4. Interpretacja fizyczna całek podwójnych

D-regularny obszar

q (x,y)- jest to gęstość D

Moment statyczny:

-moment statyczny

względem OX

-moment statyczny

względem OY

Środek ciężkości P (x₀,y₀)

Moment bezwładności:

-względem OX

-względem OY

-względem OZ

5. Zmiana zmiennych w całce podwójnej

Jeżeli przekształcenie x=φ(u,v) y=ψ(u,v) odwzorowuje płaski domknięty obszar regularny ∆ w płaszczyźnie zmiennych (u,v) na obszar domknięty, regularny ∆ w płaszczyźnie zmiennych (x,y)oraz: 1⁰ funkcje φ i ψ są klasy C¹ w obszarze ∆ (ciągłe ,różniczkowalne). 2⁰ Funkcja f jest ciągła w obszarze D. 3⁰ Odwzorowanie wnętrz jest wzajemnie jednoznaczne. 4⁰ Wyznacznik funkcyjny Jakobian jest różny od zera wewnątrz ∆.

to:

Współrzędne biegunowe:

6. Całka potrójna. Interpretacja geometryczna (fizyczna)

Dany jest prostopadłościan P w przestrzeni Oxyz określony następująco :

oraz funkcja f(xyz) określona

tym prostopadłościanem:

1⁰ Prostopadłościan ten dzielimy

na n prostopadłościanów Pi o

objętościach Vi tak by podział

był normalny tzn średnia podziału dąży do zera gdy n→∞. 2⁰ W każdym prostopadłościanie Pi obieramy punkt pośredni Ai(xi,yi,zi) a następnie obliczamy wartość funkcji w punkcie pośrednim i tworzymy sumę całkową

Def.

Całka potrójna po prostopadłościanie-jeżeli ciąg sum całkowym Sn ma tą samą granicę przy każdym normalnym podziale prostopadłościanu P i jeżeli ta granica nie zależy od wyboru punktów pośrednich to granicę tę nazywamy całką potrójną funkcji F(x,y,z) i oznaczamy:

Interpretacja geometryczna całki potrójnej: 1⁰ Jeżeli

V-objętość prostopadłościana

2⁰ Jeżeli V jest objętością prostopadłościanu P, to liczbę f(c) gdzie cεP czyli:

nazywamy wartością

średnią funkcji f(x,y,z) w prostopadłościanie P.

Interpretacja fizyczna: -jeżeli u=u(x,y,z)-jest to gęstość objętościowa masy prostopadłościanu P to:

m-masa

Obliczanie całki potrójej: kolejność całkowania jest dowolna

---