Wykład 5: Zmienna losowa typu ciągłego

Zmienna losowa - funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Dokładniej: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej liczb rzeczywistych.

Definicja (przypomnienie)

Niech
będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową (rzeczywistą) nazywamy dowolną funkcję z tej przestrzeni w przestrzeń euklidesową:

.

Ciągły rozkład prawdopodobieństwa - rozkład prawdopodobieństwa, dla którego dystrybuanta jest funkcją ciągłą.

Równoważnie można powiedzieć, że zmienna losowa X posiadająca rozkład ciągły ma
dla wszystkich
.

Dla rozkładów ciągłych suma nieskończonej liczby zdarzeń o zerowym prawdopodobieństwie może być zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie.

Obrazowo - pojedynczy punkt ma zerowe rozmiary, jednak odcinek złożony z nieskończonej liczby takich punktów ma już niezerową długość. Podobne zjawisko nie zachodzi dla rozkładów dyskretnych.

Od góry: dystrybuanta pewnego dyskretnego rozkładu, rozkładu ciągłego oraz rozkładu mającego zarówno ciągłą, jak i dyskretną część.

Przykłady ciągłej zmiennej losowej

Z rozsądną dokładnością można przyjąć, że zmienna "wzrost losowo wybranego człowieka żyjącego na Ziemi wyrażony w centymetrach" jest zmienną typu ciągłego. Zakres jej wartości z pewnością mieści się w przedziale (0, 300).

Analogicznie, zmienna "długość kroku pani X wyrażona w centymetrach" też jest ciągła.

Natomiast zmienna "liczba stron wybranej na chybił-trafił książki z Biblioteki Głównej PK" jest dyskretna - trudno się zgodzić, by mogła ona przyjąć wartość 32,7.

W naturze wszystko jest skwantowane, a pomiary są robione ze skończoną dokładnością, więc samo istnienie zmiennych ciągłych jest dyskusyjne. Zmienne losowe ciągłe są jednak w praktyce lepszym od zmiennych dyskretnych matematycznym modelem wielu zjawisk. Tak jest szczególnie w przypadku, gdy możliwych wartości dyskretnej zmiennej losowej jest bardzo dużo lub wartości te są nieznane. Wówczas metody analizy danych oparte na zmiennych ciągłych dają lepsze rezultaty, niż metody oparte na zmiennych dyskretnych.

Rozkłady dyskretne → Rozkłady ciągłe

równomierny (jednostajny) → równomierny

geometryczny → wykładniczy

Bernoulliego(dwumianowy),Poissona→ normalny(Gaussa)

Definicja dystrybuanty (przypomnienie)

Niech
będzie rozkładem prawdopodobieństwa na prostej. Funkcję
daną wzorem

nazywamy dystrybuantą rozkładu
.

Własności dystrybuanty zmiennej losowej typu ciągłego

Funkcja F: R → [0;1] jest dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:

1. ciągła;

2. niemalejąca;

.

Korzystając z dystrybuanty, możemy obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń postaci

.

Dystrybuanta w pełni wyznacza rozkład zmiennej losowej - dwie zmienne mające taką samą dystrybuantę mają ten sam rozkład.

Zmienna losowa dyskretna - wykres punktowy funkcji rozkładu prawdopodobieństwa.

Zmienna losowa ciągła - funkcja f gęstości rozkładu.

Gęstość zmiennej losowej

Gęstość zmiennej losowej X to taka funkcja mierzalna f(x), że

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X to pewna funkcja f: R →[0;∞) przyjmująca wartości wyłącznie nieujemne

f(x) ≥ 0

i taka, że

W szczególności:

Wynika stąd, że dystrybuantę zmiennej losowej X można wyrazić za pomocą funkcji gęstości wzorem:

.

A także:

F'(x) = f(x) .

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest funkcją rozkładu prawdopodobieństwa dla ciągłej zmiennej losowej. Całka oznaczona z takiej funkcji równa jest prawdopodobieństwu wystąpienia zdarzenia zawartego w granicach całkowania:

.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Wartość oczekiwana (przeciętna, średnia), nadzieja matematyczna - w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły (moment zwykły rzędu 1).

Wartość oczekiwana zmiennej losowej ciągłej

Jeżeli X jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(x), to jej wartość oczekiwana wynosi

.

Przykład rozkładu ciągłego - rozkład jednostajny (równomierny) w przedziale [a;b]:

a = 1; b = 3; f(x) = ? F(x)= ? EX = ? P(x∈[2;3]) = ?

Własności EX:

Jeśli istnieją
oraz
, to:

• 
  , gdzie c = const., (dla rozkładu jednopunktowego - zdarzenie pewne)

• 
  (liniowość),

• jeżeli X,Y są niezależne, to
  ,

• jeżeli
  , to
  ,

• 
  ,

• E(X - EX) = 0,

• E(X+Y) = E(X)+E(Y),

• Jeżeli
  , to

.

Przykład: Moment zwykły rzędu n: E(Xⁿ).

Wariancja zmiennej losowej X zdefiniowana jest wzorem:

Var(x) =^def E[(X-EX)²]

Prostszym sposobem wyznaczania wariancji jest wzór:

Var (X)= D²(X) = E(X²) − [E(X)]² .

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.

Moment centralny rzędu n: E[(X-EX)ⁿ].

Własności wariancji:

Var(c)=D²(c) = 0 ,

,

D²(X + b) = D²(X) ,

, gdy X i Y są niezależne.

Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe (odchylenie średnie).

.

---