Wykład 0

Istota ekonomii matematycznej

1. Granice między ekonomią, ekonomią matematyczną i ekonometrią

Czy ekonomia matematyczna jest samodzielną dyscypliną naukową? Jakie jest jej pole badawcze, metodologia oraz teorie?

Co do odpowiedzi na pierwsze pytanie nie ma sporu. Ekonomia „odkrywa” prawidłowości rządzące alokacją dóbr w warunkach występowania ograniczenia ich zasobów.

Ekonomia matematyczna nie jest wyodrębnioną gałęzią ekonomii w takim sensie, w jakim są np. finanse publiczne albo handel międzynarodowy (ma tożsame pole badawcze z ekonomią lub jej częściami). Jest to raczej pewne podejście do analizy ekonomicznej, przy którym ekonomista stosuje symbole matematyczne do zapisu zagadnienia i korzysta ze znanych twierdzeń matematycznych. Przedmiotem analizy może być teoria mikro- lub makroekonomiczna, finanse publiczne, ekonomia miejska itp. (Alpha C.Chiang, Podstawy ekonomii matematycznej. PWE, Warszawa 1994, s. 15).

Ekonometria zajmuje się natomiast pomiarem w ekonomii, mierzeniem danych ekonomicznych. Obejmuje przede wszystkim badanie obserwacji empirycznych za pomocą statystycznych metod estymacji i testowania hipotez.

Co do metodologii (zbiór reguł rozstrzygania o prawdziwości lub fałszywości zdań wypowiadanych na temat przedmiotu badania), studentom finansów i bankowości oraz ekonometrii i informatyki znajome winny być 3 historyczne koncepcje nauki:

• XIX-wieczna indukcyjna koncepcja nauki

• model hipotetyczno-dedukcyjny

• falsyfikacjonizm Poppera i dopełniający go schemat wnioskowania statystycznego Neymana-Pearsona

XIX-wieczna indukcyjna koncepcja nauki pochodzi od Johna Stuarta Milla (System of Logic, Ratiocinative and Inductive, 1843).

Badanie naukowe rozpoczyna wolna, pozbawiona uprzedzeń wobec faktów obserwacja prowadząca - dzięki wnioskowaniu indukcyjnemu - do sformułowania odnoszących się do tych faktów praw uniwersalnych; wreszcie - dzięki dalszej indukcji - powstają twierdzenia bardziej ogólne, nazywane teoriami; prawdziwość zarówno praw, jak i teorii jest sprawdzana poprzez porównywanie ich konsekwencji empirycznych ze wszystkimi zaobserwowanymi faktami (zob. M.Blaug, Metodologia ekonomii. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 38); zob. także krytyka przeprowadzona przez członków tzw. ,,Koła Wiedeńskiego” (Wittgestein, Schlick, Carnap)

Model hipotetyczno-dedukcyjny, C.G.Hempel, P.Oppenheim, ,,Studies in the logic of explanation”, Philosophy of Science 1948).

Wszystkie rzeczywiście naukowe wyjaśnienia mają wspólną strukturę logiczną; zawierają co najmniej jedno prawo uniwersalne oraz opis istotnych warunków początkowych lub granicznych łącznie tworzących [...] zbiór przesłanek, z którego przy pomocy reguł logiki dedukcyjnej wyprowadzane jest [...] twierdzenie odnoszące się do pewnego zdarzenia, którego wyjaśnienia szukaliśmy.

Z analizy wspólnej dla wszystkich prawdziwych wyjaśnień naukowych wynika, że operacja wyjaśnienia następuje według tych samych reguł wnioskowania logicznego co operacja nazywana prognozowaniem; jedyna różnica polega na tym, że wyjaśnienie jest późniejsze w stosunku do zjawisk, zaś prognoza - wcześniejsza.

Wyjaśnienie poprzez odwołanie się do prawa wyższego rzędu; teza o symetrii - nieużywanie żadnych innych reguł wnioskowania logicznego poza dedukcją; prawa uniwersalne, na których opierają się wyjaśnienia, nie powstały dzięki indukcyjnemu uogólnianiu pojedynczych przypadków; są one jedynie hipotezami, można je nazwać uzasadnionymi domysłami, sprawdzanymi dzięki zastosowaniu ich do tworzenia prognoz odnoszących się do konkretnych zdarzeń, lecz nieredukowalnych do samych obserwacji (M.Blaug, Metodologia..., s. 38 i dalsze).

Falsyfikacjonizm Poppera (K.Popper, Logika odkrycia naukowego. PWN, Warszawa, 1977).

Nie można nigdy dowieść, że coś jest materialnie prawdziwe, można natomiast wykazać, że pewne twierdzenia są materialnie fałszywe; nauka jest systemem syntetycznych twierdzeń o realnym świecie, które - przynajmniej w zasadzie - mogą zostać sfalsyfikowane poprzez obserwacje empiryczne.

Cechą charakterystyczną nauki jest metoda formułowania i sprawdzania twierdzeń, a nie przedmiot zainteresowań czy też dążenie do wiedzy pewnej.

Wnioskowanie statystyczne (J.Spława-Neyman, K.Pearson, 1928-35).

- błąd pierwszego i drugiego rodzaju (odrzucenie
, kiedy jest prawdziwa; przyjęcie
, kiedy jest fałszywa), moc wnioskowania (prawdopodobieństwo odrzucenia
, kiedy jest fałszywa).

Przy rozstrzyganiu o prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych w obrębie każdej z dyscyplin przeważa współcześnie podejście Poppera.

[...] Główna różnica między ekonomią matematyczną i niematematyczną polega na tym, że w pierwszej założenia i wnioski wyrażone są za pomocą symboli matematycznych i równań, a nie słów i zdań; ponadto podczas procesu wnioskowania zamiast ograniczać się do zwykłej logiki rozumowania, możemy czerpać z obfitych zasobów istniejących twierdzeń matematycznych (Alpha C.Chiang, Podstawy ekonomii matematycznej. PWE, Warszawa 1994, s. 15-6).

2. Główne nurty badawcze

Na ekonomię matematyczną składają się różne zastosowania koncepcji oraz technik matematycznych w ekonomii, w szczególności w teorii ekonomii. Historia zastosowań obejmuje 3 główne, zachodzące na siebie okresy/nurty (Kenneth J.Arrow, Michael D.Intriligator, ,,Historical introduction” [w] Kenneth J.Arrow, Michael D.Intriligator (red.), Handbook of Mathematical Economics. North-Holland. Amsterdam 1981, t. I, s. 1-14):

• okres marginalizmu oparty o rachunek różniczkowy (1838-1947)

• okres teoretyczny oparty o teorię zbiorów i modele liniowe (1948-60)

• okres integracji (1961-1970')

• okres współczesny (1980'+)

Daty graniczne mają charakter wyłącznie orientacyjny bowiem poszczególne nurty współistniały lub /współistnieją.

Okres marginalizmu (1838-1947)

Nurty badawcze:

• teoria przedsiębiorstwa

• teoria konsumenta

• równowaga ogólna

• optymalna alokacja zasobów

• generalized bargaining

W początkach tego okresu ekonomiści rozwijali teorie formalne posługując się aparatem matematycznym stosowanym w naukach fizycznych, głównie rachunkiem różniczkowym. Stworzyli w miarę kompletną teorię zachowania podmiotów w skali mikro (konsumenta, producenta, oligopolu) oraz teorię równowagi ogólnej w oparciu o założenie maksymalizacji celu oraz dostatecznie gładkich funkcji (użyteczności, produkcji). Podstawowym narzędziem analizy używanym do charakterystyki zachowań optymalnych były pochodne cząstkowe, różniczka zupełna oraz mnożniki Lagrange'a.

Za początek ekonomii matematycznej przyjmuje się pracę Augustyna Cournota z 1838 roku, Recherches sur les principes mathematiques de la theorie des richesses (tłum. ang. Researches into the mathematical principles of the theory of wealth. Macmillan, New York 1929). Cournot zaproponował w niej:

• teorię przedsiębiorstwa

• teorię interakcji między przedsiębiorstwami i konsumentami na rynku

W/g Cournota przedsiebiorstwa wybierają takie nakłady czynników produkcji, dzięki którym maksymalizują zysk (zarówno w warunkach konkurencji doskonałej, jak i monopolu).

Rozważał także zrównanie popytu i podaży przy cenie oczyszczającej rynek pojedynczego produktu oraz analizował oligopol, w którym konkurencyjność między sprzedającymi jest ograniczona. Rozwiązanie Cournota do dzisiaj jest standardem umieszczanym w podręcznikach.

Teoria przedsiębiorstwa

• koniec XIX w - rozszerzenie analizy Cournota przez wprowadzenie funkcji produkcji przez Walrasa, Wicksella i Clarka (L.Walras, Elements d'economie politique pure. L.Corbaz, Laussane 1874; K.Wicksell, Uber Wert, Kapital und Rente nach den neuen nationaloekonomischen Theorien, 1893; J.B.Clark, ,,The possibility of a scientific law of wages”. Publications of the American Economic Association 1889, t. 4, s. 37-69)

• pierwsza całościowa i spójna koncepcja funkcji produkcji H.Hottelinga (,,Edgeworth's taxation paradox and the nature of demand and supply functions”. Journal of Political Economy 1932, t. 40, s. 577-616)

Teoria konsumenta

• wyprowadzenie funkcji popytu konsumpcyjnego z problemu maksymalizacji funkcji użyteczności przy ograniczeniu budżetowym przez Gossena, Jevonsa i Walrasa (H.H.Gossen, Entwickelung der Gesetze des menschlichen Verkhers und der daraus flissenden Reglen fuer menschliches Handeln. Fr. Vieweg und Sohn, Braunschweig 1854; W.S.Jevons, The theory of political economy. Macmillan, London 1871; L.Walras, Elements d'economie politique pure. L.Corbaz, Laussane 1874); rozwinięcie teorii przez A.Marshalla (Principles of economics. Macmillan, London 1890)

• analiza własności funkcji popytu konsumpcyjnego - Słucki, Hicks, Allen, Hotelling, Georgescu-Roegen oraz Wold (E.Słucki, ,,Sulla teoria del bilancio del consumatore”. Giornale degli Economisti 1915, t. 51, s. 19-23; J.R.Hicks, R.G.D.Allen, ,,A reconsideration of the theory of value”. Economica 1934, t. 1, s. 52-76; H.Hotelling, ,,Demad functions with limited budgets”. Econometrica 1935, t. 3, s. 66-78; N.Georgescu-Roegen, ,,The pure theory of consumer's behaviour”. Quarterly Journal of Economics 1936, t. 50, s. 545-593; H.Wold, ,,A synthesis of pure demand analysis”. Scandinavisk Aktuarietidskrift 1943-44, t. 26, s. 85-118, 200-263 oraz t. 27, s. 69-120)

• podstawy teorii użyteczności:

• zastąpienie koncepcji użyteczności kardynalnej koncepcją użyteczności porządkowej - Fisher, Pareto (I.Fisher, ,,Mathematical investigations in the theory of value and prices”. Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences 1892, t. 9, V.Pareto, Manuel d'economie politique. Girard, Paris 1909)

• aksjomatyzacja teorii użyteczności kardynalnej - Frisch, Alt (R.Frish, ,,Sur un probleme d'economie pure”. Norsk Matematisk Forenings Skrifter 1926, t. 16, s. 1-40; New methods of measuring marginal utility. Mohr, Tuebingen 1932; F.Alt, ,,Ueber die Messbarkeit des Nutzens”. Zeitschrift fuer Nationaloekonomie 1936, t. 7 , s. 161-169)

• teoria preferencji ujawnionych - Samuelson, Houthakker, Uzawa (P.A.Samuelson, ,,A note on the pure theory of consumer's behaviour”. Economica 1938, t. 5, s. 61-71; H.Houthakker, ,,Revealed preferences and the utility function”. Economica 1950, t. 17, s. 159-174; H.Uzawa, ,,Preference and rational choice in the theory of consumption” [w] K.J.Arrow, S.Karlin, P.Suppes, red., Mathematical methods in the social sciences. Stanford University Press, Stanford 1960)

Równowaga ogólna

• koncepcja równowagi - Walras, Pareto (równowaga w gospodarce ma miejsce wtedy, gdy popyt zrówna się z podażą na wszystkich, wzajemnie powiązanych ze sobą rynkach; L.Walras, Elements d'economie politique pure. L.Corbaz, Laussane 1874; , V.Pareto, Cours d'economie politique. Rouge, Laussane 1896; Manuel d'economie politique. Girard, Paris 1909)

• istnienie równowagi ogólnej - Marshall (A.Marshall, Principles of economics. Macmillan, London 1890)

• stabilność równowagi:

• pojedynczy rynek - Cournot, Marshal (A.Cournot, Recherches sur les principes mathematiques de la theorie des richesses (tłum. ang. Researches into the mathematical principles of the theory of wealth. Macmillan, New York 1929; A.Marshall, Principles of economics. Macmillan, London 1890)

• cała gospodarka - Walras, Hicks, Samuelson, Arrow, Hurwicz, Hahn, Arrow, Block, Hurwicz, Uzawa, Hahn, Negishi (L.Walras, Elements d'economie politique pure. L.Corbaz, Laussane 1874; J.R.Hicks, Value and capital. Oxford University Press, New York 1939; P.A.Samuelson, ,,The stability of equilibrium: Comparative statics and dynamics”. Econometrica 1941, t. 9, s. 97-120; K.J.Arrow, L.Hurwicz, ,,On the stability of the competitive equilibrium, I”. Econometrica 1958, t. 26, s. 522-552; F.H.Hahn, ,,Gross substitution and the dynamic stability of general equilibrium”. Econometrica 1958, t. 26, s. 169-170 oraz ,,On the stability of pure exchange equilibrium”. International Economic Review 1962, t. 3, s. 206-213; K.J.Arrow, D.Block, L.Hurwicz, ,,On the stability of the competitive equilibrium, II”. Econometrica 1959, t. 27, s. 82-109; H.Uzawa, ,,The stability of dynamic processes”. Econometrica 1961, t. 29, s. 617-631 oraz ,,On the stability of Edgeworth's barter process”. International Economic Review 1962, t. 3, s. 218-232; F.H.Hahn, T.Neigishi, ,,A theorem on non-tatonnement stability”. Econometrica 1962, t. 30, s. 463-469)

Optymalna alokacja zasobów

• rachunek zysków i strat (benefits and costs calculation) - Dupuit (J.Dupuit, ,,De la mesure de l'utilite de travaux publics”. Annales des Ponts et Chausees, 2-ieme series, t. 8, s. 332-375)

• pojęcie optymalności alokacji - Pareto (V.Pareto, Manuel d'economie politique. Girard, Paris 1909)

• charakterystyka optimum i suboptimum ekonomicznego-ekonomia dobrobytu - Hotelling, Bergson, Hicks (H.Hotelling, ,,The general welfare in relation to problems of taxation and of railway and utility rates”. Econometrica 1938, t. 6, s. 242-269; A.Bergson, ,,A refolmulation of certain aspects of welfare economics”. Quarterly Journal of Economics 1938, t. 53, s. 310-334; J.R.Hicks, ,,The foundations of welfare economics”. Economic Journal 1939, t. 49, s. 696-712 oraz ,,The rehabilitation of consumer' surplus”. Review of Economic Studies 1941, t. 8, s. 108-116)

• optymalizacja w czasie - Ramsey, Hotelling (1931) (F.P.Ramsey, ,,A mathematical theory of saving”. Economic Journal 1928, t. 38, s. 543-559; H.Hotelling, ,,The economics of exhaustible resources”. Journal of Political Economy 1931, t. 39, s. 137-175)

Generalized bargaining

• analiza niecenowej alokacji dóbr-krzywa kontraktu - F.H.Edgeworth, Mathematical physics. Routledge and Kegan Paul, London 1981

Synteza marginalizmu:

• J.R.Hicks, Value and capital. Oxford University Press, New York 1946, wyd. drugie + koncepcja równowagi chwilowej (temporary equilibrium)

• P.A.Samuelson, Foundations of economic analysis. Harvard University Press, Cambridge 1947, + zastosowanie koncepcji preferencji ujawnionych w analizie stabilności równowagi

Okres teoretyczny oparty o teorię zbiorów i modele liniowe (1948-60)

Nurty badawcze

• równowaga ogólna

• teoria konsumenta

• modele liniowe

• teoria gier

Oparcie analizy o teorię zbiorów pozwoliło na użycie bardziej ogólnych funkcji niż funkcje gładkie. Zapoczątkowały ją prace Johna von Neumanna (,,Uber ein oekonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerungdes Brouwerschen Fixpunktstazes” [w] Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums 1937, t. 8, s. 73-83) oraz K.J.Arrowa (Social choice and individual values. Wiley, New York 1951), poświęcone odpowiednio wzrostowi i aksjomatyzacji teorii wyboru społecznego.

Równowaga ogólna

• analiza problemu istnienia równowagi ogólnej w warunkach konkurencji doskonałej - Arrow, Deberu, McKenzie, Gale, Nikaido (K.J.Arrow, G.Debreu, ,,Existence of equilibrium for a competitive economy”. Econometrica 1954, t. 22, s. 265-290; L.McKenzie, On equilibrium in Graham's model of trade growth and other competitive systems”. Econometrica 1954, t. 22, s. 147-161, ,,Competitive equilibrium with dependent consumer preferences” [w] H.A.Antosiewicz, red., Proceedings of the 2^nd symposium on linear programming. National Bureau of Standards, Washington DC, ,,On the existence of general equilibrium for a competitive market”, Econometrica 1959, t. 27, s. 54-71, oraz ,,On the existence of general equilibrium. Some corrections”. Econometrica 1961, t. 29, s. 247-247; D.Gale, ,,The law of demand and supply”. Mathematica Scandinavica 1955, t. 3, s. 155-169; H.Nikaido, ,,On the classical multilateral exchange problems”. Metroeconomica 1955, t. 8, s. 135-145; G.Debreau, ,,New concepts and techniques for equilibrium analysis”. International Economimc Review 1962, t. 3, s. 257-273.

• dowód istnienia równowagi ogólnej w oparciu o twierdzenie o punkcie stałym, rozszerzenie twierdzenia o punkcie stałym Brouwera - Kakutani (S.Kakutani, ,,A generalization of Brouwer's fixed point theorem”. Duke Mathematical Journal 1941, t. 8, s. 451-459).

• analiza optymalności równowagi ogólnej - Arrow, Debreu (K.J.Arrow, ,,An existence of the basic theorem of welfare economics” [w] J.Neyman, red., Proceedings of the 2^nd Berkeley symposium on mathematical statistics. University of California Press, Berkeley 1951; G.Debreu, ,,The coefficient of recoure utilization”. Econometrica 1951, t. 19, s. 273-292 oraz ,,Valuation equilibrium and Pareto optimum”. Proceedings of the National Academy of Sciences 1954, t. 40, s. 588-592).

• synteza teorii równowagi ogólnej + rozszerzenie analizy na warunki niepewności - Debreu (G.Debreu. Theory of value. Wiley, New York 1959).

Teoria konsumenta

• rozwój aksjomatycznych podstaw funkcji użyteczności - Debreu, Radner (G.Debreu, ,,Valuation equilibrium and Pareto optimum”. Proceedings of the National Academy of Sciences 1954, t. 40, s. 588-592, ,,Representation of preferences ordering by a numerical function” [w] R.M.Thrall, H.C.Combs, R.L.Davis, red., Decision processes. Wiley, New York 1954 oraz Continuity properties of Paretian utility”. International Economic Review 1964, t. 5, s. 285-293; J.T.Radner, ,,The existence of a utility function to represent preferences”. Review of Economic Studies 1963, t. 30, s. 229-232.

• aksjomatyzacja teorii użyteczności dla warunków niepewności - von Neuman, Morgenstern, Marschak, Herstein, Milnor, Savage (J.von Neuman, O.Morgenstern, The theory of games and economic behaviour. Princeton University Press, Princeton 1947; J.Marschak, ,,Rational behaviour, uncertain prospects, and mesurable utility”. Econometrica 1950, t. 18, s. 111-141; I.N.Herstein, J.Milnor, ,,An axiomatic approach to measurable utility. Econometrica 1953, t. 21, s. 291-297; L.J.Savage, The foundations of statistics. Wiley, New York 1954.

Modele liniowe

• modele przepływów międzygałęziowych - Leontiew (W.W.Leontiew, The structure of the American Economy, 1919-1939. Oxford University Press, New York 1941 oraz Input-output economics. Oxford University Press, New York 1966).

• modele aktywności produkcji - Koopmans, Morgenstern, Kantorowicz (T.C.Koopmans, red., Activity analysis of production and allocation. Wiley, New York 1951 oraz Three essays on the state of economic science. McGraw-Hill, New York 1957; O.Morgenstern, red., Economic activity analysis. Wiley, New York 1954; L.V.Kantorowicz, ,,On the translocation of masses”. Doklady Akademi Nauk U.S.S.R. 1942, t. 37, s. 199-201 oraz Economic calculation of optimal utilization of resources. Publishing house of the academy of sciences of the U.S.S.R., Moscow 1959).

• modele wzrostu - Kemeny, Morgenstern, Thompson, Gale, Radner, Morishima, McKenzie, Nikaido 1964 (J.G.Kemeny, O.Morgenstern, G.L.Thompson, ,,A generalization of the von Neumann model of an expanding economy”. Econometrica 1956, t. 24, s. 115-135; D.Gale, ,,The colsed linear model of production” [w] W.H.Kuhn, A.W.Tucker, red., Linear inequalities and related systems. Princeton University Press, Princeton 1956; R.Radner, ,,Paths of economic growth that are optimal with regard only to final states: A turnpike theorem”. Review of Economic Studies 1961, t. 28, s. 98-104; M.Morishima, ,,Proof of hte turnpike theorem. The `no joint production' case”. Review of Economic Studies 1961, t. 28, s. 89-97 oraz Equilibrium, stability, and growth. Oxford University Press, New York 1964; L.McKenzie, ,,Turnpike theorems for a generalized Leontief model”. Econometrica 1963, t. 31, s. 165-180; H.Nikaido, ,,Persistence of continual growth near the von Neumann ray: A strong version of the Radner turnpike theorem”. Econometrica 1964, t. 32, s. 151-162).

• programowanie liniowe - Dantzig, Dorfmann, Samuelson, Solow, Gale (G.B.Dantzig, ,,Programming of interdepentednt activities, II: Mathematical model”. Econometrica 1949, t. 17, s. 200-211, Maximization of a linear function of variables subject to linear inequalities” [w] T.C.Koopmans, red., Activity analysis of production and allocation. Wiley, New York 1951 oraz Linear programming and extensions. Princeton University Press, Princeton 1963; R.Dorfman, P.A.Samuelson, R.M.Solow, Linear programming and economic analysis. McGraw-Hill, New York 1958; D.Gale, The theory of linear economic models. McGraw-Hill, New York 1960).

Teoria gier

• analiza sytuacji konfliktowych - von Neumann, Morgenstern 1947, Nash 1950, Luce, Raiffa 1957 (J.von Neumann, O.Morgenstern, The theory of games and economic behaviour. Princeton University Press, Princeton 1947; J.F.Nash, ,,Equilibrium in n-person games”. Proceedings of the National Academy of Sciences 1950, t. 36, s. 48-49; R.D.Luce, H.Raiffa, Games and decisions. Wiley, New York 1957).

Okres integracji (1961-1970')

Nurty badawcze:

• niepewność i informacja

• teoria niechęci do ryzyka - Pratt, Arrow (J.W.Pratt, ,,Risk aversion in the small and in the large”. Econometrica 1964, t. 32, s. 122-136; K.J.Arrow, Essays in the theory of risk bearing. North-Holland, Amsterdam 1970)

• równowaga w warunkach niepewności - Diamond, Radner (P.A.Diamond, ,,The role of the stock market in a general equilibrium model with technological uncetrainty”. American Economic Review 1968, t. 57, s. 759-776; R.Radner, ,,Competitive equilibrium under uncertainty". Econometrica 1968, t. 36, s. 31-58)

• zastosowania: mikroekonomia (J.McCall, ,,Probabilistic microeconomics”. Bell Journal of Economics and Management Science 1971, t. 2, s. 403-433), ubezpieczenia (K.H.Borch, The economics of uncertainty. Princeton University Press, Princeton 1968), teoria poszukiwania (M.Rotschild, ,,Searching for the lowest price when the distribution of prices is unknown”. Journal of Political Economy 1974, t. 82, s. 689-711; R.Lucas, E.Prescot, ,,Equilibrium search and unemployment”. Journal of Economic Theory 1974, t. 7, s. 188-209), teoria sygnalizowania (A.M.Spence, Market signalling. Harvard University Press, Cambridge 1974)

• analiza globalna

• własności stanu równowagi ogólnej - G.Debreu, ,,Economies with a finite set of equilibria”. Econometrica 1970, t. 38, s. 387-392

• dualizm

• zastosowania: H.Hotelling, ,,Edgeworth's taxation paradox and the nature of demand and supply functions”. Journal of Political Economy 1932, t. 40, s. 577-616 oraz ,,Demand functions with limited budgets”. Econometrica 1935, t. 3, s. 66-78; L.McKenzie, ,,Demand theory without a utility index”. Review of Economic Studies 1956-57, t. 24, s. 24, s. 185-189; R.W.Shephard, Cost and production functions. Princeton University Press, Princeton 1953 oraz Theory of cost and production functions. Princeton University Press, Princeton 1970; P.A.Samuelson, ,,Prices of factors and goods in general equilibrium”. Review of Economic Studies 1953-54, t. 21, s. 1-20; H.Uzawa, ,,Duality principles in the theory of cost and production”. International Economic Review 1964, t. 5, s. 216-220; J.S.Chipman, ,,A survey of the theory of international trade: Part 3, The modern theory”. Econometrica 1966, t. 34, s. 18-76; E.Diewert, ,,Applications of duality theory” [w] M.D.Intriligator, D.A.Kendrick, red., Frontiers of quantitative economics. North-Holland, Amsterdam 1974, t. 3; M.Fuss, D.McFadden, red., Production economies: A dual approach to theory and applications. North-Holland, Amsterdam 1978

• funkcje zagregowanego popytu

• analiza restrykcji w procesie maksymalizacji użyteczności -H.Sonnenshein, ,,Do Walras' identity and continuity characterize the class of community excess demand functions?”. Journal of Economic Theory 1973, t. 6, s. 345-354; R.Mantel, ,,On the characterization of aggregate excess demand”. Journal of Economic Theory 1974, t. 7, s. 348-353; G.Debreu, ,,Excess demand functions”. Journal of Mathematical Economics 1974, t. 1, s. 15-23

• teoria rdzenia gospodarki (core)

• połączenie elementów teorii gier, teorii równowagi ogólnej i teorii miary - M.Shubik, ,,Edgeworth market games” [w] A.W.Tucker, R.D.Luce, red., Contributions to the theory of games, IV. Princeton University Press, Princeton 1959; H.E.Scarf, ,,An analysis of markets with a large number of participants” [w] M.Maschler, red., Recent advances in game theory. Princeton University Press, Princeton 1962; G.Debreu, H.E.Scarf, ,,A limit theorem on the core of an economy”. International Economic Review 1962, t. 4, s. 235-246; R.J.Aumann, ,,Markets with a continuum of traders”. Econometrica 1964, t. 32, s. 39-50 oraz ,,Existence of competitive equilibria in markets with a continuum of traders”. Econometrica 1966, t. 34, s. 1-17; K.Vind, Egedworth allocation in an exchange economy with many traders”. International Economic Review 1964, t. 5, s. 165-177 oraz ,,A theorem on the core of an economy”. Review of Economic Studies 1965, t. 32, s. 47-48; W.Hildebrand, ,,The core of an economy with a measure space of economic agents”. Review of Economic Studies 1968, t. 35, s. 443-452, ,,Existence of equilibria for economies with production and a measure space consumers”. Econometrica 1970, t. 38, s. 608-623 oraz ,,On economies with many agents”. Journal of Economic Theory 1970, t. 2, s. 161-188

• równowaga chwilowa

• wyznaczanie cen równowagi

• wyznaczanie punktu stałego odwzorowań - wektora cen równowagi (H.E.Scarf, ,,On the computation of equilibrium prices” [w] Ten economic studies in the tradition of Irving Fisher. Wiley, New York 1967 oraz The computations of economic equilibria. Yale University Press, New Haven 1973)

• teoria wyboru społecznego

• agregacja indywidualnych preferencji w wybory społeczne, twierdzenia o możliwości i niemożliwości wyboru, reguła większości, aksjomaty wyboru społecznego

• teoria optymalnego opodatkowania

• analiza optymalnego opodatkowania na gruncie teorii second-best

• teoria wzrostu optymalnego

• optymalne sterowanie

• teoria organizacji

• teorie: zespołów, centralizacji/decentralizacji, inicjatywy i planowania

Okres współczesny (1980'+)

Nurty badawcze:

• teoria decyzji i teoria gier

• rozszerzenie klasycznych modeli równowagi ogólnej

• metody matematyczne ekonomii

Paweł Miłobędzki: Wykłady z ekonomii matematycznej

13

---