11.02.2009

Elżbieta Łopuszyńska

155255

Kierunek: ZIP

Test t-Studenta

Test t-Studenta jest testem statystycznym wykorzystywanym do weryfikacji hipotezy o braku różnic pomiędzy dwoma średnimi wartościami analizowanej zmiennej. Test t-Studenta można wykorzystać do porównania różnic pomiędzy średnimi:

• w dwóch próbach niezależnych; mogą to być przykładowo dwie losowo wybrane grupy, z których jedną poddano działaniu określonego bodźca, a druga pełni funkcję kontrolną - przy czym należy założyć, że wariancje w grupach są równe.
  

H₀:μ₁=μ₂

Statystyka T ma rozkład t-Studenta

Liczba stopni swobody n₁+n₂-2

gdzie:

jeżeli |T|< nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

jeżeli |T|≥ hipoteza zerowa jest odrzucona

• w dwóch próbach zależnych, czyli grupie tych samych osób, w których dwukrotnie przeprowadzono określone badanie/pomiar (np. przed i po posiłku)
  

H₀:μ₁=μ₂

Statystyka T ma rozkład t-Studenta

Liczba stopni swobody n₁-1

gdzie:

jeżeli |T|< nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

jeżeli |T|≥ hipoteza zerowa jest odrzucona

• w próbie pojedynczej; w tym wypadku średnia obserwowana w próbie jest porównywana ze średnią oczekiwaną w całej populacji, z której próba została pobrana.

Po oszacowaniu modelu wyłania się potrzeba sprawdzenia hipotez o jego parametrach. Jeśli bowiem hipoteza głosząca, iż parametr jest nieistotny jest prawdziwa oznacza to brak wpływu zmiennej objaśniającej na zmienną endogeniczną.

W badaniu istotności parametrów wyróżnia się dwa podstawowe testy służące do sprawdzenia istotności parametrów. Pierwszy z nich zakłada, że wszystkie parametry strukturalne modelu, poza wyrazem wolnym są równe zero. Hipoteza H_o ( ) zakłada więc, że wszystkie zmienne objaśniające nie oddziałują na zmienną endogeniczną, co oznacza, iż nie powinny się znaleźć w modelu. Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka:

Gdzie 
 oznacza całkowitą, zaobserwowaną w próbie wariancję zmiennej endogenicznej, która równa się sumie kwadratów odchyleń dzielonych przez n - k.

W badaniu istotności parametrów możliwe jest także inne podejście. Zakłada ono osobne badanie poszczególnych parametrów. Badanie istotności w tym przypadku sprowadza się do weryfikacji hipotez:

H_o:  _i = 0

Czyli hipoteza, że i-ta zmienna nie wpływa w istotny sposób na zmienną endogeniczną. Hipoteza alternatywna jest sformułowana następująco:

H₁: _i
0

Sprawdzianem testu jest statystyka Studenta o n - k stopniach swobody wyznaczana jako:

gdzie:

a_i - ocena i-tego parametru,

α_i - prawdziwa wartość parametru (zgodnie z hipotezą zerową _i=0),

D(a_i) - błąd średni szacunku parametru.

Jednostronny a dwustronny test t-studenta. Jeżeli jest to możliwe i istnieją takie przesłanki, to należy zastosować test jednostronny. W teście jednostronnym porównujemy wartość t z fraktylem
. W teście dwustronnym porównuje się
z

Test t-Studenta pozwala udowodnić istnienie różnic między grupami. W celu udowodnienia braku tych różnic chciałoby się w teście dwustronnym zamienić role hipotezy zerowej i alternatywnej:

i

Moc takiego testu była by równa 0.

Test t-Studenta w porównaniu z innymi testami statystycznymi ma więcej wymagań, jest za to silniejszy i bardziej pożądany. Pierwszym warunkiem jest założenie, że pomiary podlegają rozkładowi normalnemu. Dlatego właśnie konieczne jest sprawdzenie rozkładu zmiennej w analizie częstości. Drugim założeniem testu Studenta jest założenie o równości wariancji (dwie porównywane grupy powinny być podobnie homogeniczne).

Rozkład t-studenta jest bardziej precyzyjną wersją rozkładu normalnego. Rozkład t-studenta charakteryzowany jest dodatkowo przez tzw. liczbę stopni swobody. Oznacza to, że rozkład ten (posiadając stałą średnią i odchylenie standardowe) jest bardziej spłaszczony dla niewielkiej liczby stopni swobody, zaś gdy liczba ta przekracza 120 i dąży do nieskończoności, rozkład t-studenta upodabnia się do rozkładu normalnego. Przy niewielkich df wartości krytyczne rozkładu t- studenta są, więc nieco wyższe niż dla rozkładu normalnego. Stąd oszacowany przedział ufności dla średniej będzie nieco szerszy, co przestaje dziwić, jeżeli uświadomimy sobie, że uwzględnia on błąd pochodzący z dwóch źródeł, oszacowania średniej i oszacowania odchylenia standardowego.

---