WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSYCZNYCH

Weryfikacja hipotez statystycznych jest obok estymacji drugim ważnym działem wnioskowania statystycznego. Hipotezą statystyczną nazywamy osąd inaczej przypuszczenie spełniające dwa warunki :

1. Po pierwsze dotyczy rozkładu lub jego parametrów w populacji generalnej

2. Po drugie jego słuszność da się zweryfikować na podstawie danych z badania reprezentacyjnego. Taki osąd może powstać na podstawie logicznych przesłanek lub obserwacji badanego zjawiska.

Hipotezy statystyczne mogą dotyczyć parametrów rozkładu teoretycznego np. jego wartości przeciętnej - są to wówczas hipotezy parametryczne. Mogą również mówić o postaci rozkładu teoretycznego np. rozkładu cechy w populacji jest zgodny z rozkładem normalnym. Mogą dotyczyć też współzależności cech, losowości próby, itp.

Są to wówczas hipotezy nieparametryczne. Test statystyczny jest regułą postępowania określającą sposób sprawdzania słuszności hipotezy oraz warunki w których podejmujemy decyzje, że dana hipoteza jest słuszna i należy ją przyjąć lub , że jest niesłuszna i należy ją odrzucić. Ponieważ weryfikacji dokonujemy na podstawie danych z próby losowej należy się liczyć z możliwością popełnienia błędu przy podejmowanej decyzji. Co do słuszności weryfikowanej hipotezy rozróżniamy dwa rodzaje błędów:

1. Podejmujemy decyzje o odrzuceniu hipotezy gdy w rzeczywistości jest ona prawdziwa - jest to tzw. błąd pierwszego rodzaju. Prawdopodobieństwo popełnienia takiego błędu najczęściej oznaczamy symbolem α .

2. Podejmujemy decyzje o uznaniu weryfikowanej hipotezy za słuszną gdy w rzeczywistości jest ona fałszywa - jest to błąd drugiego rodzaju. Jego prawdopodobieństwo zazwyczaj oznaczamy literą β

Test statystyczny powinien być tak zbudowany aby zapewnić jak najmniejsze prawdopodobieństwo podjęcia niesłusznej decyzji. Wartości prawdopodobieństw α, β są ze sobą związane. Zmniejszając jedno z nich powodujemy jednocześnie zwiększenie drugiego.

Do najczęściej stosowanych testów należy test istotności. Testy te są tak zbudowane aby zapewnić możliwie małe prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego rodzaju przy określonym z góry i zaakceptowanym przez organizatorów badania prawdopodobieństwa α, popełnienia błędu pierwszego rodzaju. Prawdopodobieństwo to nazywamy poziomem istotności. Ustalamy z reguły poziom istotności jako wartość bliską "0” np.: 0,1; 0,05; 0,06.

Poziom istotności określa wiarygodność wyniku weryfikacji. Przyjęcie np. α=0,05 oznaczona, że godzimy się z ryzykiem iż w 5 przypadkach na 100 podejmujemy na podstawie wyników z próby niesłuszną decyzje o odrzuceniu hipotezy H_0.

Testy istotności określają w jakich warunkach podejmujemy decyzje o odrzuceniu hipotezy H₀ - gdy wynik z próby wskazuje na jej fałszywość. W przypadku gdy wyniki z próby nie wskazują na fałszywość hipotezy H₀ podejmujemy decyzje , że na podstawie tych danych nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy weryfikowanej.

Budując test statystyczny wykonujemy kolejno następujące czynności:

1. Definiujemy tzw. hipotezę zerową H₀ czyli hipotezę która będzie podlegała weryfikacji ; z reguły jest to hipoteza prosta mająca tylko jedno rozwiązanie

2. Definiujemy tzw. hipotezę alternatywną H₁ która może przyjmować wszystkie rozwiązania poza zawartym w H₀ , najczęściej jest ona zgodna z logicznymi przesłankami lub wynikami z próby

3. Dokonujemy wyboru tzw. sprawdzeniu hipotezy którym jest zmienna losowa o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa ,wybierając sprawdzian hipotezy uwzględniamy liczebność próby i dodatkowe informacje o rozkładzie teoretycznym

4. Ustalamy tzw. obszar krytyczny czyli obszar odrzucenia hipotezy zerowej H₀ . Sprawdzian hipotezy jako zmienna losowa ma rozkład prawdopodobieństwa, znany nam z tablic tego rozkładu odczytujemy wartość krytyczną pozwalającą na ustalenie w zależności od postaci hipotezy alternatywnej obszaru krytycznego

5. Wyznaczamy wartość sprawdzianu dla danych z próby i podejmujemy decyzje

• Jeśli obliczona wartość należy do obszaru krytycznego odrzucamy hipotezę H₀ na korzyść hipotezy alternatywnej

• Jeśli natomiast nie należy do obszaru krytycznego stwierdzamy, że nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H₀

TEST ISTOTNOŚCI DLA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ

Hipoteza H₀ przy teście o poziomie wartości oczekiwanej ma postać H_{0 :} m = m₀

m₀ - hipotetyczna wartość średniej

Hipoteza alternatywna może mieć jedną z trzech postaci :

m ≠ m₀

H₁ m > m₀

m < m₀

Przy weryfikacji hipotezy dotyczącej średniej rozpatrujemy następujące przypadki.

Model:

1. Zakładamy, że cecha ma w zbiorowości rozkład normalny N(m,σ) σ - znane

wówczas jako sprawdzian hipotezy wybieramy statystykę

_

X - m₀

U = ———— √n

σ

która ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ rozkład normalny o parametrach N(0,1)

2. Gdy dysponujemy dużą próbą czyli (n>30) wówczas możemy zastosować również statystykę U z modelu 1 przyjmując (σ ≈ S ) odchylenie standardowe z próby . Niektórzy autorzy uważają, że ten model można używać dopiero przy n≥120. Wtedy mówimy, że statystyka ma rozkład asymptotycznie normalny

3. Wiemy, że cecha ma w populacji rozkład normalny. Nie znamy odchylenia standardowego tego rozkładu i dysponujemy próbą. Wówczas jako sprawdzian hipotezy przyjmujemy statystkę która ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ rozkład studenta o n-1 stopniach swobody

_

X - m₀

T_n-1 = ———— √ n - 1

S

Mamy podaną wartość estymatora Ŝ to przeliczając otrzymujemy

_

X - m₀

T_n-1 = ———— √ n

Ŝ

σ - nieznane (mała próba) n ≤ 30

WERYFIKACJA HIPOTEZ O RÓWNOŚCI DWÓCH ŚREDNICH

W wielu przypadkach otrzymujemy dla prób wylosowanych z dwóch zbiorowości generalnych lub dwóch podzbiorów tej samej zbiorowości różne wartości średniej dla badanej cechy. Musimy stwierdzić czy różnica między średnimi jest przypadkowa czy taż wynika z pewnej prawidłowości. Dla hipotez o równości średnich hipoteza H₀ ma postać

H_{0 :} m₁ = m₂

Hipoteza alternatywna może mieć jedna z trzech postaci:

m₁ ≠ m₂

H₁ m₁ > m₂

m₁ < m₂

Rozpatrujemy tu następujące sytuacje:

1. N(m₁, σ₁) , N(m₂, σ₂) σ_1, σ₂ o nieznanych odchyleniach standardowych

Wówczas jako statystykę testową wybieramy statystykę U

_ _

X₁ - X₂

U = —————

σ²₁ σ²₂

√ — + —

n₁ n₂

która ma w założeniu hipotezy H₀ rozkład o parametrach N(0,1)

2. Obie próby są duże

n₁ > 30 ( n₁>120 )

n₂ > 30 ( n₂>120 )

możemy zastosować statystyk ę U przyjmując w przybliżeniu jako odchylenie standardowe

σ₁ ≈ S₁ odchylenie standardowe w próbie

σ₂ ≈ S₂

Statystyka ta ma wówczas rozkład asymptotycznie normalny o parametrach N(0,1)

3. Wiemy , że cecha ma w obu zbiorowościach rozkład normalny

N(m₁, σ₁), N(m₂, σ₂) σ_{1 =} σ₂

n₁

n₂ próba mała

o nieznanych ale równych odchyleniach standardowych i dysponujemy małymi próbami. Wówczas jako statystykę testową przyjmujemy statystykę T (wzór 20)

_ _

X₁ - X₂

T = ——————————

n₁ s²₁ + n₂ s²₂ 1 1

√ —————— (— + — )

n₁ + n₂ - 2 n₁ n₂

Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ rozkład studenta o

T: n₁+ n₂-2 stopniach swobody

Uwaga:

Jeśli w modelu nr3 nie jest spełniony warunek stosuje się do weryfikacji hipotezy H₀ inny test.

WERYFIKACJA HIPOTEZY O POZIOMIE WSKAŹNIKA STRYKTURY

Testy te są często stosowane zarówno pod badaną zbiorowość z punktu widzenia cechy mierzalnej i niemierzalnej. Stosujemy je wyłącznie do dużych prób n>100 hipoteza

H₀ : P = P₀

P₀ - hipotetyczna wartość wskaźnika struktury

P ≠ P₀

H₁ P > P₀

P < P₀

Jako statystykę testową przyjmujemy statystykę U

k

— - P₀

n

U = —————

P₀ q₀

√ ———

n

q_{0 =} 1- P₀

n- liczebność próby

k- liczba jednostek w próbie o zróżnicowanym wariancie cechy

Statystyka ta ,ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ układ normalny o parametrach N(0,1)

WERYFIKACJA HIPOTEZY O RÓWNOŚCI DWÓCH WSKAŹNIKÓW STRUKTURY

Jeśli badamy dwie zbiorowości z punktu widzenia tej samej cechy, to czy chcemy wiedzieć, czy udział jednostek z wyróżnionym wariantem cechy jest taki sam w obu zbiorowościach.

Hipotezę zerową definiujemy jako

P₁ ≠ P₂

H₁ P₁ > P₂

P₁ < P₂

Następnym sprawdzianem przy weryfikacji tej hipotezy jest statystyka (wzór nr23 ) gdzie

n₁ n_{2 _—} k₁ k₂

n = ———— P= ————

n₁ + n₂ n₁ + n₂

_ _

q = 1- P

Statystyka ta ma rozkład asymptotycznie normalny przy założeniu prawdziwości hipotezy H_0. W omówionych przypadkach weryfikacji hipotez dotyczących średnich i wskaźników struktury, obszary krytyczne dla przyjętego poziomu istotności wyznaczamy następująco :

Np.:

W pewnej firmie zakupiono 10 nowych obrabiarek . aby sprawdzi czy są one rzeczywiście wydajniejsze niż dotychczas używane porównano czas produkcji określonego elementu na 8 starych i 10 nowych obrabiarek i otrzymano dane :

N₁ - 8 (obrabiarki stare)

_

Χ - 2.6 (średni czas wykonywania tego elementu)

S₁ - 0,3 (odchylenie standardowe)

N₂ - 10 (nowe obrabiarki )

_

X₂ - 2,2 (średni czas wykonywania tego elementu)

S₂- 0,4 (odchylenie standardowe)

Wiemy , że czas produkcji tego elementu ma dla typów obrabiarek rozkład normalny i odchylenia standardowe tego rozkładu są jednakowe

_ _

X₁ - X₂

T = ——————————

n₁ s²₁ + n₂ s²₂ 1 1

√ —————— (— + — )

n₁ + n₂ - 2 n₁ n₂

Wzór na sprawdzian hipotezy o równości dwóch wartości średnich

2,6 - 2,2

T = ————— = 2,2

0,18

jeżeli przyjmiemy α+0,05 = (1,746)

odczytujemy hipotezę, że oba typy obrabiarek pracują tak samo szybko na korzyść hipotezy , że nowe pracują szybciej

---