I. ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI .
1.1 Rachunek zdań
Podstawowe wiadomości teoretyczne
Zdaniami w logice matematycznej nazywamy zdania orzekające z których każde jest prawdziwe lub fałszywe. O zdaniu prawdziwym mówimy, że ma wartość logiczną "1", a o zdaniu fałszywym, że ma wartość logiczną "0".
Niech p, q, r, oznaczają zmienne zdaniowe w miejsce których można podstawić dowolne zdanie prawdziwe lub fałszywe.
Tautologia jest to formuła, która zawsze przyjmuje wartość logiczną "1", niezależnie od wartości logicznych zdań podstawionych w miejsce zmiennych zdaniowych. Do sprawdzania czy dane wyrażenia rachunku zdań są tautologią służy metoda zero-jedynkowa (0,1), która polega na rozpatrzeniu wszystkich układów wartości logicznych zmiennych zdaniowych występujących w badanych wyrażeniach.
Korzystając ze spójników zdaniotwórczych zwanych funktorami można tworzyć zdania złożone . Wyróżniamy 6 ważnych funktorów :
1.negacja (zaprzeczenie) zdania p.
Oznaczamy symbolem ~p i czytamy :"nie prawda, że p". Wartość logiczna zdania zależy od wartości logicznej zdania p. Jeżeli p="0" (fałsz) to p="1" (prawda) ,a gdy p="1" (prawda) to p="0" (fałsz).
2.koniunkcja (iloczyn logiczny) zdania p i q.
Oznaczamy symbolem p ∧ q i czytamy "p i q". Koniunkcja p ∧ q jest zdaniem prawdziwym, gdy jednocześnie zdania p i q są prawdziwe.
3.alternatywa (suma logiczna) zdań p i q.
Oznaczamy symbolem p ∨ q i czytamy : "p lub q". Alternatywa p ∨ q jest zdaniem prawdziwym, gdy co najmniej jedno ze zdań p , q jest prawdziwe.
4.implikacja ( wynikanie ) zdań p i q .
Oznaczamy symbolem p ⇒ q i czytamy :"jeżeli p to q", gdzie p jest poprzednikiem, q natomiast jest następnikiem. Implikacja jest prawdziwa w każdym przypadku z wyjątkiem jednego, gdy poprzednik p="1", a jednocześnie następnik q="0".
5.równoważność zdań p i q.
Oznaczamy symbolem p ⇔ q i czytamy: "p wtedy i tylko wtedy gdy q". Równoważność p⇔q jest zdaniem prawdziwym, gdy p i q mają tę samą wartość logiczną.
6.nierównoważność zdań p i q (alternatywa wykluczająca się)
Oznaczamy symbolem p v q i czytamy "p albo q". Nierównoważność zdań jest prawdziwa, gdy p i q mają różną wartość logiczną.
Wartość logiczną wyżej wymienionych funktorów przedstawia tabela 1.
p |
q |
~p |
p∧q |
p∨q |
p⇒q |
p⇔q |
p∨q |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
tabela 1
Tautologia służy do przeprowadzania dowodów matematycznych. Polega to na uznaniu za prawdziwe pewnych zdań (wniosków), w logicznej konsekwencji prawdziwości innych zdań (przesłanek). Te elementarne ogniwa dowodów opierają się na regułach wnioskowania (dowodzenia). Każda z nich jest implikacją związaną z pewną tautologią.
Na przykład prawu przechodniości implikacji odpowiada reguła wnioskowania, którą symbolicznie zapisujemy następująco (przesłanki nad kreska, wniosek pod kreską)
p⇒q , q⇒r
p⇒r
Jest to przykład dowodu matematycznego metodą wprost.
Innym przykładem przeprowadzania dowodu matematycznego może być metoda dowodu nie wprost. Metoda ta polega na zaprzeczeniu tezy, której prawdziwość mamy wykazać.
Jeżeli na przykład wskażemy prawdziwość dwóch implikacji (~q)⇒r i (~r)⇒(~r), gdzie r jest dowolnym zdaniem to na podstawie reguły dowodzenia :
(~q)⇒r, (~q)⇒(~r)
q
związanej z tautologią :
{[(~q⇒r] ∧ [(~q)⇒(~r)]}⇒q możemy wnioskować o prawdziwości tezy "q". Jeżeli zdanie p⇒q nazwiemy prostym, q⇒p odwrotnym, (~ p)⇒(~ q) przeciwnym, a zdanie (~q)⇒(~p) przeciwstawny to możemy to ująć w tak zwany kwadrat logiczny, który przedstawiony jest na rys 1.1
Rys. 1.1
Przy wierzchołkach kwadratu położonych wzdłuż tej samej przekątnej umieszczone są twierdzenia równoważne. Z prawdziwości dowolnej pary twierdzeń umieszczonych przy końcach tego samego boku wynika prawdziwość wszystkich czterech twierdzeń. O twierdzeniach : prostym i przeciwnym oraz odpowiednio odwrotnym i przeciwstawnym mówimy, że tworzą zamknięty układ twierdzeń.
Zadania :
1.1 Określić koniunkcję za pomocą :
a) negacji i alternatywy
b) negacji i implikacji
1.2 Określić alternatywę za pomocą:
a) negacji i koniunkcji
b) negacji i implikacji
1.3 Określić równoważność za pomocą koniunkcji, alternatywy i negacji.
1.4 Dla jakich wartości logicznych zdań p i q następujące zdania złożone są prawdziwe, a dla jakich fałszywe ?
a) (p⇒q) ⇔ (~p ∨ q),
b) p ⇔ q⇔[(p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)]
c) (p ⇔ q) ⇔ (p ∨ q)
d) (p ∨ q) ⇔ (p ∨ q)
e) (p ⇔ q) ⇒ (p ∨ q)
f) (p⇒q) ∧ (q⇒p).
1.5 Wykazać, że następujące wyrażenia są tautologiami :
a) p⇒p,
b) p⇒(q⇒p),
c) p⇒(q⇒p∧q),
d) [(p⇒q)∧(q⇒r)]⇒(p⇒r) (prawo sylogizmu przechodniość implikacji),
e) [p⇒(q⇒r)]⇒[(p⇒q)⇒(p⇒r)] (prawo sylogizmu warunkowego),
f) p⇔~(~p) (prawo podwójnego przeczenia),
g) p∨~p (prawo wyłączonego środka),
h) ~(p ∧ ~p) (prawo sprzeczności),
i) ~(p ∧ q) ⇔ (~p ∨ ~q) (prawo de Morgana),
j) ~(p ∨ q) ⇔ (~p ∧ ~q) (prawo de Morgana),
k) (p ⇒ q) ⇔ (~q ⇒ ~p) (prawo transpozycji),
l) [(p⇒q)⇒p]⇒p (prawo Pierce'a),
ł) (~p⇒p)⇒p (prawo Claviusa),
m) ~p⇒(p⇒q) (prawo Dunsa-Scotusa).
1.6 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami :
a) ~(p⇒q)⇔(~p⇒~q),
b) p ∨ (p ∧ q) ⇔ p,
c) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p,
d) [(p ∧ q)⇒ r] ⇔ [p⇒(q⇒r)],
e) [p ∨ (q ∨ r)] ⇔ [(p∨q)∨r],
f) [p ∧ (q ∧ r)] ⇔ [(q∧p)∧r),
g) [p∧(q∨r)]⇔[(p∧q)∨(p∧r)],
h) [p∨(q∧r)]⇔[(p∨q)∧(p∨r)],
i) p ∨ [(~p ∧ q) ∧ (~p ∧ ~q)],
j)[(~p∧q)∨(p∨~q)]⇒{[p⇒(q∨r)]⇒(p⇒r)},
k) [(p∨q)⇒r]⇒[(p⇒r)∨(q⇒r)],
l) (p ∧ q) ⇔ ~[p ⇒ (~q)],
ł) (p ∨ q) ⇔ [~(p ⇔ q)]
m) [(p ∧ q) ⇒ r]⇒[p∧(q⇒r)],
n) [(p ⇔ q) ⇔ r]⇔[q⇔(p⇔r)],
o) {[(~q)⇒r]∧[(~q)⇒(~r)]}⇒q.
1.7 Sprawdzić , czy niżej zamieszczone reguły :
a) ~(p⇒q) b) ~(p⇒q)
p ~q
c)(pvq) ⇒ r d) p⇒q, ~p⇒~q
p⇒r p⇔q
e) p⇒q , ~p⇒q f) p⇒q, p⇒~q
q ~q
są regułami wnioskowania.
1.8 Niech symbol x|y oznacza, że x jest dzielnikiem y. Przyjmując jako proste twierdzenie : "(2|a ∧ 2|b) ⇒ 2|(a+b)" utworzyć twierdzenia : odwrotne, przeciwne, przeciwstawne oraz zbadać, które z tych czterech twierdzeń są prawdziwe, a które fałszywe.
1.2 ALGEBRA ZBIORÓW
Podstawowe wiadomości teoretyczne.
Zbiór jest to pojęcie pierwotne w matematyce i nie wymaga zdefiniowania. Zamiast zbiór często używamy słowa mnogość, rodzina, przestrzeń lub klasa.
Badaniem ogólnych własności zbiorów, niezależnie od elementów i przedmiotów z których są utworzone, zajmuje się dział matematyki zwany teorią mnogości.
Zapis a∈A - czytamy " a jest elementem zbioru A".
Jeżeli a nie należy do zbioru A to zapisujemy to a∉A i czytamy
"a nie jest elementem zbioru A".
Zbiór, którego wszystkimi elementami są a1 ,a2 ,...,an definiujemy jako zbiór skończony i oznaczamy symbolem {a1 ,a2 ,...,an }
Przykład 1.
Zbiór D liczb dodatnich parzystych nie większych od 10 ma 5 elementów D={2,4,6,8,10}.
Przykład 2.
Zbiór A rozwiązań równania x-3=0 jest jednoelementowy tzn. A={3}.
Zbiór, do którego nie należy żaden element, nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy go symbolem ∅.
Przykład 3.
Zbiór P wszystkich pierwiastków równania x2- x + 1 = 0 jest zbiorem pustym tzn.. P=∅
Zbiór, który nie jest skończony, ani pusty, nazywamy zbiorem nieskończonym.
Przykład 4
Zbiór liczb pierwszych jest zbiorem nieskończonym.
Mówimy, że zbiór A jest równy zbiorowi B i zapisujemy A=B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i każdy element zbioru B jest elementem zbioru A.
Dwa zbiory są równe gdy mają te same elementy. Co można zapisać :
(A=B) ⇔ [dla każdego x : (x∈A) ⇔ (x∈B)].
Jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B to mówimy, że zbiór A jest podzbiorem (częścią) zbioru B lub, że zbiór B jest nadzbiorem zbioru A. Wtedy zbiór A jest zawarty w zbiorze B lub zbiór B zawiera zbiór A , co zapisujemy A⊂B lub B⊃A. Symbol "⊂" oznacza inkluzję dwóch zbiorów. Inkluzję określamy następująco :
zbiór A jest w inkluzji ze zbiorem B wtedy i tylko wtedy gdy
A⊂B <=> [dla każdego x: (x∈A) => (x∈B)]
Przykład 5.
Zbiór A={1,2,3} jest zawarty w zbiorze B={0,1,2,3,4,} ponieważ 1∈B, 2∈B, 3∈B.
Jeżeli A nie jest podzbiorem zbioru B to zapisujemy: A⊄B.
Dla dowolnych zbiorów A,B,C mamy :
[(A⊂B) ∧ (B⊂C)] ⇒ (A⊂C)
Stąd wynika wniosek, że inkluzja ma własność przechodniości.
Wyróżniamy 3 działania na zbiorach :
dodawanie, mnożenie i odejmowanie.
Każde z nich przyporządkowuje dwóm danym zbiorom A i B trzeci zbiór zwany odpowiednio sumą A∪B, iloczynem A∩B i różnicą A-B zbiorów.
Przez sumę zbiorów A i B rozumiemy zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B i który innych elementów nie zawiera.
Z definicji sumy zbiorów A i B wynika, że x∈A∪B wtedy i tylko wtedy gdy x jest elementem co najmniej jednego ze zbiorów A,B, czyli wtedy i tylko wtedy gdy x∈A lub x∈B. Zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób :
[x∈(A∪B)] ⇔ [(x∈A) ∨ (x∈B)]
Przez iloczyn zbiorów A i B rozumiemy część wspólną tych zbiorów, czyli zbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B.
Z definicji iloczynu zbiorów wynika, że x∈A∩B wtedy i tylko wtedy gdy x∈A i x∈B.
Zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób :
[x∈(A∩B)] <=> [(x∈A) ∧ (x∈B)]
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, co zapisujemy symbolicznie A-B.
Z definicji różnicy zbiorów wynika , że
[x∈(A-B)] ⇔ [(x∈A) ∧ (x∈B)] .
Wszelkie działania na zbiorach, które rozpatrywaliśmy były działaniami w pewnym ustalonym zbiorze, który nazwiemy przestrzenią i oznaczymy X.
Zbiór A' nazwiemy dopełnieniem zbioru A przestrzeni X i zaznaczymy symbolicznie: A'= X-A.
Do dopełnienia A' zbioru A przestrzeni X należą wiec wszystkie te i tylko te elementy przestrzeni X, które nie należą do zbioru A. Z definicji dopełnienia A' zbioru A wynika, że:
x∈A' ⇔ [x∈X ∧ x∉A] .
Niech R będzie rodziną wszystkich podzbiorów przestrzeni X.
Niech T≠∅ będzie dowolnym zbiorem.
Funkcje f: T→R będziemy nazywać indeksowaną rodziną zbiorów lub indeksowaną rodziną podzbiorów przestrzeni X.
Niech F(t)=At dla t∈T. Oczywiście At∈R, a więc At jest podzbiorem przestrzeni X dla każdego t∈T.
Sumą uogólnioną zbiorów At, t∈T, nazwiemy zbiór, który oznaczamy symbolem "" do którego należy element x przestrzeni X wtedy i tylko wtedy, gdy x należy co najmniej do jednego ze zbiorów At dla t∈T, co można zapisać symbolicznie : (x∈) ⇔ (x∈At)
symbol "" czytamy "istnieje".
Jeżeli T={1,2,3,..,n} to suma uogólniona zbiorów
= A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ...∪ An
Można dla T=N (liczby naturalne) zastosować zapis następujący: An
Iloczynem uogólnionym zbiorów At, t∈T nazywamy zbiór, który oznaczamy symbolem : At, do którego należy element x przestrzeni X wtedy i tylko wtedy gdy x należy do każdego ze zbiorów At dla t∈T.
Co można zapisać symbolicznie:
( x∈At ) ⇔ ( x∈A )
Symbol "" czytamy "dla każdego".
Jeżeli T={1,2,3,...,n} to iloczyn uogólniony zbiorów
At =A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪An
Można dla T=N (liczby naturalne) zastosować zapis An.
Własności sum i iloczynów uogólnionych zbiorów
1. Dla dowolnej indeksowanej rodziny zbiorów (At)t∈T :
- dla każdego t∈T At ⊂ i At ⊂ At
- jeżeli At⊂A dla każdego t∈T to ⊂A
- jeżeli A⊂At dla każdego t∈T to At⊂A
2. Dla dowolnych rodzin indeksowanych zbiorów (At) i (Bt): jeżeli At⊂Bt dla każdego t∈T to
⊂ i At ⊂ Bt
3. Dla dowolnego zbioru A i dowolnej indeksowanej rodziny zbiorów (At) :
- A ∪ = (A ∪ At)
- A ∩ = (A ∩ At)
- A ∪ At = (A ∪ At)
- A ∩ At = (A ∩ At)
4. Dla dowolnych indeksowanych rodzin zbiorów (At)t∈T i (Bt)t∈T zachodzą następujące prawa rozdzielności :
a) ∪ = (At ∪ Bt)
b) At ∩ Bt = (At ∩ Bt)
c) At ∩ Bt = (At ∩ Bt)
d) At ∪ Bt = (At ∪ Bt)
5. Dla dowolnej indeksowanej rodziny zbiorów (At)t∈T oraz dowolnego zbioru A słuszne są uogólnione prawa de Morgana (dla różnicy) :
A - At = (A - At)
A - At = (A - At)
A jeżeli rozpatrzymy rodzinę podzbiorów (At∈T)t∈T przestrzeni X to otrzymamy :
X - At = (X - At)
X - At = (X - At)
czyli
- At = (- At)
- At = (- At)
stąd wnioskujemy , że :
Dopełnienie sumy uogólnionej zbiorów jest równe iloczynowi uogólnionemu dopełnień, oraz dopełnienie iloczynu uogólnionego zbiorów jest równe sumie uogólnionej dopełnień tych zbiorów.
Jednym z podstawowych pojęć teorii mnogości jest pojęcie równoliczności zbiorów czyli równości mocy zbiorów.
Zbiory X i Y nazwiemy równolicznymi jeżeli istnieje funkcja różnowartościowa f:X→Y przekształcająca X na Y.
O funkcji f mówimy, że ustala ona równoliczność zbiorów X i Y. Jeżeli zbiory X i Y są równoliczne to zapisujemy to następująco: X≈Y. Każdemu zbiorowi X przyporządkowuje się pewną cechę zwaną liczbą kardynalną lub mocą zbioru co oznaczamy następująco .
Dwóm zbiorom X i Y jest przyporządkowana ta sama liczba kardynalna wtedy i tylko wtedy gdy zbiory X i Y są równoliczne. Co zapisujemy () ⇔ (X≈Y).
Jeżeli zbiór X jest zbiorem skończonym n-elementowym to za jego moc przyjmuje się liczbę n.
Oczywiste, że =0.
Zbiorami przeliczalnymi nazywamy zbiory skończone lub równoliczne ze zbiorem N wszystkich liczb naturalnych. Moc zbiorów przeliczalnych nieskończonych oznaczamy symbolem (alf zero).
Na przykład zbiór wszystkich liczb całkowitych lub zbiór wszystkich liczb wymiernych są to zbiory przeliczalne.
Nieprzeliczalnym nazywamy zbiór liczb, który nie jest przeliczalny. Na przykład zbiór liczb rzeczywistych, lub zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Moc obu wyżej wymienionych zbiorów wynosi C (continuum). Istnieje hipoteza zwana continuum (czytamy kontinuum), która mówi że nie istnieją zbiory o mocy większej niż i mniejszej niż C.
zadania :
1.9 Dla dowolnych zbiorów A, B, C udowodnić, że
a) A∪B = B∪A (prawo przemienności sumy zbiorów),
b) A∪(B∪C)=(A∪B)∪C (prawo łączności sumy zbiorów),
c) A∩B = B∩A (prawo przemienności iloczynu zbiorów),
d) A∩(B∩C) =(A∩B)∩C (prawo łączności iloczynu zbiorów),
e) A∩(A∪B) = A (prawo absorpcji),
f) (A∩B)∪B = B (prawo absorpcji),
g) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (prawo rozdzielności dodawania względem mnożenia),
h) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania),
i) A-(B∪C) = (A-B)∩(A-C),
j) A-(B∪C) = (A-B)-C,
k) A-(B∩C) = (A-B)∪(A-C),
l) A-(A-B) = A∪B,
ł) A∪(B-A) = A∪B,
m) A∩(B-C) = (A∩B)-C,
n) (A∪B)-C = (A-C)∪(B-C),
o) A-(B-C) = (A-B)∪(A∩C).
1.10 Za pomocą kółek zaznaczyć na rysunku zbiór :
a) (A∪B)-C,
b) (A∪B)-(A∩B)
c) A-(B∪C)
d) A-(A∩B)
1.11 Narysuj zbiory :
a) {(x,y) : x>0 ⇔ y<0}
b) {(x,y) : x>0 ⇒ y>0}
1.12 W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć zbiory : C = A∩B i D = A∪B jeżeli:
a) A={(x,y):x∈R ∧ y∈R ∧ log(x)≤ y }
B={(x,y):x∈R∧y∈R∧xa2+2a+1>0∧0≤y}
b) A={(x,y):x∈R ∧ y∈R ∧ x2+y2+6x+2y+60 }
B={(x,y) : x∈R ∧ x∈R ∧ |x|+x = |y|+y }
1.13 Wyznaczyć zbiory : A∩B, A∪B, A', A-B jeżeli:
a) A={x∈R ∧ |x-2|3}
B=(2,6>
b) A={x∈R ∧ |1-2x|>5}
B={-2} v (0,4>
1.14 Wyznaczyć zbiór C=(AvB)' jeżeli :
A={x∈R, }
B={x∈R, |x+1|2}
1.15 Wykazać , ze zbiór A B jest jednoelementowy :
A={(x,y)∈R2 : y-1 (x-1)2}
B={(x,y)∈R2 : y 2(x-1)}
1.16 Obliczyć An oraz An:
a) An={x∈R : },
b) An={x∈R : },
c) An={x∈R : },
d) An={x∈R : },
e) An={x∈R : },
f) An={x∈R : }.
1.17 Zbadać moc zbioru wszystkich kół na płaszczyźnie, które mają środek o współrzędnych wymiernych i których promień ma długość będącą całkowitą wielokrotnością .
1.18 Zbadać jaka jest moc zbioru wszystkich trójkątów równobocznych na płaszczyźnie których bok jest równy a (a>0)i których jednym z wierzchołków jest punkt (0,0).
1.3 Relacje
Podstawowe wiadomości teoretyczne.
Niech dane będą dwa dowolne zbiory A≠∅ i B≠∅ oraz a∈A i b∈B.
Parą uporządkowaną elementów a i b (na pierwszym miejscu a, na drugim miejscu b) będziemy oznaczali (a,b).
Iloczyn kartezjański zbiorów A i B, który oznaczymy AxB określamy następująco :
AxB={ (a,b) : a∈A b∈B }
Jak widać jest to zbiór wszystkich par uporządkowanych (a,b), takich, że a∈A i b∈B, gdzie "a" jest nazywany poprzednikiem, a "b" następnikiem.
relacją w zbiorze X nazwiemy podzbiór„”⊂XxX.
Jeżeli będziemy mieli dwa zbiory X i Y to każdy podzbiór ⊂XxY nazywamy relacją w zbiorze XxY, co będziemy symbolicznie zapisywać xy.
Jeżeli relacja spełnia następujący warunek : "dla każdego x∈X istnieje dokładnie jeden element taki, że xy" to relację tą nazywamy funkcją.
Relacje dwuczłonowe w produkcie XxY gdzie X i Y są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiory tego produktu.
Zbiór poprzedników par uporządkowanych (x,y) należących do relacji nazywamy dziedziną tej relacji i oznaczamy D().
Przykład 6
Niech zbiór X={1,2,3,4,5}, a Y={{1,2},{1,4}}, a niech będzie relacją przynależności elementu do zbioru w produkcie XxY. Wówczas D()={1,2,4}, a elementy 3 i 5 nie należą do dziedziny relacji, gdyż nie są one elementami żadnego ze zbiorów {1,2}, {1,4} należących do Y.
Przeciwdziedzina relacji ⊂XxY nazywamy zbiór następników par uporządkowanych należących do i oznaczamy D*().
Przykład 7.
Niech zbiór X={2,3} i Y=N (zbiór liczb naturalnych) a niech będzie relacją podzielności, czyli xy ⇔ x|y (x jest dzielnikiem y). Wówczas D*() jest zbiorem tych liczb naturalnych , które są podzielne przez 2 lub przez 3.
Zbiór D()∪D*() nazywamy polem relacji .
Niech dany będzie produkt kartezjański XxY niepustych zbiorów X i Y. Wyrażenie (x,y), w którym występują dwie zmienne x,y i które staje się zdaniem, gdy zamiast zmiennej x podstawimy nazwę dowolnego elementu zbioru X, a następnie zamiast y - dowolnego elementu zbioru Y nazywamy funkcją zdaniową dwóch zmiennych x i y. Zakresem zmienności są odpowiednio zbiory X i Y.
Funkcję zdaniową dwóch zmiennych x,y, których zakresem zmienności są odpowiednio zbiory X i Y można traktować jako funkcję zdaniową jednej zmiennej z=(x,y), której zakresem zmienności jest produkt kartezjański XxY.
Przykład 8
Niech X=Y=R (R-zbiór liczb rzeczywistych). Wyrażenie x<y x∈R, y∈R jest przykładem funkcji zdaniowej dwóch zmiennych x,y, których zakresem zmienności są liczby rzeczywiste.
Wśród relacji w zbiorze X szczególnie ważne są niżej wymienione relacje :
1. Zwrotna
jeżeli dla każdego x∈X spełniony jest warunek xx
2. Przeciwzwrotna
jeżeli dla każdego x∈X nie zachodzi xx, a wiec ~xx zachodzi dla każdego x∈X.
3. Symetryczna
jeżeli warunek xy pociąga za sobą warunek yx dla każdego x,y∈X, co zapisujemy xy => yx dla każdego x,y∈X.
4. Przeciwsymetryczna (asymetryczna)
jeżeli warunek xy pociąga za sobą ~(yx), czyli gdy warunek xy i yx wykluczają się nawzajem dla każdego x,y∈X, co zapisujemy (xy)⇒~(yx) dla każdego x,y∈X.
5. antysymetryczna
jeżeli warunki xy i yx pociągają za sobą warunek x=y dla każdej pary elementów x,y∈X, co zapisujemy (xy ∧ yx) ⇒ (x=Y)
6. przechodnia
jeżeli warunki x y i y z pociągają za sobą warunek x z dla każdego x,y,z∈X, co zapisujemy (xy ∧ yx) ⇒ (xz) dla każdego x,y,z∈X
Relację mającą własności 1,3,6 nazywamy relacją równoważności w X i piszemy x≈y.
Dla każdego elementu x∈X niech oznacza zbiór tych wszystkich elementów y∈X, które pozostają z x w relacji równoważności, czyli takich dla których spełniony jest warunek x≈y.
Zbiory dla których x∈X nazywamy klasami równoważności lub klasami abstrakcji relacji równoważności w zbiorze X.
Zasada abstrakcji lub zasada identyfikacji elementów równoważnych:
Dowolna relacja równoważności w zbiorze X≠∅ ustala podział tego zbioru na rozłączne i niepuste podzbiory, mianowicie na klasy równoważności tej relacji w taki sposób, że dwa elementy zbioru X należą do tej samej klasy równoważności wtedy i tylko wtedy gdy x≈y.
Przykłady relacji :
Przykład 9
Zbiór {(x,y)∈NxN : x|y} jest podzbiorem NxN. Do relacji tej należą wszystkie te i tylko te pary liczb naturalnych (x,y), których poprzedniki x są dzielnikami następników y. Wszystkie pary: (2,4), (3,6), (3,9), (3,12), (4,12) są elementami tej relacji, która jest przykładem relacji podzielności.
Przykład 10.
Zbiór {(x,y)∈RxR : x<y } będący podzbiorem produktu RxR jest przykładem relacji mniejszości.
Przykład 11.
Zbiór {(x,y)∈RxR : x=y} będący podzbiorem produktu RxR jest przykładem relacji równości.
Zadania :
1.19 Wykreślić w R2 relacje oraz zbadać, które z nich są zwrotne, symetryczne, przechodnie
a) R1={ (x,y) : |x-y|2 }
b) R2={ (x,y) : 1 < x2+y24}
c) R3={ (x,y) : y≥x}
d) R4={ (x,y) : x+y=4 }
e) R5={ (x,y) : x2+(y-2)2>4 }
f) R6={ (x,y) : (y-x)2≥9 }
g) R7={ (x,y) : 2|x-y|5 }
h) R8={ (x,y) : y=x2}
i) R9={ (x,y) : |x-y|=2}
j) R10={ (x,y) : x2 < y < }
k) R11={ (x,y) : < y < x3}
l) R12={ (x,y) : 2x2-y2≥0}
m) R13={ (x,y) : x2-y2=1}
n) R14={ (x,y) : y=tg(x) }
1.20 Zbadać, czy relacja NxN jest zwrotna, symetryczna, spójna, asymetryczna, przechodnia :
a) xy ⇔ x|y
b) xy ⇔ 2|(x+y)
1.21 Niech X={ x∈R : 0x<2 }. Znaleźć relacje⊂XxX będącą relacją równoważności w X, której klasami abstrakcji są zbiory { x∈R : 0 x < 1 }, {1}, { x∈R : 1 < x < 2 }
1.4 Elementy rachunku funkcyjnego i jego zastosowanie do dowodów matematycznych
Podstawowe wiadomości teoretyczne.
Bardzo ważną rolę w sformułowaniu twierdzeń i definicji matematycznych, oprócz funktorów zdaniotwórczych, odgrywają słowa "istnieje" i "każdy".
Zwrot "dla każdego .. jest .." oznaczamy symbolem (lub ) i nazywamy kwantyfikatorem ogólnym dużym.
Zwrot "istnieje takie .. że .." oznaczamy symbolem (lub ) i nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym lub egzystencjalnym.
Na przykład zdanie :
" Dla każdej liczby rzeczywistej x≠0 zachodzi : x2>0 " zapisujemy symbolicznie x2>0,
lub zdanie "Istnieje liczba rzeczywista x<0, taka że x2-1=0" zapisujemy symbolicznie x2-1=0.
Kwantyfikatory występujące w powyższych zdaniach nazywamy kwantyfikatorami o zakresie ograniczonym przez funkcję zdaniową. Funkcję zdaniową ograniczającą zakres kwantyfikatora jest x≠0 i x<0.
Istnieją równoważności pozwalające na przejście od wyrażeń zawierających kwantyfikatory o zakresach ograniczonych przez funkcję zdaniową do wyrażeń, w których kwantyfikatory takie nie występują.
,
Na przykład :
x2>0 ≡ x≠0 ⇒ x2>0
x2-4 ≡ x<0 ∧ x2-4=0
Niech f(x) będzie dowolną funkcją zdaniową o zakresie x≠∅. Zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zdanie jest prawdziwe oraz jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest zdanie . Co można ująć w równoważności zwane prawami de Morgana dla kwantyfikatorów :
≡
≡
Kwantyfikator ogólny można zdefiniować za pomocą negacji i kwantyfikatora egzystencjalnego, a kwantyfikator egzystencjalny za pomocą kwantyfikatora ogólnego i negacji. Są to zdania ujęte w prawo podwójnego przeczenia
Jeżeli są zdaniami lub funkcjami zdaniowymi to następujące wzory są prawami rachunku funkcyjnego.
Są to prawa włączania i wyłączania dla kwantyfikatorów:
Słuszne są również prawa rozdzielności dla kwantyfikatorów.
Prawo rozdzielności kwantyfikatora szczegółowego względem koniunkcji
Kwantyfikator ogólny nie jest rozdzielny względem alternatywy czyli, gdy zamiast znaku „∧” wstawimy „∨” to nie otrzymamy prawa rachunku funkcyjnego.
Prawo rozdzielności kwantyfikatora szczegółowego względem alternatywy
Kwantyfikator szczegółowy nie jest rozdzielny względem koniunkcji to znaczy zastępując znak „∨” przez „∧” nie otrzymamy prawa rachunku funkcyjnego.
Prawami rachunku funkcyjnego są również implikacje
(prawo rozkładania kwantyfikatora egzystencjalnego.)
Prawo przestawiania kwantyfikatorów :
Znaku implikacji w powyższym wzorze nie można zastąpić znakiem równoważności, bowiem implikacja odwrotna nie jest prawem rachunku funkcyjnego.
Przykład 12.
Niech będzie dana funkcja zdaniowa (x,y)∈R, x<y gdzie R -zbiór liczb rzeczywistych. Zdanie : jest prawdziwe, gdyż dla każdej liczby rzeczywistej y istnieje liczba rzeczywista x mniejsza od y. Natomiast zdanie : jest fałszywe, gdyż nie istnieje liczba rzeczywista x mniejsza od każdej liczby rzeczywistej y. Implikacja jest więc fałszywa.
Zależność pomiędzy pojęciem sumy i iloczynu uogólnionego, a kwantyfikatorami ujmuje następujące twierdzenie :
Dla dowolnej funkcji zdaniowej , x∈X, y∈Y
Dowodzenie twierdzeń matematycznych polega na kolejnym przeprowadzaniu prostych rozumowań, w których uznajemy pewne zdanie lub funkcję zdaniową za bezpośrednią konsekwencję logiczną innych zdań, których prawdziwość była już udowodniona lub też przyjęta jako aksjomat.
Każdy krok rozumowania takiego opiera się na wykorzystaniu pewnego prawa rachunku kwantyfikatorów lub reguły dowodzenia.
Przykładem zastosowania rachunku funkcyjnego w dowodach matematycznych jest indukcja matematyczna (zwana tez indukcja zupełną). Jest to metoda dowodzenia twierdzeń dotyczących liczb naturalnych, która opiera się na zasadzie indukcji matematycznej.
Zasada indukcji matematycznej
Jeżeli :
1) twierdzenie jest prawdziwe dla n∈N T(n),
2) założenie indukcyjne: zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=k T(n=k)
3) udowodnimy prawdziwość twierdzenia dla n=k+1 T(n=k+1)
to dane twierdzenie T(n) jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n.
Przykład 13.
Udowodnić, że:
1+2+3+4+..+n=
Dowód indukcyjny :
1° n=1 L=1 ; P==1 ⇒ L=P
2° zakładamy słuszność wzoru dla n=k
1+2+3+..+k =
3° dla n=k+1 mamy
1+2+3+..+k+(k+1) =
z założenia indukcyjnego (punkt 2)
L=+(k+1)=
P= ⇒ L=P
Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej n.
c.k.d.
Przykład 14.
Udowodnić, że 9|(10n - 1 )
1° dla n=1, 9 jest podzielne przez 9
2° dla n=k, zakładamy, że 9|(10k -1)
3° dla n=k+1 otrzymujemy : 10k+1 - 1=10(10k-1) + 9. Pierwszy składnik sumy jest podzielny przez 9 z założenia indukcyjnego.
A więc na podstawie indukcji matematycznej liczba 10n -1 jest podzielna przez 9 dla każdego n∈N.
c.k.d.
Zadania:
1.22 Określić wartość logiczną zdań i napisać ich zaprzeczenie:
a) x2<0 b) (x+2>0)
c) 3x<1 d) 3x≤0
e)3x≤0 f) (x2>0 ∨ x=0)
g)(x>0 ∨ x=-1) h) (x<2 ∧ x>0)
i)(x2>0 ∧ |x|≥0 ) j)(x2<0∨2x>1)
k)(x2≤-1 ∨ |x|<0 ) l)(|x|<0∧3x>1)
ł)(x2≠0 ∧ log2(x)=1) m) cos(x)=3
n)(x>0 ∧ x≤0) o) |cos(x)|>1
1.23 Znaleźć w zbiorze R (R-zbiór liczb rzeczywistych) wykresy następujących funkcji zdaniowych :
a) x2+y2=1 b) x2+y2=1
c) x2+1<y d) xy<1
e) xy≠ 1 f) xy<1
1.24 Określić wartość logiczną zdań :
a) y=x2+1 b) y=x2+1 c) y=x2+1 d) y=x2+1
e) y=x2+1 f) y=x2+1
g) y=x2+1 h)y=x2+1
i)[((x2-3x+2>0)∨(x2-4x<0)]
j) n2>x
k)[(x2-3x+2>0)∨(x2-4x<0)]
l) n2<x
ł) n2+k2>2 m) n=
n) (xy<0 ∨ xy≥0)
o) (xy≥0 ∨ x<y)
p) ( x2+y2≥0 ∧ |x|=|y|)
1.25 Wykazać, że
a) 6|10n - 4
b) 5|6n - 1
c) 9|[n3 + (n+1)3 + (n+2)3]
d) 2|(n2-n)
e) 3|(n3 -n)
1.26 Wykazać, że
a) 12+32+52+..+(2n-1)2=
b) 1+3+5+..+(2n-1)=n2
c) 2+4+6+..+2n=n(n+1)
d) +++..+ =
e) 12+22+32+..+n2=
f) 22+42+62+..+(2n)2=
g) 13+23+33+..+n3=
h)+++..+=
i) 1*2+2*3+3*4+..+n(n+1) =
II. ANALIZA MATEMATYCZNA.
2.1 Klasyfikacja zbiorów liczbowych.
Podstawowe wiadomości teoretyczne
Ciało jest to zbiór, oznaczmy go literą F, wyposażony w dwie operacje, które nazywamy dodawaniem i mnożeniem.
Operacje te spełniają tak zwane „aksjomaty ciała”.
Aksjomaty dla dodawania:
1) Jeżeli x oraz y należą do F, to ich suma x+y należy do F
2) Dodawanie jest przemienne tzn. x+y=y+x dla x,y∈F
3) Dodawanie jest łączne : (x+y)+z=x+(y+z) dla x,y,z∈F
4) F zawiera element „0" taki, że 0+x=x dla każdego x∈F
Liczba 0 jest elementem neutralnym dodawania.
5) Dla każdego x∈F istnieje element „-x" taki, że x+(-x)=0
Aksjomaty dla mnożenia:
1) Jeżeli x oraz y należą do F to ich iloczyn x*y należy do F
2) Mnożenie jest przemienne x*y=y*x dla x,y∈F
3) Mnożenie jest łączne (x*y)*z=x*(y*z) dla x,y,z∈F
4) F zawiera element 1≠0 taki że 1*x=x dla każdego x∈F
5) Jeżeli x∈F i x≠0 to istnieje element ∈F taki, że x*=1 Liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia.
6) Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania x*(y+z)=x*y+x*z dla każdego x,y,z∈F
Aksjomaty powyższe pociągają następujące własności
dla dodawania :
1) jeżeli x+y=x+z to y=z
2) jeżeli x+y=x to y=0
3) jeżeli x+y=o to y=-x
4) -(-x)=x
dla mnożenia :
1) jeżeli x≠0 oraz x*y=x*z to y=z
2) jeżeli x≠0 oraz x*y=x to y=1
3) jeżeli x≠0 oraz x*y=1 to y=
4) jeżeli x≠0 to =x
5) x*0=0
6) jeżeli x≠0 i y≠0 to x*y 0
7) (-x)*y = x*(-y)
8) (-x)*(-y)=x*y
Przekrojem zbioru liczb wymiernych nazywamy każdy podział zbioru liczb wymiernych na dwie klasy (dwa zbiory) A i B spełniające warunki:
1) żadna z klas nie jest pusta
2) każda liczba wymierna należy dokładnie do jednej z klas
3) każda liczba klasy A jest mniejsza od każdej liczby klasy B
Liczbami rzeczywistymi nazywamy przekroje zbioru liczb wymiernych mające tę własność, że w klasie niższej nie ma liczby największej, a w klasie wyższej liczby mniejszej.
Jeżeli przekrój [A,B] wyznacza liczbę niewymierną a to będziemy pisali a=[A/B].
Lczby wymierne i niewymierne nazywamy liczbami rzeczywistymi.
Zasada ciągłości zbioru liczb rzeczywistych
Każdy przekrój zbioru liczb rzeczywistych wyznacza pewną liczbę rzeczywistą, która jest albo największą w klasie dolnej A lub najmniejszą w klasie górnej B.
Zbiór X nazywamy ograniczonym z dołu jeżeli
(x≥M)
Kresem dolnym zbioru X nazywamy największą z liczb M spełniającą nierówność x≥M dla każdego x∈X i oznaczamy symbolem inf(X).
Zbiór X nazywamy ograniczonym z góry jeżeli
(x≤M)
Kresem górnym zbioru X nazywamy najmniejszą z liczb N spełniającą dla każdego x∈X nierówność x≤N i oznaczamy symbolem sup(X)
Podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R jest zbiór :
- liczb naturalnych N=1,2,3,..
- liczb całkowitych C,
Na zbiór liczb całkowitych składają się : zbiór liczb naturalnych, zbiór liczb do nich przeciwnych oraz liczba „0”.
Zadania :
2.1 Wykazać, że zbiór A liczb nieujemnych jest nieograniczony z góry.
2.2 Wykazać, że zbiór liczb postaci m - n gdzie m,n∈N jest nieograniczony z góry .
2.3 Wykazać, że kres górny zbioru liczb postaci , gdzie x∈N jest równy 1.
2.4 Wykazać, że kres górny zbioru {0} wynosi 0.
2.5 Niech A,B będą niepustymi i ograniczonymi z góry podzbiorami zbioru R (liczb rzeczywistych). Niech D będzie zbiorem wszystkich możliwych sum x+y gdzie x∈A, y∈B, czyli D={(x+y):x∈A ∧ y∈B}. Wykazać że supD=supA+supB
2.6 Wykazać, że kres dolny zbioru liczb postaci , gdzie x∈R jest równy -0,5.
2.7 Wykazać, że inf{z: z= + ∧ n∈N}=2
2.8 Zbadać istnienie kresów inf(Z) oraz sup(Z)
a) Z={z: z= - ∧ n∈N}
b) Z={z: z= ∧ n∈N}
2.2 Funkcje
Podstawowe wiadomości teoretyczne
Relację , która odwzorowuje zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x∈X istnieje dokładnie jeden element y∈Y taki, że xy oraz dla każdego y∈Y istnieje element x∈X taki, że xy, nazywamy funkcją.
Funkcja przyporządkowuje jednoznacznie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jeden element zbioru Y.
X będziemy nazywać dziedziną funkcji, zbiorem argumentów lub zmienna niezależną, a Y - przeciwdziedziną, zbiorem wartości lub zmienną zależną.
Dziedzinę oznaczamy symbolem D, a przeciwdziedzinę symbolem D-1. Funkcję y=f(x) można przedstawić za pomocą wzoru lub wykresu. Podamy kilka przykładów wzorów funkcji wraz z ich wykresami.
Przykład 1
Dana jest funkcja y = sgn(x) określona następująco
Funkcja ta nazywa się signum(x).
Wykres tej funkcji przedstawia rys 2.1
rys 2.1
Funkcja y = sgn(x) nie jest ciągła ani lewostronnie, ani prawostronnie w punkcie x=0.
Przykład 2
Dana jest funkcja y=[x]. Funkcję [x] oznaczamy często symbolem E(x) i nazywamy funkcją "entier" x (czytamy : antie) co oznacza po francusku "całość". [x] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od x. Wykres funkcji y=[x] przedstawia rys 2.2.
rys 2.2
Jest to funkcja ciągła dla wszystkich x niecałkowitych. Dla x całkowitych mamy tylko ciągłość prawostronną, a nieciągłość lewostronną.
Przykład 3
Niech dana będzie funkcja y = H(x) określona następująco
Funkcja ta nazywa się funkcją Heavisidea (czytaj Hewisajda). Wykres funkcji y=H(x) przedstawia rys 2.3.
rys 2.3
Jest to funkcja ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych z wyjątkiem x=0, gdzie jest nieciągła (choć jest określona).
Przykład 4
Funkcja y=D(x) jest określona następująco :
Funkcja D(x) nazywa się funkcją Dirichleta.
Wykres funkcji y=D(x) przedstawia rys 2.4.
rys 2.4
Wykres funkcji Dirichleta składa się z nieskończenie wielu punktów leżących gęsto na dwóch prostych : osi OX oraz prostej y=1. Część wykresu leżąca na osi OX ma następującą własność : pomiędzy każdymi dwoma punktami wykresu leżą na osi OX punkty nie należące do wykresu i na odwrót, pomiędzy dwoma punktami nie należącymi do wykresu leżą punkty wykresu.
Funkcja różnowartościowa
Niech X i Y będą odpowiednio dziedziną i przeciwdziedziną funkcji f(x). f(x) jest funkcją różnowartościową na zbiorze X wtedy i tylko wtedy gdy
Funkcja odwrotna
Relację ⊂YxX określoną następująco :
(y,x)∈ ⇔ (x,y)∈
nazywa nazywamy funkcją odwrotną do różnowartościowej na zbiorze X funkcji f i oznaczamy symbolem f-1.
Dziedziną funkcji odwrotnej f-1 jest przeciwdziedzina Y funkcji f, natomiast przeciwdziedzina funkcji odwrotnej f jest dziedzina X funkcji f.
Przykład 5
Funkcja odwrotna do funkcji y=ax (funkcja wykładnicza) jest funkcja logarytmiczna y=loga(x), a>0 i a≠1. Funkcja ta jest różnowartościowa na zbiorze X=(0,+∞), który jest jej dziedziną, a przeciwdziedziną jest zbiór Y=(-∞,+∞).
Rys 2.5a przedstawia funkcję y=ax, zaś rysunek 2.5b y=loga(x) 0<a<1.
rys 2.5a,b
Funkcje cyklometryczne są przykładem funkcji odwrotnych do funkcji trygonometrycznych. Wykresy tych funkcji przedstawia rysunek 2.6a,b,c,d.
a) y=sin(x) arcsin(x)
b) y=cos(x) y=arccos(x)
D:x∈<0,Π> D:x∈<-1,1>
D-1:y∈<-1,1> D-1:y∈<0,Π>
c)y=tg(x) y=arctg(x)
D:x∈ D:x∈R
D-1:y∈R D-1:y∈
d) y=ctg(x) y=arcctg(x)
D:x∈(0;Π) D:x∈R
D-1:y∈R D-1: (0;Π)
rys 2.6a,b,c,d
Funkcja złożona
Niech będzie dana funkcja f, której dziedziną jest zbiór X, a przeciwdziedziną zbiór Y. Przyjmijmy ponadto, że
u=f(x), gdzie x∈X i u∈U,
y=g(u), gdzie u∈U i y∈Y.
Relację F⊂XxY określoną następująco:
(x,y)∈F ⇔ {[(x,u)∈] ∧ [(u,y)∈]}
nazywamy funkcją złożoną y=F(x) z funkcji f i g będących odpowiednio relacjami i. Co zapisujemy symbolicznie : F(x)=g(f(x)) lub F(x)=g°f.
We wzorach powyższych przyjmujemy oznaczenia:
x - zmienna niezależna
u - zmienna pośrednia
y - zmienna zależna
f - funkcja wewnętrzna
g - funkcja zewnętrzna
Przykład 5
Funkcję y =cos2(x) można traktować jako funkcję złożoną F=g(f(x))z funkcji f(x) = cos(x) i g(u)=u2.
Dziedziną X funkcji F jest zbiór R, a przeciwdziedzina Y jest przedział <0,1>. Przeciwdziedziną U funkcji wewnętrznej, a zarazem dziedziną funkcji zewnętrznej jest przedział <-1,+1>.
Własności szczególne funkcji liczbowych
Niech zbiór X będzie dziedziną funkcji f(x).
1. Funkcja f(x) jest ograniczona z dołu na zbiorze X wtedy i tylko wtedy gdy
2. Funkcja f(x) jest ograniczona z góry na zbiorze X wtedy i tylko wtedy gdy
3. Funkcja f(x) jest ograniczona na zbiorze X wtedy i tylko wtedy gdy
4. Funkcja f(x) jest parzysta na zbiorze X wtedy i tylko wtedy gdy
[-x∈X ∧ f(-x)=f(x)]
5. Funkcja f(x) jest nieparzysta na zbiorze X wtedy i tylko wtedy gdy
[-x∈X ∧ f(-x)=-f(x)].
6. Funkcja f(x) określona na zbiorze X jest okresowa wtedy i tylko wtedy gdy
7. Funkcja f(x) jest rosnąca na zbiorze X wtedy i tylko wtedy gdy
[ x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2) ]
8. Funkcja f(x) jest malejąca na zbiorze X wtedy i tylko wtedy gdy
[ x1<x2 ⇒ f(x1)>f(x2) ]
9. Funkcje f i g są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają tę samą dziedzinę X oraz
[f(x)=g(x)].
10. Kres dolny funkcji (zbioru wartości funkcji na zbiorze X) oznaczamy symbolem , a kres górny funkcji .
Zadania :
2.9 Wyznaczyć dziedzinę funkcji :
a) y= b) y=
c)y=+cos(x) d)y= e)y=
f)y=log(x-2)2 g)y=+log(2+x6x2)
h)y= + i)y=arcsin()
j)y=arcctg(x-2) k)y=log(arcsin(x2-2)
2.10 Wyznaczyć zbiory A∪B, A∩B, A-B gdzie: A - jest dziedziną funkcji y=log(sin(x)) B - jest dziedziną funkcji y=
2.11 Wykreślić funkcje :
a) y=[x]-x b) y=[x+1]
c) y= d) y=0,5*sgn(x)
e) y=1+sgn(x) f) y=|sgn(x)|
g) y=sgn(x)-x h) y=-2|2x-1| i) y=|x2+4x+3| j) y= k) y=-1-|x| l) y=|log0,5(x)|
m) y=|cos(x)| n) y=-2-|log2(x)| o) y=sgn[log3(x-2)]
2.12 Wykreślić funkcje i wyznaczyć jej dziedzinę i przeciwdziedzinę :
a) y=
b) y= + sin(x)
2.13 Wykreślić funkcje i omówić ich własności:
a) y=arcsin(x-2) dla x∈<1,3>
b) y=1+0,5*arccos(2x-1) dla x∈R
c) y=arctg(0,5*x) dla x∈R
d) y=arcsin() dla x∈<;>
e) y=arccos(2x) dla x∈<0,+∞>
2.14 Wyznaczyć funkcję odwrotną do danej funkcji :
a) y=x2+1 dla x∈<0,+ ∞)
b) y=x2+x+1 dla x∈(-∞;-0,5>
c) y=x2+x+1 dla xe<-0,5;+ ∞)
d) y= dla x∈(-∞,0)
e) y=x4+2x2 dla x∈<0,+∞)
2.15 Znaleźć okres podstawowy funkcji :
a) y=sin(5x) b) y=tg() c) y= d) y=cos2(2x)-4 e) y=x-[x] f) y=
2.16 Wykazać, że funkcja y= jest
a) rosnąca na przedziale (-∞,-3)
b) malejąca na przedziale (-3,+ ∞)
51