumy (przy wersorach
) można przedstawić w postaci sumy trzech całek i przekształcić na podstawie twierdzenia Greena-Gaussa-Ostrogradzkiego. Przykładowo:

Zapisując następnie przekształcone składowe sumy pod jednym znakiem całki, otrzymamy:

Funkcja, która występuje pod znakiem całki potrójnej po prawej stronie tego wyrażenia, może być przedstawiona jako iloczyn operatora Hamiltona (nabla) i tensora naprężeń. Zatem

Wyrażenie
jest nazywane dywergencją tensora naprężeń.

Przekształconą postać wyrażenia opisującego sumę sił powierzchniowych uwzględnimy w równaniu ruchu obszaru płynnego V. Otrzymamy:

Zapisując pod jednym znakiem całki, mamy

Powyższa całka musi być równa zeru dla dowolnych warunków brzegowych - ze względu
na dowolność przyjęcia obszaru płynnego V. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy funkcja podcałkowa jest równa zeru, zatem:

Jest to ogólne równanie różniczkowe ruchu płynu w postaci wektorowej. Jest ono równoważne trzem równaniom skalarnym, które są nazywane równaniami ruchu w naprężeniach:

Ogólne równanie ruchu płynu ma postać:

Jego szczególnym przypadkiem jest równanie Eulera, które dotyczy modelu płynu nielepkiego (μ:=0) i nieprzewodzącego ciepła (λ:=0). W płynie nielepkim nie mogą występować naprężenia styczne, a naprężenia normalne są równe (-p). Tensor naprężeń przyjmuje wówczas postać analogiczną jak dla płynu w spoczynku:

Dywergencja tensora naprężeń jest natomiast równa:

Równanie ruchu płynu przyjmuje wtedy postać:

Dzieląc obustronnie przez ρ otrzymamy równanie Eulera w postaci:

(Warto zauważyć, że dla
, otrzymamy z tego równania znane ze statyki równanie równowagi płynu w spoczynku:
- jako szczególny przypadek równania ruchu).

Dr inż. Janusz Bidziński Mechanika płynów - materiały pomocnicze dla studiów niestacjonarnych