POLITECHNIKA ŚLĄSKA
WYDZ.:MAT.-FIZ.
KIERUNEK :
FIZYKA TECHNICZNA.
PRAWIDŁOWOŚCI STATYSTYCZNE
PRZY REJESTRACJI ZDARZEŃ LOSOWYCH.
SEKCJA 7.
JAROSŁAW KONIECZNY
GRZEGORZ SZYC
1.WSTĘP.
1.1.ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA POISSONA.
Prawdopodobieństwo rozpadu jądra atomu w przedziale czasu zależy jedynie od szerokości tego przedziału . Jeżeli przedział czasu Δt jest dużo
mniejszy od średniego czasu życia τ , charakteryzujący dany izotop , to
prawdopodobieństwo rozpadu wynosi :
p = Δt / τ
Ponieważ obserwacji podlega jednocześnie bardzo duża liczba atomów
N , to prawdopodobieństwo zarejestrowania rozpadu może przyjąć war -
tość bliską 1 . Prawdopodobieństwo zarejestrowania n rozpadów wynosi :
Pn = np ( N - n )1-p ( Nn )
W przypadku gdy N >>1 i p <<1 , Pn można aproksymować wzorem
Poissona :
Pn = exp ( -N p) ( N p )n / n! = exp ( - λ) ( λn / n! ).
Jeżeli zachodzi nierówność λ >>1 , to wzór Poissona można aproksymo -
wać wzorem Gaussa :
Pn = 1/ ( 2Πλ)1/2 exp (- (n -λ)2/ 2λ ).
Jest to normalny gęstości rozkład prawdopodobieństwa .
1.2.WYKŁADNICZY ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA .
Impulsy z licznika G-M są dobrym przykładem zdarzeń niezależnych . Odstęp czasu pomiędzy przypadkowymi zdarzeniami niezależnymi ma
rozkład wykładniczy exp ( -x ) . Oznacza to , że po dowolnym impulsie
następny przyjdzie najprawdopodobniej natychmiast , a długie odstępy czasu są mało prawdopodobne . Rozkład wykładniczy jest bezpośrednio związany z rozkładem Poissona . Ilośc impulsów zarejesrowanych w prze-
dziale czasu podlega rozkładowi Poissona tylko wtedy , gdy odstęp mię -
dzy impulsami podlega rozkładowi wykładniczemu .
1.3.ROZKŁAD RÓWNOMIERNY.
Rozkład równomierny prawdopodobieństwa opisuje wynik rzutu np.
kostką do gry . Prawdopodobieństwo każdego wyniku jest takie samo i
wynosi 1/N , gdzie N oznacza ilość wyników .
1.4.TEST χ2.
Test zgodności χ2 jest rozkładem teoretycznym . Test ten zostanie omówiony na przykładzie ozkładu równomiernego .
Zmienna losowa kn będącą ilością prób , w których otrzymano cyfrę n ,
podlega rozkładowi prawdopodobieństwa dwumianowego . Warość ocze-
kiwana tego rozkładu wynosi 1/10 k , a dyspersja ( 1/ k )1/2 . Zmienna lo -
sowa wynosi :
xn = (kn - k/10) / (k / 10)1/2
ma rozkład o wartości oczekiwanej 0 i dyspersji 1 . Zmienna losowa χ2
zdefiniowana jest następująco :
χ2 = Σ xn2
2. STANOWISKO POMIAROWE.
OPIS I OBSŁUGA PROGRAMU KOMPUTEROWEGO .
Program realizuje trzy rozkłady statystyczne :Poissona , wykładniczy i
równomierny . Wyboru dokonuje się przez naciśnięcie klawisza 1,2 lub 3 .
Szczególne znaczenie w programie ma klawisz ” D ”. Naciśnięcie go powoduje przejście do następnego etapu wykonania danej części ćwicze-
nia . W szczególności , w dowolnym momencie można np. przerwać proces rejestracji impulsów G-M i naciskając kilka razy klawisz ” D ” ,
dojść do początku programu , aby ponownie rozpocząć wykonanie dowol-
nej części ćwiczenia .
ROZKŁAD POISSONA.
Program realizujący rozkład Poissona uruchamia się naciskając klawisz 1 a następnie ” D ” . Na ekranie monitora będzie utworzony histogram .
Liczby od 0 do 15 ozn. liczby impulsów zarejestrowanych w ciągu 1s.Pow-
stające poziome słupki oznaczają ilości pomiarów , w których zarejestro -
wano dane liczby impulsów .Komputer odczytuje co 1s stan przelicznika
i po odjęciu od odczytanej liczby wartości otrzymanej poprzednio otrzymu-
je liczbę impulsów N zarejestrowanych w ciągu ostatniej sekundy . Nastę-
pnie program dodaje do N - tego słupka jeden prostokąt . Jeżeli N jest>15
, to prostokąt dodawany jest do ostatniego , 15 -go słupka . Gdy najdłuż -
szy słupek dojdzie do prawej części ekranu , rejestracja pomiaru zostanie przerwana . Maksymalna długość słupka wynosi 62 . Program oblicza
również wartość średnią i dyspersję .
ROZKŁAD WYKŁADNICZY.
Rozkładowi wykładniczemu podlegają odstępy czasu pomiędzy dwoma
kolejnymi impulsami . Po naciśnięciu klawisza 2 a następnie ” D ” , kom -
puter odczytuje co pewien czas stan przelicznika i jeżeli stwierdzi , że
przybył impuls , to dodaje prostokąt do odpowiedniego słupka histogramu.
ROZKŁAD RÓWNOMIERNY.
Rozkład równomierny otrzymywany jest przez generację liczb losowych.
Po naciśnięciu klawisza 3 a następnie ” D ” zostaje uruchomiony program.
Generacja liczby losowej dokonuje się naciskając dowolny klawisz(oprócz
BREAK i ” D ” ) . Moment naciśnięcia klawisza nie jest skorelowany z pojawieniem się liczby . Tak więc otrzymuje się liczbę losową . Później
budowany jest histogram otrzymanych liczb losowych . Jeżeli otrzymano
cyfrę to prostokąt dodany jest do słupka N .
3.PRZEBIEG POMIARÓW.
1. Zbliżając lub oddalając od licznika G-M źródło izotopowe promieniowa -
nia , postarać się uzyskać szybkość zliczeń wynoszącą 0,5 imp/s . Pomia-
ru aktualnej szybkości zliczeń dokonuje się za pomocą przelicznika , na -
stawiając go na czas pomiaru ( wciśnięty klawisz niebieski T ) wynoszący
10 s .
2. Po uzyskaniu odpowiedniej szybkości zliczeń przełączyć przelicznik na
zliczanie impulsów w czasie nieskończonym ( klawisze T i N wyciśnięte ).
Uruchomić przelicznik ( START ) a następnie uruchomić program klawi -
szami 1 oraz ” D ” .
3. Odczytać z ekranu monitora i zanotować wartość średnią i dyspersję
uzyskanego rozkładu Poissona .
4. Pomiar powtórzyć dla szybkości zliczeń wynoszącej około 2 i 7 imp/s .
5. Ustawiając odpowiednio źródło promieniowania względem licznika G-M
uzyskać szybkość zliczeń wynoszącą 0,5-1,0 imp/s .
6. Po ponownym przełączeniu przelicznika na zliczanie impulsów w czasie nieskończonym klawiszami 2 oraz ” D ” uruchomić część pierwszą programu realizującą rozkład wykładniczy . Zanotować wartość średnią i
dyspersję rozkładu .
7. Ustawić przelicznk na ” TEST ” ( wciśnięte klawisze T i N ) oraz czas
pomiaru 0,1 s . Uruchomić przelicznik a następnie klawiszami 3 i ” D ”
program realizujący rozkład równomierny . Przelicznik zatrzymuje się po
100 s - trzeba go ponownie uruchomić ( START ) .
8. Naciskając dowolny klawisz z klawiatury komputera wygenerować kil-
kaset cyfr . Odczytać wartość średnią i dyspersję rozkładu .
9. Naciskając klawisz ” D ” odczytać z ekranu monitora ilości poszczegól -
nych cyfr .
UWAGA.
Można spróbować otrzymać nierownomierny rozkład cyfr losowych.W tym
celu przelicznik należy przestawić na dłuższy czas pomiaru np.100 s .Przy
takiej mniejszej szybkości zmian ostatniej cyfry można próbować trafić np.
w 0 . Histogram powinien wtedy mieć garb w okolicy 0 .
4. OPRACOWANIE WYNIKÓW.
1. Sprawdzić dla rozkładu Poissona , czy kwadrat dyspersji ( wariancja )
jest w przybliżeniu równy wartości średniej .
2. Stosując test χ2 sprawdzić , czy wygenerowany rozkład cyfr jest rzeczy-
wiście rozkładem rzeczywistym .