WEKTORY

Zdanie 4.1

Cztery jednakowe siłomierze, każdy o ciężarze Q = 1 N, zawie­szono jeden pod drugim, a na najniż­szym zawieszono obciążnik o ciężarze P = 2 N. Jakie będą wskazania każdego z siłomierzy?

Odp. 2N, 3N, 4N, 5N

Zadanie 4.2

Dwie siły działają wzdłuż do­wolnych kierunków, a ich wartości są od­powiednio równe: P₁ = 250 N i

P₂ = 750 N. Ich wypadkowa może mieć wartość:

a) O N b) 100 N

c) 800 N d) 1100 N

Zadanie 4.3

Dane są dwie siły o warto­ściach 10 N i 30 N. Która z następujących sił nie może być wypadkową tych sił?

a) 12 N b) 25 N

c) 36 N d) 45 N

Zadanie 4.4

Holownik ciągnie dwie bar­ki - jak na rysunku 4.1. Wszystkie odcin­ki holu są jednakowo wytrzymałe. Który z nich najszybciej się urwie w wypadku przekroczenia jego wytrzymałości: A-B, B-C czy B-D?

Odp. A - B

Zadanie 4.5

Dwie siły o wartościach F₁ = 30 N i F₂ = 40 N działają w kierunkach wzajemnie prostopadłych. Jaką wartość ma siła wypadkowa? Jaki kąt tworzy ona z wektorem F₁?

Odp. F = 50 N; α = 53 ⁰

Zadanie 4.6

Trzy jednakowe siły, każda o wartości F = 25 N, działają wzdłuż trzech kierunków tworzących kąty

α = β = γ =120°, jak na rysunku 4.2. Wypadko­wa siła ma wartość:

a) O N b) 25 N

c) 50 N d) 75 N

Zadanie 4.7

Statek płynie po jeziorze wzdłuż linii prostej z szybkością v₁ = 30 km/h względem brzegu. Przed stat­kiem kursem prostopadłym płynie mo­torówka, zbliżając się do statku. Jaka jest prędkość motorówki, jeżeli ze statku widać, że zbliża się ona do niego pod kątem α = 60°?

Odp. v_m = 52 km/h

Zadanie 4.8

Statek pasażerski regularnie kursuje po rzece między portami A i B. W górę rzeki statek płynie z szybkością v₁ = 15 km/h względem brzegów, nato­miast w dół rzeki - z szybkością v₂ = 25 km/h względem brzegów. Z jaką szyb­kością płynie woda w rzece? Jaka jest szybkość statku względem wody?

Odp. v_s = 20 km/h; v_r = 5 km/h

Zadanie 4.9

Szybkość łódki względem wody w rzece jest n razy większa od szybkości, z jaką płynie woda. Ile razy dłużej będzie trwała podróż łódką pod prąd w górę rzeki w stosunku do czasu potrzebnego na powrót w dół rzeki do portu macierzystego?

Zadanie 4.10

Rybak płynął łódką w górę rzeki. W pewnym momencie zgubił czerpak, który wpadł do wody i popłynął unoszony prądem rzeki. Brak czerpa­ka rybak zauważył dopiero po upły­wie t₁ = 0,5 godziny i natychmiast za­wrócił, płynąc w dół rzeki w pogoni za zgubą z taką samą szybkością względem wody jak pod prąd. Czerpak dogonił w odległości s = 5 km od miej­sca zgubienia. Z jaką szybkością płynie woda w rzece?

Odp. v = 5 km/h

Zadanie 4.11

Młodzieniec postanowił przepłynąć wpław rzekę. Pod jakim ką­tem a do brzegu powinien płynąć, aby znaleźć się dokładnie naprzeciwko miej­sca startu? Jego szybkość względem wody wynosi v, natomiast szybkość wody w rzece wynosi u. Przyjmij jedna­kową szybkość prądu na całej szeroko­ści rzeki. Wskazówka; pod jakim kątem do brzegu powinna być skierowana wy­padkowa prędkość pływaka?

Zadanie 4.12

Łyżwiarz rozpędzi wszy się do szybkości v = 10 m/s, wjechał z roz­pędu na lodową górkę. Na jaką wyso­kość wjechał na tę górkę? Tarcie i opór powietrza można zaniedbać.

Odp. h = 5,1 m

Zadanie 4.13

Popchnięta kulka zaczyna toczyć się pod górę z szybkością począt­kową v₀ po płaszczyźnie nachylonej do poziomu pod kątem α. Po jakim czasie kulka znajdzie się w miejscu startu? Tar­cie i opór powietrza można zaniedbać.

Zadanie 4.14

Ze szczytu równi pochyłej zaczął zsuwać się krążek. Z dołu równi ku górze poruszał się w tym czasie drugi krążek, który w chwil i startu pierwszego miał szybkość v₀ =5 m/s. Obydwa po­ruszają się bez tarcia. Po jakim czasie krążki się spotkają, jeżeli początkowa od­ległość między nimi wynosiła l = 3 m?

Odp. t = 0,6 s

Zadanie 4.15

Ze szczytu ośnieżonej gór­ki po dwu stokach zaczęli zjeżdżać na sankach dwaj chłopcy, których masy wraz z sankami były jednakowe (rysu­nek 4.3.). Stok A jest dwa razy dłuższy niż stok B. Chłopiec zjeżdżający po sto­ku A będzie miał u podnóża góry szyb­kość (nie uwzględniamy tarcia):

a) dwa razy mniejszą niż chłopiec jadący po stoku B,

b) dwa razy większą niż chłopiec jadący po stoku B,

c) cztery razy większą niż chłopiec jadący po stoku B,

d) taką samą jak chłopiec jadący po stoku B.

Zadanie 4.16

Dany jest szereg równi po­chyłych o takiej samej podstawie i różnych kątach nachylenia. Przy jakim kącie a nachylenia równi pochyłej do poziomu umieszczony na jej szczycie ciężarek będzie zsuwał się najkrócej? Należy za­łożyć, że ciężarek może zsuwać się z tej równi bez oporów ruchu.

Odp. α = 45^o

Zadanie 4.17

Z gładkiego klina o kącie nachylenia α = 30° zsuwa się klocek sze­ścienny o masie m = 5 kg, który dodatko­wo ściągany jest siłą o wartości F= 30 N działającą poziomo, jak pokazano na rysunku 4.4. Z jakim przyspieszeniem klocek zsuwa się w dół klina?

Odp. a = 10,1 m/s²

Zadanie 4.18

Na równi pochyłej umiesz­czono dwa ciężarki połączone nicią przerzuconą przez bloczek, którego masę można zaniedbać (rysunek 4.5.). Z jakim przyspieszeniem będą poruszać się ciężarki i w którą stronę, jeżeli mają masy m₁ = 300 g, m₂ = 200 g, a kąt na­chylenia równi do poziomu jest równy α = 30°?

Odp. a = - 0,98 m/s²

Zadanie 4.19

Na szczycie dwóch, stano­wiących jedną całość równi pochyłych umocowany jest niewielki nieruchomy bloczek (rysunek 4.6.). Przez bloczek przerzucono nić, na końcach której umo­cowano dwa ciężarki o masach m₁ i m₂

Nachylenia równi są odpowiednio rów­ne α = 30° i β = 45°. jaki powinien być stosunek mas ciężarków, aby układ był w równowadze?

Zadanie 4.20

Jaką siłą należy działać na ciało o masie m = 5 kg, aby spadało ono z przyspieszeniem a = 15 m/s² ?

Odp. F = 26 N

Zadanie 4.21

Prędkość spadającej ołowia­nej kulki wynosiła w pewnym momen­cie v₁ = 2,92 m/s wzrosła do v₂ =7,82 m/s. Zakładając, że kulka spadała ruchem jednostajnie przyspieszonym, oblicz przyspieszenie tego ruchu.

Odp. a = 9,8 m/s²

Zadanie 4.22

W czasie zawodów spor­towych zmierzono szybkość, z jaką sko­czek z wieży wpada do wody. Wynosiła ona v = 9,8 m/s. Jak długo trwał skok za­wodnika? Przyjmij, że prędkość począt­kowa nie ma składowej pionowej.

Odp. t = 1 s

Zadanie 4.23

Jeden kamień spada z wy­sokości h₁ = 100 cm, natomiast drugi z wysokości h₂ = 400 cm. Ile razy dłużej będzie spadał drugi kamień?

Odp. n = 2

Zadanie 4.24

Na jakiej wysokości nad poziomem ziemi będzie znajdował się kamień puszczony z wysokości 400 cm w momencie, kiedy kamień puszczony z wysokości 100 cm spadnie na ziemię?

a) 2 m b) 2,5 m

c) 3 m d) 3,5 m

Zadanie 4.25

Swobodnie spadający ka­myk na pewnej wysokości h₁ osiągnął szybkość v₁ = 10 m/s, a na mniejszej wy­sokości h₂ osiągnął szybkość V₂ = 30 m/s. Jak długo spadał kamyk z wysokości h₁ do wysokości h₂?

a) około 1 s b) około 2 s

c) około 4 s d) około 20 s

Zadanie 4.26

Z wieży puszczono swo­bodnie kamyk i stwierdzono, że w ostatniej sekundzie ruchu kamyk przebył ¾ całej drogi. Jaką wysokość ma wieża?

Odp. ok. 15 min

Zadanie 4.27

Spadochroniarzowi opada­jącemu ze stałą szybkością v = 5 m/s, na wysokości h = 10 m nad ziemią wypadł niewielki przedmiot. O ile później spa­dochroniarz opadnie na ziemię od upusz­czonego przedmiotu, jeżeli na przedmiot ten nie działały żadne siły oporu?

Odp. Δt = 1s

Zadanie 4.28

Od krawędzi dachu odry­wają się kolejno, w pewnym odstępie czasu, dwie krople wody. Po t = 2 s od chwili rozpoczęcia swobodnego spada­nia drugiej kropli odległość między kro­plami wynosiła s = 25 m. W jakim odstę­pie czasu krople oderwały się od dachu?

Zadanie 4.29

Niewielki kamień rzucono pionowo do góry z szybkością początko­wą v = 25 m/s. Funkcja y(t) = 25 t -4,9t² przedstawia zależność od czasu:

a) wysokości, na jakiej znajduje się kamień,

b) nie ma związku z ruchem kamienia,

c) prędkości kamienia,

d) przyspieszenia kamienia.

Zadanie 4.30

Z wysokiej wieży rzucono jednocześnie dwie metalowe kulki z jed­nakowymi szybkościami początkowymi v , przy czym pierwszą z nich pionowo do dołu, a drugą pionowo do góry. Jak będzie się zmieniać z upływem czasu odległość między nimi? Ile będzie ona wynosić, kiedy rzucona do góry kulka osiągnie maksymalną wysokość? Wskazówka: jakim ruchem porusza się kulka II względem kulki I?

Zadanie 4.31

Dwa niewielkie kamyki rzucono pionowo do góry z jednakowy­mi prędkościami początkowymi o war­tości V₀, ale w pewnym odstępie czasu Δt jeden po drugim. Z jaką prędkością będzie poruszał się drugi kamyk wzglę­dem pierwszego?

Zadanie 4.32

Rzucony pionowo do góry kamień w czasie swojego wznoszenia i spadania znalazł się dwa razy na tej sa­mej wysokości h = 20 m w odstępie czasu t = 3 s. Z jaką prędkością początko­wą wyrzucono kamień do góry?

Odp. v₀ = 24,7 m/s

Zadanie 4.33

Dwa kamienie rzucono jed­nocześnie z wieży z jednakowymi prędkościami początkowymi o wartości

v₀ = 5 m/s, przy czym jeden pionowo do góry, a drugi pionowo w dół. W jakim odstępie czasu upadną te kamienie u podnóża wieży?

Odp. Δt = 1,02 s

Zadanie 4.34.

Swobodnie spadający przedmiot na wysokości h₁, miał prędkość v₁ = 20 m/s, natomiast na wysokości h₂ jego prędkość wynosiła v₂ = 40 m/s. Jaka jest różnica wysokości Δh = h_{1 -} h₂ ?

Odp. Δh = 61,2 m

Zadanie 4.35

Jaką wartość ma średnia siła oporu powietrza, jeżeli swobodnie spa­dający przedmiot o masie m = 2 kg po­rusza się z przyspieszeniem o wartości a = 8 m/s² ?

Odp. F₀ = 3,6 N

Zadanie 4.36

Kamień rzucony poziomo z wieży z prędkością o wartości v = 10 m/s upadł u jej podnóża w odległości równej wysokości, z jakiej został rzucony. W jakiej odległości od wieży upadł ka­mień?

Odp. z = h = 20,4 m

Zadanie 4.37

Trzy kamienie rzucono z wieży o wysokości h. Dwa poziomo, przy czym pierwszemu nadano prędkość początkową o wartości 2v₀ drugiemu prędkość początkową o wartości v₀, na­tomiast trzeci spadł swobodnie z wieży (tzn. jego prędkość początkowa była rów­na zeru). Który z nich spadał najkrócej?

a) pierwszy kamień

b) drugi kamień

c)trzeci kamień

d) wszystkie spadły w jednakowym czasie

Zadanie 4.38

Z wysokiego, urwistego brzegu rzeki wznoszącego się h = 20 m nad jej poziomem rzucono poziomo ka­myk z prędkością początkową o warto­ści v₀ = l O m/s. Po jakim czasie kamyk wpadnie do wody?

Odp. t = 2s

Zadanie 4.39

Ze śmigłowca lecącego po­ziomo ze stałą prędkością upuszczono na pewnej wysokości niewielki ciężarek. Zakładamy, że nie ma żadnych oporów ruchu ciężarka. Upadnie on w stosunku do lecącego śmigłowca:

a) daleko przed śmigłowcem,

b) dokładnie pod śmigłowcem,

c) daleko za śmigłowcem,

1. zbyt mało danych, by określić miejsce upadku ciężarka na ziemię względem lecącego śmigłowca.

Zadanie 4.40

Ze śmigłowca lecącego po­ziomo nad wodą na wysokości h = 400 m z prędkością o wartości V₁= 50 m/s wypada niewielki przedmiot. Po wodzie płynie motorówka z prędkością o wartości v₂ = 10 m/s. Jej kierunek ruchu po­rywa się dokładnie z kierunkiem lotu śmigłowca i obydwie maszyny zbliżają się do siebie. W jakiej odległości, licząc po powierzchni wody, powinna znajdować się motorówka od śmigłowca w momencie wypadnięcia przedmiotu, aby ten wpadł do motorówki?

Odp. x = 542 m

Zadanie 4.41

Kamień rzucony poziomo z wysokiego brzegu po czasie t = 0,5 s osiągnął szybkość n = 1,5 raza większą od szybkości początkowej. Z jaką szyb­kością rzucono kamień?

Odp. v₀ = 4,4 m/s

Zadanie 4.42

Kamień rzucony poziomo na pewnej wysokości upadł na ziemię po czasie Δt = 1 s od chwili wyrzuce­nia, w odległości l = 10 m, jeśli liczyć tę odległość w poziomie od punktu wy­rzucenia. Z jaką szybkością początkową v₀ rzucono kamień?

a) 9,80 m/s

b) 0 m/s

c) 15 m/s

d) 20 m/s

Zadanie 4.43

Z pewnej wysokości h rzu­cono jednocześnie dwa kamyki, nada­jąc im początkową szybkość poziomą; pierwszemu v₁ =10 m/s, a drugiemu v₂ =15 m/s. Obydwa jednocześnie upa­dły na ziemie, przy czym pierwszy upadł w odległości l₁ = 20 m, licząc w pozio­mie od punktu wyrzucenia go. Z jakiej wysokości rzucono kamyki, jak długo le­ciały do momentu upadku i jaki był za­sięg rzutu drugiego kamyka?

Odp. t = 2s; h = 19,6 m; l₂ = 30m

Zadanie 4.44

Piłka rzucona poziomo uderzyła w przeciwległą ścianę oddalo­ną o l = 5 m na wysokości h₁ = 1,5 m poniżej wysokości, z której była rzuco­na. Z jaką szybkością rzucono piłkę?

Odp. v₀ = 9m/s

Zadanie 4.45

Niewielką, metalowa kul­ka, rzucona poziomo, po upływie czasu Δt = 0,75 s miała prędkość n = 1,25 raza większą od prędkości początkowej. Jaka była prędkość początkowa, jeżeli opory ruchu kulki można zaniedbać?

Odp. v₀ = 9,8 m/s

Zadanie 4.46

Kamień rzucono poziomo na pewnej wysokości z prędkością po­czątkową o wartości v₀ = 20 m/s. Po ja­kim czasie od chwili wyrzucenia kamie­nia kierunek jego prędkości chwilowej będzie tworzył z poziomem kąt

α = 45°?

Odp. t = 2,04 s

Zadanie 4.47

Z wysokości h = 2 m rzu­cono poziomo niewielką kulkę tak, że kierunek jej prędkości chwilowej w mo­mencie uderzenia kulki o ziemię tworzył z poziomem kąt α = 45°. W jakiej odle­głości od miejsca wyrzucenia, licząc w poziomie, upadła kulka?

Odp. z = 4m

Zadanie 4.48

Niewielki ciężarek rzuco­no pod kątem α = 30° do poziomu z prędkością początkową o wartości v₀ = 20 m/s. Na jaką wysokość wzniesie się ten ciężarek?

a) około 5 m b) około 10 m

c) około 20 m d) około 25 m

Zadanie 4.49

Kamień rzucono pod kątem α = 45° do poziomu z prędkością począt­kową o wartości v₀ =10 m/s. jak długo będzie on leciał do momentu upadku?

a) około 0,7 s b) około 1,4 s

c) około 2,1 s d) około 5 s

Zadanie 4.50

Kaskader przeskakujący na motocyklu nad dachami ustawionych obok siebie autobusów rozpędzał się tak, że jego prędkość początkowa w chwili opuszczania rampy miała wartość v₀ = 16 m/s (rysunek 4.7.). Kąt nachyle­nia rampy do poziomu wynosił α = 30°. Ile autobusów mógł bezpiecznie prze­skoczyć kaskader, jeżeli autobus ma szerokość a = 2,5 m?

a) 9 b) 10

c) 11 d) 12

Zadanie 4.51

Kamień rzucono ukośnie pod kątem α do poziomu, z prędkością początkową o wartości v_q. Narysuj wykresy: zależności składowej pionowej prędkości V₁ od czasu, zależności współ­rzędnych położenia kamienia x i y od czasu, przy założeniu, że początek ukła­du współrzędnych znajduje się w punk­cie wylotu kamienia.

Zadanie 4.52

Metalowa kulka, rzucona ukośnie pod kątem α = 30° do poziomu, dwukrotnie znalazła się na tej samej wysokości. Raz po upływie czasu t₁ = 0,3 s od chwili wyrzucenia, a drugi raz po czasie t₂ = 0,5 s. Oblicz wartość pręd­kości początkowej kulki v₀.

Odp. v₀ = 7,85 m/s

Zadanie 4.53

Dwa kamyki rzucono uko­śnie z jednego miejsca pod różnymi ką­tami α ₁ i α ₂ do poziomu. Jaki był stosu­nek wartości ich prędkości początkowych v₁ i v₂, jeżeli kamyki upadły w tym sa­mym miejscu?

Zadanie 4.54

Jaką prędkość będzie miał na wysokości h = 5 m kamień rzucony ukośnie z prędkością początkową o wartości V₀ = 20 m/s ?

Odp. v = 17,4 m/s

Zadanie 4.55

Z dwu wież o jednakowej wysokości h = 100 m odległych o l = 50 m wyrzucono poziomo jednocześnie

dwa przedmioty (rysunek 4.8.) z pręd­kościami o wartościach v₁ = 10 m/s i v₂ = 15 m/s. Po jakim czasie i na jakiej wysokości zderzą się te przedmioty?

Odp. t = 2s; h₁ = 80m

---