XIV	Całka nieoznaczona i oznaczona. Równania różniczkowe.
1.	Def. funkcji pierwotnej, całki nieoznaczonej. Podstawowe twierdzenie o funkcjach pierwotnych.
2.	Znajomość twierdzeń o całce sumy funkcji, iloczynu funkcji przez stałą, o całkowaniu przez podstawianie, o całkowaniu przez części. Metoda całkowania funkcji wymiernych.
3.	Twierdzenie Newtona-Leibniza. Def. całki oznaczonej, interpretacja geometryczna.
4.	Własności całek oznaczonych. Obliczanie całek oznaczonych.
5.	Całka jako funkcja granicy całkowania. Zastosowanie całki oznaczonej do obliczania pól, długości krzywej i objętości figur.

 

Funkcja pierwotna:

Funkcją pierwotną danej funkcji jednej zmiennej y=f(x), nazywamy taką funkcję F(x), której pochodna jest równa f(x).

Całka nieoznaczona:

Podstawowe całki:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

 

Całka iloczynu funkcji przez stałą:

Całka sumy funkcji:

Całkowanie przez części:

Całkowanie przez podstawianie:

Metoda całkowania funkcji wymiernych:

Aby scałkować funkcję wymierną należy najpierw przedstawić ją w postaci sumy ułamków prostych I lub II rodzaju.

1. Jeśli licznik ułamka jest wyższego stopnia niż mianownik, należy wykonać dzielenie licznika przez mianownik i całą funkcję zapisać w postaci: wynik z dzielenia + iloraz reszty z dzielenia i mianownika.

2. Rozkładamy mianownik, na dwumiany i nierozkładalne trójmiany.

3. Uzyskany ułamek przedstawiamy w postaci sumy ułamków prostych I i II rodzaju. Każdy dwumian postaci (x - a)ⁿ występujący w mianowniku rozkładamy w następujący sposób:

Każdy nierozkładalny trójmian postaci (x² + px + q)ⁿ rozkładamy w następujący sposób:

 

4. Dodajemy ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika.

5. Porównujemy wielomian w otrzymanym liczniku z wielomianem w liczniku ułamka pierwotnego.

6. :-)

Przykład :-(

Po rozłożeniu na sumę ułamków prostych, można korzystając z twierdzenia o całce z sumy funkcji, obliczyć całkę początkowej funkcji wymiernej.