REGRESJA LINIOWA PROSTA

REGRESJA LINIOWA PROSTA

*Dwie zmienne ilościowe:* 1 zależna (Y) 1 niezależna (X)

b0,b1-parametry trzeci parametr:
(wariancja błędu losowego)

b0-wyraz wolny b1-współczynnik kierunkowy

*Miara dopasowania modelu do danych R^2 <0;1>

Współczynnik determinacji: R^2- jego wartość odpowiada na pytanie: w jakim % zmienność zmiennej zależnej Y została wyjaśniona przez model.

*Istotność zmiennych* test T-studenta (do badania istotności)

*Istotność modelu* F

*Ilość parametrów* Zawsze 3

Y=b0+b1x+E Parametrów w regresjach jest tyle ile zmiennych niezależnych (X) plus dwa. ( b0 i b1 estymatory parametrów)

Homoskedastyczność (stałość reszt),

Normalność kurtoza, skośność[standaryzowane składniki resztowe]należą do przedziału od -1do 1)

jeśli obserwacji więcej niż 30 - dowolny rozkład.

jeśli obserwacji mniej niż 30 - dodatkowe założenie dotyczące reszt
~

*Przyrost krańcowy (przyrost jednostkowy)*

przykład:X=-3,89+0,2X1+0,002X2

przyrost krańcowy X1=0,2 pkX2=0,002

*Elastyczność (zmiany procentowe)*

*współczynnik korelacji =R (wielokrotność R)

(Znak współczynnika korelacji i znak stojący przy b1 są zawsze takie same)

*MSE tj estymator parametru (zawsze będzie jedno MSE)

Jeżeli usuwamy obserwacje odstajaca: zmniejsza się MSE, zwiększa się R^2.

-resztowe (średnia tych reszt równa się 0).

-standaryzowane składniki resztowe, przedział <-3;3>

*Obserwacja odstająca - (King-Kong)

*Testy istotności : do badania całego modelu:

Istotność F-mniejsza od 5%.

test t-studenta (służy do badania istotności parametru)

H0:b0=0 HA:b0 różne od zera. H0:b1=0 HA:b1 różne od zer

*Do wyznaczenia ELASTYCZNOŚCI z równania prognozy regresji liniowej prostej potrzeba:

-średnich lub modalnych ; -średnich lub median*

Prognozowanie w modelu regresji liniowej prostej.Po oszacowaniu metodą najmniejszych kwadratów otrzymujemy estymatory
parametrów:
. Wobec tego równanie prognozy ma postać:
(charakter deterministyczny)

REGRESJA LINIOW WIELOKROTNA

*3 zmienne ilościowe* zawsze JEDNA zależna(Y) DWIE zmienne niezależne (X)

R^2 należy<0,1> i dopasowany R^2 (informuje nas że w modelu są jakieś zmienne niezależne X, które można usunąć). R^2 - R^2 dopasowane <5% (jeśli różnica jest większa, to model zawiera zbyt dużo zmiennych niezależnych i należy usunąć którąś z modelu i przeliczyć model raz jeszcze z użyciem np. arkusza)

*Istotność zmiennych (parametr) t-studenta

*Ilość parametrów Y=b0+b1X1+b2X2+...+bNXN+E

Parametrów w regresjach jest tyle ile zmiennych niezależnych (X) dodać dwa

*Duża próba co najmniej 15 obserwacji na 1 "X"

Homoskedastyczność(stałość reszt),

Normalność (kurtoza, skośność[ standaryzowane składniki resztowe ]należą do przedziału od -1do 1) ,autokorelacja.

*Przyrost krańcowy (przyrost jednostkowy)*

przykład:X=-3,89+0,2X1+0,002X2

przyrost krańcowy X1=0,2 pkX2=0,002

Ex1=Pkx1* x1/y ; Ex2=Pkx2*x2/y

*X1;Y- silna korelacja. X2;Y-silna korelacja. X1;X2-słaba korelacja.

*Parametr T (służy do testowania istotności pomiarów)

*Prognozowanie w regresji - nożyce regresji*

Jeżeli pojawia się porównanie czegoś w regionach, obszarach, liniach lotniczych to zawsze będzie analiza wariancji.

*2 zmienne. czynnik zawsze będzie jakościowy a np.zarobki to będą replikacje ilościowe

1 zmienna- jakościowa (niezależna) np:region

1 zmienna- ilościowa (zależna) np:zarobki

*W analizie wariancji PORÓWNUJEMY ŚREDNIE

*Test F używany jest do porównywania ze sobą średnich.*

*Jest zawsze tylko jeden czynnik jakościowy.

HOMOSKEDASTYCZNOŚĆ (chroni nas przed błędem)

Są dwie możliwości sprawdzenia:

1.Reguła kciuka - Hartleya:

min.liczba z wariancji. 9(zawsze)> max/min.

jeżeli jest mniejsze od 9 to jest homoskedastyczność,

a jeżeli jest większe od 9 to nie ma homoskedastyczności.

LSD- technika PORÓWNANIA WIELOKROTNEGO (pozwala na połączenie bliskich sobie liczb w grupy). Służy do wyznaczania wartości skrajnych (min. lub max.) jak

wskazać np.region o najwyższych zarobkach Metodę LSD można zastosować tylko wtedy jeżeli odrzucamy Hipotezę 0.

p>5% to H0 nie odrzucamy.

*Korelacja = wielokrotność R

zmienna zależna Q(Produkcja Q)

zmienne niezależne X1,X2,X3,....,Xn

(Maszyny(X1) Energia (X2) Praca(X3) - czynniki produkcji.)

*MODEL LINIOWY (funcja produkcji)

(w modelu liniowym przyrosty krańcowe to elastyczność)

*MODEL POTĘGOWY (funcja produkcji, uogólniona postać funkcji Cobba-Douglasa)

(w modelu potęgowym wykładniki to elastyczność)

Q=b0*X1^b1 * X2^b2 *....* Xk^bk bo,b1,b2,bk=parametry.

przykład:Q=-0,81*X1 ^ 0,34 * X2 ^0,72

elastyczność: EX1=0,34 (b1)

Odp. jeżeli nakłady czynników produkcji X1(środki trwałe) wzrosną o 1% to

produkcja końcowa(Q) wzrośnie o 0,34%, EX2=0,72 (b2)--jeżeli X2 wzrośnie o 1% to produkcja końcowa(Q) wzrośnie o 0,72%.

*Operacja zwana logarytmowaniem służy do tego aby obliczyć estymatory parametrów w modelu Cobba-Douglasa.*

-Popyt: determinanty, produkcja i czynniki produkcji.

-Produkt przeciętny(PP):

przykład: Q=1,68*X1^0,33*X2^0,5

PPX1=Q/X1=464,4/508,1=0,91

PPX2=Q/X2=464,4/521,1=0,89

PKX1=EX1*PPX1=0,33*0,91=0,3(30 gr).

PKX2=EX2*PPX2=0,57*0,89=0,5 (50 gr)

Odp. Produkt przeciętny

-z jednej jednostki czynnika produkcji X1 można było przeciętnie uzyskać 0,91 jednostki produkcji całkowitej.

-jeżeli należność czynnika X1 wzrośnie o 1 jednostkę to produkcja końcowa wzrośnie o 0,3

*EFEKT SKALI PRODUKCJI (ESP) przykład: ESP=0,33+0,57=0,90.

ESP=1 to produkcja rośnie tak samo szybko jak nakłady czynników produkcji.

ESP<1 to produkcja rośnie wolniej stopniu niż nakłady produkcji.

ESP>1 to produkcja rośnie szybciej niż nakłady produkcji.

Do analizy popytu na dane dobro wykorzystujemy:

modele potęgowe (częściej wykorzystywane, np.
),

modele liniowe (np.
)

ELASTYCZNOŚĆ POPYTU -odsetek zmian w popycie wynikający ze zmiany o 1% jednej ze zmiennych niezależnych (przy założeniu ceteris paribus)

Równanie popytu na maśło Masmix vs Rama—

przykład m.potęgowego: Q=5,0 * C^-0,17 * D^0,15 * Ck^0,30 * R^0,5 * Rk^-0,70

(C-cena ; D-dochód ; Ck-cena konkurenta ; R-reklama ; Rk-reklama konkurenta ; Q-wielkość popytu)

Elastyczność cenowa popytu (zwykła) Ec=-0,17. W jakim stopniu 1% zmiana ceny wpływa na popyt? Jeżeli cena wzrośnie o 1% to popyt spadnie o 0,17%.

Elastyczność cenowa krzyżowa popytu (mieszana) Eck=0,30 Jeżeli cena dobra konkurenta wzrośnie o 1% to popyt na nasze dobro wzrośnie o 0,3%.

Elastyczność dochodowa popytu Ed=0,15

Elastyczność popytu względem wydatków na reklamę Er=0,50

Elastyczność popytu względem wydatków konkurencji na reklamę Erk=-0,70

Elastyczność cenowa popytu

Jeżeli Ec<-1 popyt elastyczny. przykład:Ec=-2,0

Jeżeli cena wzrośnie o 1% to popyt spada o 2%.

Ec należy do przedziału <-1;0> popyt nieelastyczny. przykład:Ec=-0,7

Jeżeli cena wzrośnie o 1% to popyt spadnie o 0,7%

Ec>0 popyt odwrotnie proporcjonalny.

Jeżeli cena wzrasta o 1% to popyt wzrasta o 0,3%.

Ec=0 popyt sztywny. popyt nie reaguje na zmianę ceny.

Trzy przypadki elastyczności cenowej popytu:

popyt elastyczny(Ec<-1) -popyt spada(wzrasta)w większym stopniu niż wzrasta (spada)cena

popyt proporcjonalny (Ec=-1) - popyt spada(wzrasta) w takim samym stopniu jak wzrasta (spada) cena.

popyt nieelastyczny Ec należy do przedziału <-1;0>

Kurioza miara spłaszczenia.

Skośność miara symetrii.

Kwartyl : dolny=0,25; mediana=0,50 górny=o,75.

przykład: kwartyl dolny 0,25= 25%<2949 0,25=75%>2949.

kwartyl górny 0,75= 75%<4082 0,75=25%>4082

*Przedział ufności dla średniej:

[X - zα \2 * σ/√n ; X + zα \2 * σ/√n]

(X-średnia, σ-odchylenie standarowe, n-liczba obserwacji,zα \2-w tablicach.)

poziom ufności= 1- α=0,95 ; α=0,05 ; α\2 = 0,025

Jeżeli próbka jest mniejsza niż 30 nie może być rozkład normalny.

Rozkład normalny gdy kurtoza i skośność mieszczą się w przedziale od 1do -1.