|
|
|
|
|
|
Drgania harmoniczne sprężyny.
|
|
|
|
Wydział: Odlewnictwa Rok studiów: II
|
|
Wyznaczanie siły kierującej sprężyn i modułu sztywności drutu, z którego są zrobione.
Ruch harmoniczny zachodzi pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia układu od stanu równowagi x, lecz przeciwnie do niego skierowanej (1):
k nazywamy współczynnikiem sprężystości. Dla ruchu harmonicznego zależność wychylenia układu od czasu jest przedstawiona zależnością (2):
Wielkość A (równa maksymalnej wartości wychylenia x) nazywamy amplitudą drgań, zaś wyrażenie w nawiasie, mające wymiar kąta, fazą. T jest okresem drgań, który wynosi (3):
Stała k zależna od charakteru sił, pod wpływem których porusza się drgająca masa. Np. dla wahadła matematycznego o długości l siła powodująca powrót układu do położenia równowagi jest siłą ciężkości i wtedy k=mg/l. Gdy o ruchu decyduje sprężystość ciała (np. drgania sprężyny, drgania pręta), stała k związana jest właśnie z własnościami sprężystymi materiału, tj. modułem Younga E lub z modułem sztywności G, oraz zależy od wymiarów geometrycznych układu. W przypadku sprężyny (rys.1) teoria sprężystości pozwala obliczyć stałą k na podstawie modułu sztywności G materiału oraz wymiarów geometrycznych: promienia zwoju sprężyny R, promienia r drutu, z którego wykonano sprężynę i liczby zwojów sprężyny n (4):
Przy wyprowadzaniu wzoru (3) przyjęliśmy dwa założenia upraszczające. Po pierwsze, nie uwzględniliśmy sił grawitacji. Po drugie nie uwzględniliśmy masy sprężyny, która, obok masy ciężarka, też uczestniczy w drganiach. Obecnie rozpatrzymy kolejno wpływ obydwu czynników.
W przypadku nieważkiej sprężyny przedstawionej na rysunku 1, na której zawieszono masę M oprócz siły sprężystości działa jeszcze stała ciężkości, tak że całkowita siła wynosi (5):
W powiązaniu z II zasadą dynamiki daje to równanie ruch w postaci (6):
Ponieważ a= d2x/dt2, otrzymujemy równanie różniczkowe (7):
Rozwiązanie tego równania różniczkowego na nieznaną funkcję x(t) ma postać (8):
gdzie (9)
oraz (10)
Z porównania z równaniem (2) widać, że jest to ruch harmoniczny, lecz zachodzący względem położenia xo = Mg/k, jakie przybierze masa M statycznie zawieszona na sprężynie.
W przypadku realnej sprężyny, której masy m nie można zaniedbać wobec masy obciążnika M odpowiednie wyrażenie na T ma postać (11):
Tę zależność można otrzymać porównując energię kinetyczną ciężarka M (12):
i energię kinetyczną sprężyny m, której koniec ruchomy porusza się z tą samą prędkością v, natomiast punkt zaczepienia spoczywa. Rozpatrzmy element sprężyny o długości dx o masie równej dm=m(dx/lo) (rys.1). Jego prędkość wynosi v(x)=v(x/lo). Zatem energia kinetyczna elementu sprężyny dm wynosi (13):
Całkowita energia kinetyczna sprężyny wynosi (14):
Całkowita energia kinetyczna układu ciężarka i sprężyny wynosi (15):
i wskazuje, że w celu uwzględnienia wpływu masy sprężyny na okres drgań do masy ciężarka M należy dodać jedną trzecią masy sprężyny (wzór 11).
x
nowa pizzeria stworzona specjalnie dla studentów - zobacz - www.indeks.w.pl
