CIĄG GEOMETYCZNY

Ciąg liczbowy nazywamy geometrycznym, jeśli każdy jego wyraz można otrzymać z wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego przez pomnożenie przez zawsze tę samą liczbę, zwaną ilorazem ciągu (oznaczamy go przez q).

Ciąg liczbowy jest ciągiem geometrycznym, gdy iloraz dowolnego wyrazu ciągu i wyrazu go poprzedzającego jest stały dla danego ciągu.

a_n≠0

np.    2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2    itd.
iloraz wynosi q = 2
Powyższy ciąg jest geometryczny

np.    2, 8, 11, 22, 25, 50
8 : 2 = 4
11 : 8 =

22 : 11 = 2    itd.
iloraz nie istnieje
Powyższy ciąg nie jest geometryczny

Przykład

Czy ciąg a_n = n² jest geometryczny?

   Rozwiązanie:
     Należy sprawdzić, czy iloraz
jest stały (jest liczbą).

Utwórzmy ten iloraz:

Iloraz nie jest stały, zależy od n, zmienia swoją wartość wraz ze zmianą n.
Ciąg a_n = n² nie jest geometryczny.

Ciąg geometryczny o ilorazie większym od zera jest zawsze ciągiem monotonicznym.

Jeżeli pierwszy wyraz jest dodatni, a iloraz różny od 1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną (q > 1) lub maleją (q <1).

Jeżeli pierwszy wyraz jest ujemny, a iloraz różny od 1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną , gdy g<1, a maleją gdy q>1.

Każdy wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach nieujemnych, oprócz pierwszego i (jeżeli ciąg jest skończony) ostatniego jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:

W ciągu geometrycznym (a_n) o pierwszym wyrazie a₁ i ilorazie q początkowe wyrazy są równe:

a₁

a₂ = a₁⋅q

a₃ = a₂⋅q = a₁⋅q²

a₄ = a₃⋅q = a₁⋅q³

itd.

Ciąg geometryczny można więc opisać wzorem ogólnym (na n-ty wyraz ciągu geometrycznego)

a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹

Przykład

W ciągu geometrycznym o pierwszym wyrazie równym 2, piąty jest o 40 większy od trzeciego. Znajdź wyraz ogólny tego ciągu.

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że a₁ = 1 i a₅ = a₃ + 40. Ponieważ jest to ciąg geometryczny, więc korzystając ze wzoru na wyraz ogólny tego ciągu można zapisać

a₅ = a₁ q⁴ = 2 q⁴

a₃ =a₁ q² = 2 q²

a₅ = a₃ + 40 ⇒ 2 q⁴= 2 q² + 40

2 q⁴ - 2 q² - 40 = 0 /:2

q⁴ - q² - 20 = 0

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe. Wprowadzamy zmienną pomocniczą x.

Niech x = q², wówczas x² - x - 20 = 0.

a = 1 b = -1 c = -20

Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4⋅ 1 ⋅(- 20) = 1 + 80 = 81

q² = -4 lub q² = 5

równanie sprzeczne q =
lub q = -

Zatem warunki zadania spełniają ciągi o wyrazach ogólnych:

a_n = 2(
)^n-1 lub a_n = 2(-
)^n-1 .

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a_n) o ilorazie q ≠ 1 wynosi

Przykład

Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i mając dane a₁ = 2, q = 1,25 i n = 4 znajdź: a_n i S_n.

   Rozwiązanie:
     Najpierw znajdujemy a_n .
     W tym celu posłużymy się wzorem a_n = a₁ qⁿ⁻¹.

a_n = a₁ qⁿ⁻¹
      a₄ = 2(1,25)^{4 − 1}

 a₄ = 2 (1,25)³ = 2
= 2
=

Teraz znajdujemy S_n (sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego).
W tym celu posłużymy się wzorem  

     S₄ = 2
=

   S₄ =

Odp.   a₄ =
,   S₄ =

Przykład

Składniki poniższej sumy są wyrazami ciągu geometrycznego

4 + 12 + 36 + ... + 4 ⋅ 3¹⁰ .

Oblicz tę sumę.

Rozwiązanie

a₁ = 4 a_n = 4 ⋅ 3¹⁰ q =

Ustalamy , którym wyrazem ciągu jest 4 ⋅ 3¹⁰, korzystając ze wzoru a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹.

4 ⋅ 3¹⁰ = 4 ⋅ 3^n-1

10 = n - 1

n = 11

S₁₁ = 4

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania:1-6, 11, 12, 19, 20, 24 str. 184-187 z podręcznika.

---