STATYSTYKI Z PRÓBY

1. Wiedząc, że miesięczne wydatki na żywność w rodzinach 3-osobowych mają rozkład normalny o parametrach X: N(1100; 200) zł, obliczyć prawdopodobieństwo, że wydatki losowo wybranej grupy 16 rodzin będą większe od 1050 zł.

2. Przeciętne tygodniowe wydatki na szkolenia pracowników w bankach państwowych mają rozkład normalny z wartością oczekiwaną równą 2400 zł i odchyleniem standardowym równym 640 zł; zaś w bankach komercyjnych 2600 zł z odchyleniem standardowym równym 700 zł;

a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że średnie tygodniowe wydatki na szkolenie w 64 losowo wybranych bankach państwowych będą większe od 2480zł i jednocześnie mniejsze od 2560 zł;

b) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że średnie tygodniowe wydatki na szkolenie w 64 losowo wybranych bankach państwowych będą mniejsze od średnich wydatków na szkolenie w 70 losowo wybranych bankach komercyjnych.

3. Zmienna losowa X- miesięczne spożycie soków owocowych (na 1 osobę) w 3-osobowych gospodarstwach domowych ma rozkład normalny N(5; σ)l. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że średnie spożycie soków owocowych (na 1 osobę) w 16 losowo wybranych gospodarstwach domowych będzie mniejsze niż 6,8 litra, jeżeli odchylenie standardowe dla tej próby wynosi 3,6 litra.

4. Prawdopodobieństwo rozwiązania zadania ze statystyki wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 600 studentów, co najwyżej 450 rozwiąże zadanie?

5. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wariancja liczby komiksów posiadanych przez 30 wylosowanych pracowników naukowych będzie wyższa od 25. Liczba komiksów wśród wszystkich pracowników naukowych jest zmienną losową o rozkładzie normalnym i odchyleniu standardowym równym 4.

6. Wiadomo, że wprowadzone w 1999 r. reformy nie cieszą się powszechną akceptacją społeczeństwa. Proszę obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w próbie 500 respondentów powyżej 300 osób z nich będzie przeciwnych wprowadzanym zmianom, jeżeli z badań opinii publicznej wynika, że 30% społeczeństwa popiera reformy.

7. Dochody tygodniowe pracowników pewnej agencji reklamowej mają rozkład N(750, σ). Dla losowo wybranych 225 pracowników otrzymano wartość wariancji równą 10000. Oblicz prawdopodobieństwo, że w tej próbie średnie zarobki przekroczą 800 zł.

8. Badano wiek w populacjach wielbicieli komiksów Asterix oraz Kajko i Kokosz - mają one rozkłady normalne o parametrach odpowiednio m₁ =

25 i σ₁ = 6 oraz m₂ = 23 i σ₂ = 7. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w wylosowanych próbach, odpowiednio 100 i 120 elementowych, średni wiek wielbicieli Asterix'a będzie większy od wieku wielbicieli Kajko i Kokosza.

9. Sondaże opinii publicznej wskazują, że 30% uprawnionych do głosowania nie weźmie udziału w referendum dotyczącym reformy administracyjnej pewnego kraju. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych 1000 osób, które mają prawo głosowania, więcej niż 27% a mniej niż 36% nie będzie brać udziału w referendum.

10. Zbadano wiek w populacjach wielbicieli komiksów Kaczor Donald oraz Wally Zwiedza Świat. Mają one rozkłady normalne o parametrach odpowiednio: X₁: N(11; 2) oraz X₂: N(10; 1). Podaj prawdopodobieństwo, że w wylosowanych próbach, odpowiednio n₁=25 oraz n₂ =36 elementowych wielbiciele Kaczora Donalda będą starsi.

11. W pewnej miejscowości wypoczynkowej tygodniowe wpływy uzyskane za świadczenie usług hotelowych w pensjonatach maja rozkład normalny o wariancji równej 4 tys. zł². Oblicz prawdopodobieństwo, tego że wariancja tygodniowych wpływów 10 wybranych pensjonatów: a) nie przekroczy 4,41 tys.zł²; b) będzie większa od 3,61 tys.zł ².

12. Prawdopodobieństwo rzucenia palenia przez nałogowego palacza określono na 0,05. Obliczyć:

a) prawdopodobieństwo zdarzenia, że w próbie 1000 osób deklarujących porzucenie tego nałogu więcej niż 50 spełni obietnicę.

b) prawdopodobieństwo zdarzenia, że w próbie 1000 osób deklarujących porzucenie tego nałogu odsetek spełniających obietnicę nie przekroczy 4%.

13. Prawdopodobieństwo zgonu niemowlęcia wynosi 0,009. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w próbie 500 niemowląt w ciągu roku nastąpi co najwyżej 10 zgonów?

14. Wiadomo, że studenci znający język angielski stanowią 80% ogółu studentów. Oblicz:

a) prawdopodobieństwo tego, że w losowo wybranej grupie 1000 studentów mniej niż 820 zna ten język;

b) prawdopodobieństwo tego, że w próbie 1000 studentów odsetek znających język angielski nie przekroczy 82%.

15. Zbadano częstość używania „czułych” słów w pewnym serialu brazylijskim i otrzymano wartość 0,3 (tzn. na 10 słów padających z ekranu trzy były „czułe”). W serialach wenezuelskich częstość ta wynosi 0,25. Oblicz prawdopodobieństwo, że częstość używania takich słów w 350 losowo wybranych odcinkach brazylijskich będzie mniejsza od częstości w 225 wylosowanych odcinkach wenezuelskich.

16. Z badań sytuacji materialnej gospodarstw domowych w 1996r. wynika, że odsetek gospodarstw ubogich wśród gospodarstw rolniczych wynosi 23%, zaś wśród gospodarstw pracowniczych 18%.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowej próbie 300 gospodarstw rolniczych odsetek gospodarstw ubogich będzie większy niż w próbie 200 gospodarstw pracowniczych?

b) Czy zdarzenie wystąpienia w tej próbie co najwyżej 69 gospodarstw ubogich wśród gospodarstw rolniczych jest bardziej prawdopodobne niż znalezienia co najmniej 36 takich gospodarstw wśród gospodarstw pracowniczych ?

17. Załóżmy, że w „dobrym” roku wagi pewnej odmiany śliwek są zmienną losową o wartości oczekiwanej 16 g z odchyleniem standardowym równym 2 g.

a) jakie jest prawdopodobieństwo, że waga losowo wybranej jednej śliwki przekracza 17 g?

b) jakie jest prawdopodobieństwo, że 100 śliwek waży minimum 1550g?

c) jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia waga śliwki z próby 100 śliwek będzie mniejsza niż 17 g ale większa niż 16 g?

18. Zmienna losowa X ma nieznany rozkład o wartości oczekiwanej 8 i wariancji równej 2. Oblicz prawdopodobieństwo, że średnia ze 100 elementowej próby pobranej z tej populacji jest większa od 7,75. Metodę rozwiązania uzasadnić.

19. Zmienna losowa X ma rozkład Weibulla o wartości oczekiwanej 13,5 i wariancji 9. Oblicz prawdopodobieństwo, że średnia z 1000 elementowej próby pobranej z tej populacji jest mniejsza od 14,2. Metodę rozwiązania uzasadnić.

20. Na podstawie badań przeprowadzonych przez firmę ubezpieczeniową stwierdzono, że w ciągu roku co dziesiąty z ubezpieczonych samochodów zostaje skradziony.

a) Jakie będzie prawdopodobieństwo, że wśród 6 ubezpieczonych samochodów żaden nie zostanie skradziony?

b) Jakie będzie prawdopodobieństwo kradzieży co najmniej 50 samochodów spośród 400 ubezpieczonych? Z jakiego twierdzenia należy skorzystać przy rozwiązaniu tego polecenia?

21. Waga netto pudełka proszku do prania jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią równą 1 kg i odchyleniem standardowym równym 10 gram. Kontrola przyjmuje partię towaru, jeśli dla losowo wybranych 9 opakowań średnia waga nie będzie się różniła od 1 kg o więcej niż 5 gram. Jakie jest prawdopodobieństwo przyjęcia partii towaru?

22. Dzienne obroty hurtowni farmaceutycznych w pewnym województwie są zmienną losową o wartości średniej 3250 zł z odchyleniem standardowym 750 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

1. obroty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 350 000 zł?

2. średnia z dziennych obrotów, realizowanych w okresie 100 dni, będzie zawierać się w przedziale od 3200 zł do 3300 zł?

c) Metodę rozwiązania podpunktów uzasadnić.

1) 0,8413; 2) a. 0,1359; b. 0,9573; 3) 0,975; 4) 0,9957; 5) 0,025; 6) 0; 7) 0; 8) 0,9884; 9) 0,9806; 10) 0,989; 11) a. 0,7; b. 0,5; 0,975; 12) a. 0,5; b. 0,07353; 13) 0,995; 14) a. b. 0,9429; 15) 0,0885; 16) a. 0,916;

b. są równe 0,5; 17) a. 0,3085; b. 0,9937; c. 0,5; 18) 0,9625; 19) 1. 20. a. 0,531; b. 0,0474; 21. 0,8714.

22. a. 0,0004; b. 0,4972.

---