2.Przyspieszenie Coriolisa

P.C.jest to przyspieszenie wynikające z ruchu unoszenia pc=2ω×w. P.C. jest równe podwojonemu iloczynowi wek-torowemu prędkości kątowej i prędkości względnej, jest prostopadłe do wektorów ω i w pc=2ωwsinϕ gdzie ϕ kąt między wektorami w i ω. Zwrot tego przyspieszenia wynika z przyjętego przez nas zwrotu, określonego przez prawoskrętny prostokątny układ współrzędnych. P.C. jest równe 0 gdy: 1.ruch unoszenia jest postępowy ω=0, 2.w pewnej chwili prędkość względna punktu jest równa 0 w=0, 3.prędkość względna punktu jest równoległa do osi obrotu układu ruchomego sinϕ=0 ωπ=0 (ruch śrubowy). P.C. występuje gdy układ unoszenia dokonuje obrotu.

3.Przyspieszenie unoszenia

P.U. jest to przyspieszenie złożone z przyspieszenia punktu ruchomego oraz przyspieszenia obrotowego i dośrodkowego pu=pA+puo+pud= pA+ε×ρ+ω×(ω×ρ)

6.Współczynnik restytucji.

W.R. jest to stosunek prędkości względnych obu kul po i przed zderzeniem. Prędkości względne mają różne znaki gdyż kule przed zderzeniem się zbliża-ją a po zderzeniu oddalają się od siebie k=v12-v22/v11-v21

10. Zmiana energii kinetycznej.

Punkt uderza w przegrodę prostopadle do jej powierzchni α=β=0 k=v2/v1 v2=kv1. Różnica energii kinetycznej po i przed zderzeniem wynosi E2-E1= Następuje więc ubytek energii kinetycznej tym większy im mniejszy jest współczynnik restytucji. W przypadku zderzenia plastycznego cała energia kinetyczna zostaje stracona. W przypadku uderzenia idealnie sprężystego nie ma straty energii. W przypadku częściowo sprężystego zderzenia część energii kinetycznej zostaje stracona, zamienia się w ciepło.

12.Twierdzenie Koeniga.

E.K. ciała sztywnego równa jest sumie E.K. ruchu postępowego z prędkością środka masy i energii ruchu obrotowe-go wokół osi przechodzącej przez środek masy.

16.Równanie ruchu punktu zmien

mdv/dt+dm/dt(v-u)=F v-prędkość punktu u-prędkość dołączającej się cząstki

17.Równanie zmiennej masie Newton

Gdy prędkość względna dołączającej się masy jest równa zero w=0 mdv/dt=F. Równanie ma formalnie postać identyczną z równaniem ruchu punktu o stałej masie, z tym że masa jest funkcją czasu.

18.Kiedy równanie Mieszczerskiego

Gdy prędkość bezwzględna dołączającej się masy jest równa 0. Otrzymuje-my m⋅dv/dt+dm/dt⋅v=F, więc d/dt(mv)=F.

19. Praca przygotowana

Przesunięciem przygotowanym nazywamy takie dowolnie pomyślane przez obserwatora przesunięcie będące jednym z przesunięć możliwych nie związane ani z działającymi siłami ani z czasem. Jeżeli na punkt materialny działa siła Fi to po nadaniu punktom przesunięcia przygotowanego δri zostanie wykonana praca elementarna δLi=Fi⋅δri Pracę elementarną siły na przesunięciu przygotowanym nazywamy pracą przygotowaną.

20. Współrzędne i siły uogólnione

Niezależne współrzędne których licz-ba jest najmniejszą potrzebną do określenia położenia układu nazywamy współrzędnymi uogólnionymi. Mogą być dowolnymi współrzędnymi liniowymi lub kątowymi. Siłą uogólnioną nazywamy taką wielkość która pomnożona przez przyrost przygotowany δqj współrzędnej uogólnionej daje wartość pracy wykonanej przez układ sił działających na dany układ materialny na przesunięciach przygotowanych wywołanych przyrostem współrzędnej uogólnionej. Qj=δLj/δqj.

21. Zasada d'Alemberta.

Suma iloczynów skalarnych sum sił zewnętrznych i wewnętrznych działających na punkty układu oraz wektorów (-mipi) i przesunięć przygotowanych punktów układu materialnego jest równa 0. ∑(Fi+Wi-mipi)⋅δri=0. Do badania ruchu układu swobodnego pod działaniem sił zewnętrznych może być zastosowana zasada: Układ sił zewnętrznych działających na punkty układu materialnego swobodnego równo-waży się w każdej chwili z układem sił bezwładności S+SB=0 MO+MBO=0 Dla układu nieswobodnego: Układ wektorów złożony z sił bezwładności układu materialnego sił zewnętrznych działających na ten układ oraz z sił reakcji ograniczających ruchy tego układu jest układem równoważnym 0. S+SB+R=0 MO+MBO+HO=0

14.Reakcje dynamiczne w łożyska

Jeżeli środek masy ciała leży na osi obrotu i jednocześnie oś ta jest osią główną ciała dla dowolnego jej punktu to reakcje dynamiczne są równe 0. Reakcje dynamiczne występują jeżeli środek masy ciała wirującego nie leży na osi obrotu oraz jeżeli oś ta nie jest osią główną. Do reakcji statycznych wynikających z obciążenia siłami dochodzą reakcje dynamiczne konieczne do utrzymania ciała w określonym ruchu obrotowym. Reakcje te wynikają ze zmian pędu i krę tu ciała. Gdy oś obrotu nie przechodzi przez środek masy ciała występuje okresowa okres-owa zmiana siły działającej na łożyska. Siła ta przenosząc się na elementy fundamentu wywołuje drgania

23.Zderzenia proste, centralne

Przy zderzeniu dwóch ciał powierzchnie tych ciał zetkną się w jednym punkcie. Punkt A I ciała zetknął się z punktem D II ciała. Powierzchnie tych ciał w punkcie zetknięcia mają wspólną normalną (linia zderzenia). Prędkość względna punktu A w stosunku do punktu D jest równa i przeciwna prędkości względnej punktu D w stosunku do punktu A. Jeżeli te prędkości względne są położone na linii zderzenia to zderzenie nazywamy prostym w przeciwnym razie ukośnym. Przy zderzeniu prostym siły chwilowe działają na linii zderzenia. Jeżeli linia zderzenia przechodzi przez środek masy ciała to zderzenie nazywamy centralnym w odróżnieniu od zderzenia mimośrodowego w przypadku przeciwnym.

25. Ruch kulisty precesja regularna

Precesja regularna jest to szczególny przypadek ruchu kulistego ciała w którym prędkości kątowe obrotu własnego i precesji są stałe ϕ'=ω1=const ψ'=ω2=const a prędkość kątowa nutacji jest równa 0 więc kąt nutacji jest stały ϑ'=0 ϑ=ϑ0=const Ruch ten cechuje się tym że ciało obraca się obraca się wokół osi własnej ζ z prędkością kątową ω1 a oś ta obraca się wokół osi stałej z z prędkością kąt-ową ω2. Kąt między osiami jest stały. Stałe prędkości oznaczają że kąty ψ i ϕ zmieniają się w sposób jednostajny. Ruch opisany jest równaniami ruchu ϕ=ω1t ψ=ω2t ϑ=ϑ0 przy założeniu że w chwili początkowej t=0 kąty ϕ i ψ są równe 0 ω=ω1+ω2

27. Równanie ruchu rakiety

Ruch rakiety w czasie działania silnika rakietowego jest ruchem ciała o zmiennej masie podczas którego następuje wypływ gazów spalinowych z dyszy silnika z prędkością względną uzyskiwaną w wyniku spalania paliwa. Zakładamy że prędkość względna gazów jest styczna do trajektorii oraz prędkość względna gazów jest stała w=u-v=-wτ τ-wektor jednostkowy styczny do trajektorii. m⋅dv/dt=F-w⋅dm/dt⋅τ

28.Równania ruchu ciała sztywnego

R.r.c.s. otrzymamy jako szczególny przypadek równań ruchu układu materialnego. Możemy je otrzymać za pomocą zasady pędu i krętu. Pochodna pędu względem czasu równa jest wektorowi głównemu sił zewnętrznych i reakcji a pochodna krętu względem nieruchomego punktu momentowi głównemu sił zewnętrznych i reakcji. B'=S K'o=Mo B'x=Sx ...K'x=Mx...

36.Prawo ruchu środka masy

Środek masy układu materialnego porusza się tak jak punkt materialny w którym skupiona jest masa całego ciała i do której przyłożone są siły równe wektorom głównym sił zewnętrznych i reakcji działających na dany układ. mpc=S+R mx''c=∑Fix+∑Rix ...

37. Prawo zmienności pędu i krętu

Pochodna wektora pędu układu materialnego względem czasu równa jest sumie geometrycznej sił zewnętrznych i reakcji działających na układ dB/dt=∑Fi+∑Ri Pochodna względem czasu krętu układu materialnego względem dowolnego stałego punktu rów-na jest sumie momentu głównego sił zewnętrznych i momentu głównego reakcji względem tego samego punktu. dKo/dt=Mo+Ho

41. Równanie ruchu obrotowego bry

Ruch obrotowy ciała sztywnego dokoła osi stałej jest ruchem o jednym sto-pniu swobody. Ruch ciała określa się jednym równaniem ruchu podającym zależność kąta obrotu od czasu. Najkorzystniej jest jako równanie to przyjąć jedno z równań krętu d/dt⋅(I⋅ω)=Ml lub Il⋅ε=Ml Il-moment bezwładności względem osi obrotu Ml-moment sił zewnętrznych i reakcji względem osi obrotu

48. Pojęcie więzów.

Układ którego punkty nie mogą zajmować dowolnych położeń i mieć dowolnych prędkości niezależnie od działających sił nazywamy nieswobodnym. Na położenie i prędkości wszystkich lub niektórych punktów układu nałożone są warunki ograniczające ich swobodę zwane więzami. Więzy określ-one równaniami nazywają się więzami dwustronnymi, nierównościami jedno-stronnymi. Jeżeli równanie więzów zawiera tylko współrzędne punktów to nazywamy je więzami geometryczny-mi. Równania więzów mogą być także zależne od prędkości punktów (więzy kinematyczne). Oba rodzaje więzów mogą być ponadto zależne od czasu (więzy niestacjonarne). Więzy nie-zależne od czasu- więzy stacjonarne.

1. Równowaga względna

Zakładamy że punkt znajduje się w równowadze względem układu ruchomego który porusza się względem innego układu mającego cechy układu Galileusza. Równanie ruchu punktu względem układu ruchomego mpw=F-mpu-mpc w przypadku równowagi w=0 pw=0 pc=0 Równanie równowagi względnej F-mpu=0 Warunkiem równowagi względnej punktu jest równoważenie się układu sił i siły unoszenia punktu.

4. Równanie dynamiki ruchu względ

Badanie związków między siłami działającymi na punkt materialny a jego ruchem opiera się na II prawie Newtona mp=F. Jednak siła nie musi być stała i może zależeć od czasu położenia i prędkości punktu mp=F(r,v,t) mx''=Fx(x,y,z,x',y',z',t)

5. Uderzenie punktu o przegrodę

Punkt uderza o powierzchnię przegrody będącej w spoczynku z prędkością v1 której kierunek tworzy kąt α (padania) z normalną powierzchni przegrody. Po uderzeniu punkt odbija się i porusza z prędkością v2 tworząc kąt β (odbicia) z normalną. W trakcie zderzenia wystąpi reakcja mająca charakter siły zderzeniowej mv2cosβ+mv1cosα=J mv2sinβ-mv1sinα=0 J-impuls reakcji normalnej. Współczynnik restytucji -stosunek bezwzględnych wartości normalnych składowych prędkości po i przed zderzeniem jest niezależny od prędkości i wymiarów ciał zderzających się tylko od materiałów z których są wykonane k=v2n/v1n=v2cosβ/v1cosα przy uderzeniu idealne sprężystym k=1 przy plastycznym k=0

24. Zderzenie dwóch kul

Zakładamy że dwie kule o masach m1 i m2 poruszają się ruchem postępowym z prędkościami v11 i v12 przed zderzeniem tak że torem środka masy każdej z nich jest prosta na której znajdują się ich środki O1 i O2. Aby zderzenie było możliwe v11-v12>0. Rzut wektora pędu na oś x wobec braku sił zewnętrznych jest stały. Po uderzeniu kule zaczną poruszać się z prędkościami v12 i v22 skierowanymi także wzdłuż osi x. Stałość pędu oznacza że pęd układu po i przed zderzeniem jest taki sam m1v12+m2v22=m1v11+m2v21 Stosunek prędkości względnych obu kul po i przed zderzeniem jest równy współczynnikowi restytucji k=v12-v22/v11-v21 Przy zderzeniu plastycznym k=0 przy idealnie sprężystym k=1.

29. Równania Lagrange'a II rodzaj

d/dt⋅∂E/∂q'j-∂E/∂qj=Qj j=1,2,...,s

Są to równania różniczkowe zwyczajne II rzędu. Rozwiązanie tych równań stanowi najkrótszy sposób badania ruchu. Liczba równań różniczkowych jest przy tej metodzie najmniejsza i rów-na liczbie stopni swobody układu. W równaniach tych występuje s niewiadomych przedstawiających s współrzędnych uogólnionych określających ruch układu. Równania te nie zawierają reakcji toteż nie pozwalają one na wyznaczenie wartości tych reakcji.

30.Równania Lagrange'a potencjal

W przypadku gdy siły zewnętrzne działające na układ mają potencjał siłę uogólnioną można obliczyć jako pochodną potencjału względem odpowiedniej współrzędnej Qj=-∂V/∂qj wtedy równania Lagrange'a d/dt(∂E/∂q'j)-∂E/∂qj+∂V/∂qj=0 Potencjał kinetyczny L=E-V jest to różnica energii kinetycznej i potencjału sił. Ponieważ potencjał nie zależy od prędkości uogólnionej d/dt(∂L/∂q'j)-∂L/∂qj=0 Potencjał kinetyczny przedstawia nadmiar energii kinetycznej nad potencjalną.

32. Rów dynamiki toczącego koła

Ruch taki wykonują koła pojazdu jeże-li pudło pojazdu wykonuje ruch postępowy po linii prostej. Przy takim ruchu koło toczy się po jezdni obracając się jednocześnie. Koło obciążone jest siłami przekazanymi przez oś na której zostało osadzone oraz reakcjami prostej (jezdni) i własną siłą ciężkości. Przyjmujemy że siły obciążające koło przekazane przez oś z uwzględnieniem własnego ciężaru sprowadzają się do dwóch składowych pionowej P i poziomej F oraz pary sił o momencie M. Siły te przyłożone są w punkcie C. Zakładamy że punkt ten pokrywa się ze środkiem masy koła. Ze strony toru (jezdni) działa na koło reakcja normalna N i siła tarcia T. Reakcja normalna ze względu na opór toczny przesunięta jest o f w kierunku ruchu a siła tarcia skierowana w dodatnią stronę osi x gdyż przeciwstawia się poślizgowi koła po szynie przy wskazanym kierunku działania momentu M. Jeżeli koło toczy się bez poślizgu to między prędkością środka masy C a prędkością kątową istnieje związek rω-vc=0 czyli ω=vc/r Równania ruchu są następujące mv'c=F+T 0=N-P Iω'=M-Nf-Tr

15.Zjawisko żyroskopowe

Żyroskop jest to ciało mające kształt bryły obrotowej obracającej się szybko wokół swej osi symetrii. Oś obrotu oprócz prędkości kątowej ω1 ma jeszcze prędkość kątową ω2 wokół osi z przechodzącej przez środek masy O. Ciało wykonuje ruch kulisty i ruch ten jest precesją regularną. Dla wywołania ruchu przykładamy moment sił zewnętrznych Mo. Zakładamy że ω2 obrotu osi wirującej jest dużo mniejsza od ω1 obrotu własnego a więc kręt nie zależy od ω2 tylko od ω1 i leży na osi obrotu własnego. Żyroskop wykorzystywany jest jako wskaźnik położenia i zmian kierunku ruchu oraz do sterowania ruchem obiektów ruchomych. W tym celu zostaje on zamocowany w przegubach umożliwiających swobodny ruch żyroskopu względem obiektu ruchomego. Stosow w samolotach (sztuczny horyzont) statki (stabilizacja)

40. Równa dynam ruchu postępow

W ruchu postępowym ciała sztywnego swobodnego liczba równań ruchu wynosi 3. Najkorzystniej obrać równania wynikające z prawa zmienności pędu. Ponieważ w ruchu postępowym ω=0 nie ma prawa zmienności krętu dB/dt=∑(Fi+Ri) m⋅dvc/dt=∑(Fi+Ri) mx''c=∑(Fix+Rix) my''c=∑(Fiy+Riy)

44.Prawo zmienności pędu ciała szt

Pęd ciała sztywnego równy jest iloczynowi masy ciała i prędkości środka masy B=mvc Dla ciała sztywnego jako dla układu materialnego słuszne jest prawo zmienności pędu: Pochodna wektora pędu układu materialnego względem czasu równa jest sumie geometrycznej sił zewnętrznych i reakcji działających na układ dB/dt=∑Fi+∑Ri

45.Prawo zmien krętu ciała sztywn

Ko=rA×B+KA Ko-kręt ciała względem nieruchomego punktu KA-kręt ciała względem punktu ruchomego B-pęd Dla ciała sztywnego jako dla układu materialnego słuszne jest prawo zmienności krętu: Pochodna względem czasu krętu układu materialnego względem dowolnego stałego punktu rów-na jest sumie momentu głównego sił zewnętrznych i momentu głównego reakcji względem tego samego punktu dKo/dt=Mo+Ho

3.Przyspieszenie unoszenia

P.U. jest to przyspieszenie złożone z przyspieszenia punktu ruchomego oraz przyspieszenia obrotowego i dośrodkowego pu=pA+puo+pud= pA+ε×ρ+ω×(ω×ρ)

4. Równanie dynamiki ruchu względ

Badanie związków między siłami działającymi na punkt materialny a jego ruchem opiera się na II prawie Newtona mp=F. Jednak siła nie musi być stała i może zależeć od czasu położenia i prędkości punktu mp=F(r,v,t) mx''=Fx(x,y,z,x',y',z',t)

6.Współczynnik restytucji.

W.R. jest to stosunek prędkości względnych obu kul po i przed zderzeniem. Prędkości względne mają różne znaki gdyż kule przed zderzeniem się zbliża-ją a po zderzeniu oddalają się od siebie k=v12-v22/v11-v21

7. Wpływ siły impuls na ruch punkt

Siła impulsowa powoduje skokową zmianę prędkości zmianę położenia można pominąć

8. Wpływ siły impuls na ciał sztywn

Skutek uderzenia bryły impulsem siły: skokowy przyrost prędkości środka masy, skokowy przyrost prędkości kątowej

16.Równanie ruchu punktu zmien

mdv/dt+dm/dt(v-u)=F v-prędkość punktu u-prędkość dołączającej się cząstki

17.Równanie zmienej masie Newton

Gdy prędkość względna dołączającej się masy jest równa zero w=0 mdv/dt=F. Równanie ma formalnie postać identyczną z równaniem ruchu punktu o stałej masie, z tym że masa jest funkcją czasu.

18.Kiedy równanie Mieszczerskiego

Gdy prędkość bezwzględna dołączającej się masy jest równa 0. Otrzymuje-my m⋅dv/dt+dm/dt⋅v=F, więc d/dt(mv)=F.

34.Kręt względem punktu ruchome

dKA/dt=MA+HA-[vA×mvc]

36.Prawo ruchu środka masy

Środek masy układu materialnego porusza się tak jak punkt materialny w którym skupiona jest masa całego ciała i do której przyłożone są siły równe wektorom głównym sił zewnętrznych i reakcji działających na dany układ. mpc=S+R mx''c=∑Fix+∑Rix ...

1 Równowaga względna

2 Przyspieszenie Coriolisa

3,4 Przys unoszenia w ruch złoż

4 Równ dynam ruchu względn

5 Uderzenie punktu o przegrodę

6,7,8 Współczynnik restytucji

7 Wpływ siły impuls na ruch pkt

8 Wpływ siły impuls na ciał sztywn

10,12 Zmian Ek przy ud o przeg

12 Twierdzenie Koeniga

14 Reak dynam w łożyskach

16,17,18 Rów ruch pkt o zmien masie

17 Kiedy równ ma II Newtona

18 Kiedy równ Mieszczerskiego

19 Zasada prac przygotowanych

21 Zasada d'Alemberta

23 Określenie zderzenia

24 Zderzenie dwóch kul

25 Ruch kulisty precesja

27 Równanie rakiety

28 Równ ciała sztywnego

29 Równ Lagrange'a II

30 Równ Lagrange'a potenc

34,36 Współrz krętu ci szt pkt ruch

36 Prawo ruchu środka masy

37 Prawo zm pędu i krętu ukł

40 Równa dynam ruchu postępow

41 Równ ruchu obrot bryły

44.Prawo zmienności pędu ciała szt 45.Prawo zmien krętu ciała sztywn

48 Pojęcie więzów

---