--> Numeryczny [Author:DM] --> model [Author:DM] terenu jest to numeryczna reprezentacja powierzchni terenowej utworzona przez zbiór odpowiednio dobranych punktów tej powierzchni oraz algorytmy interpolacyjne umożliwiające odtworzenie jej kształtu. Wyróżnia się NMT:

1 z=z(x,y)-modele 2,5-wymiarowe,są niejednoznaczne, jednemu (x,y) można przyporządkować kilka z

2 (x,y,z) -modele 3-wymiarowe, zapisane przez zbiór par punktów, a nie budowy i utrzymania numerycznego modelu terenu można wyróżnić 3 fazy :

1. pozyskiwanie danych

2. przetwarzanie danych i zarządzanie nimi (interpolacja i przetwarzanie baz danych)

3. udostępnianie danych (produktów pochodnych NMT)

Są różne sposoby pozyskiwania danych:

1. Bezpośredni pomiar tachimetryczny w terenie:

• metoda bardzo dokładna (precyzyjnie pomierzony punkt)

• stosunkowo drogi pomiar

• zagęszczenie punktów dosyć niewielkie uwarunkowane geomorfologią terenu

• stosowana metoda do budynków lokalnych , dokładność modeli terenu dla potrzeb inżynierskich przedsięwzięć

2. Pomiar fotogrametryczny stereomodelu:

• możliwe bardzo duże zagęszczenie punktu

• mniejsza dokładność

• możliwość stosowania w terenach niedostępnych i trudno dostępnych

Powstaje model i jest on digitalizowany , pomiar może być wykonany automatycznie lub ręcznie, ale interwał dyskretyzacji (odstęp siatki ) może być zmienny i automatycznie dobierany w trakcie pomiaru

• interwał dyskretyzacji może być obtymalnie dobrany w zależności od zadanej dokładności

3. Digitalizacja istniejących map warstwicowych (najczęściej mapa topograficzna, interwał digitalizacji, co jakiś czas rejestrowany punkt wartwicy)

• metoda najmniej dokładna

• najtańsza

• możliwa jest digitalizacja bezpośrednia mapy lub obrazu zeskanowanego

4. Skaning laserowy

LRF-urządzenie laserowe, które mierzy odległosc do punktów na powierzchni

Połączone jest to z inercyjnym układem nawigacyjnym INS oraz z GPS. Pozwala określić położenie tego lasera w stosunku do systemu satelitów, a poprzez antenę punkt geodezyjny nawiązuje do punktu osnowy na danym obszarze. Laser wychyla się na lewo i na prawo w zakresie kilkunastu stopni i z odpowiednią częstotliwością mierzy. Jest to metoda b. skuteczna. Zagęszczenie punktów: 1 pkt. / 9 m², wysokość: 920 m. Po odrzuceniu pkt-ów wegetacyjnych (odbić od drzew) zostaje ich 40%. W ten sposób odległość pkt-ów co 3.5 m. Problem - automatyczne usuwanie pkt-ów wegetacyjnych ( oczyszczanie danych). Obliczenia GPS, aby określić położenie tego skanera w dowolnym momencie. INS umożliwia obliczenie współrzędnych pkt-ów w ukł. geodezyjnym, automatyczna klasyfikacja pkt-ów.

• koszt jest porównywalny z metodą fotogrametryczną.

• możliwe b. duże zagęszczenie pkt-ów (1 pkt. /1-4 m²)

• duża dokładność: x, y - 1 cm; z - 20 cm

• b. przydatny w terenie zalesionym, nie zależy od warunków pogodowych

• ewentualne uzupełnienie metody fotogrametrycznej

Niezależnie od metody istnieje potrzeba uzupełnień (pomiar dodatkowych pkt-ów wysokościowych), dodatkowe pkt-y na liniach szkieletowych i liniach nieciągłości terenu (pkt-y charakterystyczne i wierzchołkowe).

ORGANIZACJA INFORMACJI W NMT

Przed opracowaniem danych wstępna obróbka informacji ma na celu kontrolę jakościową danych oraz eliminację błędów. Przy pomiarach fotogrametrycznych może być robiona na bieżąco.

Struktury organizacji danych w NMT

1. MODELE REGULARNE - oparte są na regularnej siatce kwadratów , są uzupełniane o wybrane informacje liniowe lub punktowe (aby uchwycić np. linie szkieletowe). Wielkość siatki może być zmienna na różnych obszarach. Używa się tu do opisu funkcje skoku jednostkowego. Wada: punkt wypada tam, gdzie wypada, może coś pominąć. Zaleta: nie musi pamiętać x,y przy znanym skoku pamięta tylko jedną macierz wysokości. Jest to łatwa organizacja danych. Przy wprowadzaniu dodatkowych linii wnosi się dodatkowe informacje.

2. IMODELE NIEREGULARNE TIN - oparte są na nieregularnej siatce trójkątów w płaszczyźnie x, y (nieregularnie porozrzucane pkt-y połączone w trójkąty) . Łatwiej można go dopasować do sytuacji terenowej. Jest b. pracochłonny. Przy organizacji danych potrzebne (x, y, z) każdego pkt-u i połączenia między płaszczyznami pkt-ów. Najczęściej otrzymywany z fotogrametrii.

3. MODEL MIESZANY ( HYBRYDOWY ) - połączenie cech powyższych metod.

w.10

Możliwy jest pomiar satelitarny GPS, pomiar RTK , nie różniący się wiele od pomiaru tachimetrycznego w zakresie dokładności, itd.

Są modele regularne oparte na rastrze, na regularnej siatce, modele oparte na nieregularnej siatce, modele mieszane. Modele na regularnej siatce kwadratów(wzdłuż profilu wytyczana wys. co 10-20 m). Modele nieregularne (sieci trójkątów).

Sieci trójkątów(TIN):dwa rodzaje

Zad. Dużo punktów które trzeba połączyć w trójkąty wg kryterium położenia

I sposób połączenia(I rodzaj sieci):triangulacja Delavnay(najczęstsza, standardowa metoda trójkątowania) jest dwuwymiarowa, powierzchniowy model składający się z odcinków łączących punkty zbioru w płaszczyźnie x,y. Dąży do utworzenia max. Liczby trójkątów takich których boki nie przecinają się. Warunek ten osiąga się jeżeli wewnątrz okręgu opisanego na trójkącie dowolnym nie leży żaden inny dodatkowy punkt. Tworzy się to sukcesywnie. Sprawdzamy czy wewnątrz okręgu nie leżą punkty, jeśli leżą to połączenie jest złe. Wtedy rezygnujemy z niego i tworzymy nowe połączenie, gdzie wewnątrz okręgu nie leży żaden punkt. Wówczas zatrzymujemy to połączenie. Trzeba sprawdzać dużo warunków, zapamiętywać je gdy są odpowiednie, jest to dość uciążliwe. Triangulacja ta jest jednoznaczna gdy na jednym okręgu nie leży więcej niż trzy punkty, w przeciwnym razie jest niejednoznaczna. Koszt obliczeniowy tego typu triangulacji: O(N lnN), gdzie N to liczba punktów, O oznacza oszacowanie sytuacji najgorszej, w najgorszym wypadku. Triangulacja ta może być też trójwymiarowa.

II sposób połączenia(II rodzaj sieci). Triangulacja o minimalnej wadze - takie trójkątowanie w płaszczyźnie x,y punktów, dla których suma wszystkich boków trójkątów jest najmniejsza i boki nie przecinają się.∑d_i1 ∑ d_i2

∑ d_i =min, d - boki. Jest trudniejsza od Delavney w programowaniu.

Algorytm:

1. tworzymy wszystkie możliwe połączenia pomiędzy punktami(wszystkie możliwe długości) , wszystkich

połączeń jest( ⁿ₂).

2. sortowanie połączeń wg długości od największej do najmniejszej (rys.1)

3. usunięcie połączeń, które przecinają krótsze połączenia

Algorytm pracochłonny, koszt obliczeniowy rzędu O(N³)

Drugi algorytm:

1. taki sam j.w.

2. sortujemy wszystkie punkty wg odległości od osi wspólrzędnych

N P_i=(x_i, y_{i ,} z_i )

xy P_i(x_i, y_i )

x_i < x_i+1 lub y_i < y_i+1 , gdy x_i = x_i+1

Gdy mamy utworzoną triangulację dla pierwszych P_{1 ,} P₂ , .... , P_i i rejestrujemy te punkty z nich które tworzą wypukłą figurę triangulacji. (rys.2)

Punkt P_i+1 po sortowaniu nie może leżeć wewnątrz figury wypukłej. Łączymy ten punkt z tymi punktami które są widoczne, z tego punktu (osiąga się to przez odpowiednie połączenie punktów). Sprawdza się widoczność przez obliczenie powierzchni metodą Gaussa. Tak włącza się kolejne punkty, usuwa przecinające się krawędzie.

Koszt algorytmu porównywalny z algorytmem triangulacji Delavnay'a. W ogóle obydwie triangulacje w wielu przypadkach się pokrywają. Łatwiej jest w tej drugiej triangulacji (o minimalnej wadze) uwzględnić połączenia stałe. Gdy jest np. sytuacja, gdy dany jest obrys zewnętrzny figury , łatwiej jest to uwzględnić w metodzie o minimalnej wadze. Konsystencję takiej triangulacji (w tego typu programach) stosuje się pewne kontrole np. na podstawie tw. Eulera: liczba punktów - liczba linii + liczba powierzchni jest zawsze równa dwa p- l +f =2, brane są pod uwagę powierzchnie zawierające w sobie przestrzeń spoza figury (rys. 3).

Porównanie modelu rastrowego regularnego (*) i modelu nieregularnego (^)

* prosta struktura danych, czas odszukania danych znacznie krótszy, mniej danych do odszukiwania( wielkość siatki, współrzędne x,y punktu, reszta to matryca z wysokościami), mniej pamięci w komputerze, linie zapamiętywane osobno.

^ sieć trójkątów łatwiej jest wpasować w aproksymowaną powierzchnię terenu, uniwersalna w przypadku punktów nie jednorodnie rozrzuconych, bardziej pracochłonne, linie muszą leżeć wzdłuż krawędzi sieci trójkątów

Metody interpolacji wysokości w węzłach siatki:

z nieregularnych dany interpolujemy wysokości by otrzymać strukturę bardziej regularną

Interpolacje dzielimy na:

1. lokalną: do obliczenia wysokości punktu brane są wysokości punktów sąsiednich

2. globalną: punkty z całego obszaru opracowania brane są pod uwagę

ad.1) proste algorytmy rys.4

wybieramy punkty do interpolacji w otoczeniu o promienie r.

Średnia arytmetyczna ważona z_p =(∑w_i * z_i )/ ∑w_i wagi : w_i=d _i^t 1<= t<=4.

Wybór podobszaru do interpolacji może być różny rys.5

Połączenie trzech punktów wysokości tworzy płaszczyznę. P, P' - w płaszczyźnie trójkątów .

Jest to interpolacja liniowa : punkt w płaszczyźnie trójkąta.

Interpolacja wielomianowa: z= z(x,y)= a₀ + a₁ x + a₂y + a₃x²+ a₄y²+...

n - liczba punktów{x,y,z} macierz nr1

a=B^-1z - wyznaczamy parametry modelu i wstawiamy je do równania.

Gdy liczba punktów jest większa od liczby parametrów modelu powierzchni liniowej to ten wielomian można wpasować metodą najmniejszych kwadratów. z_i+v_i=b_ia a=(B^TPB)^-1B^TPz

Wagi dobieramy stosownie do potrzeb. Mogą być one odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów lub jako odwrotność odległości od danego punktu.

Interpolacja wielomianowa: najprostszy i najgorszy wariant. Wielomiany w punktach odtwarzają powierzchnię dokładnie, poza - bardzo niedokładnie.

Stopień wielomianu nie dobiera się za wysoki. Metoda wielomianowa stosowana jest więc lokalnie. Globalnie jest stosowana jako połączenie wielomianów niższego stopnia. Między obszarami zakłada się brzegowe przejścia.

Metoda powierzchni sumowych interpolacji: na każdym, punkcie pomiarowym, powierzchni x,y wybieramy pewną powierzchnię z reguły obrotową. Modelowana powierzchnia terenu powstaje jako zsumowanie elementarnych powierzchni opartych na punktach pomiarowych.

Najprostszą powierzchnią obrotową jest powierzchnia obróconego stożka. Tworząca stożka nachylona jest pod kątem 45°. P_i(x_iy_i) - współrzędne punktów pomiarowych. P(x,y)- współrzędne punktu bieżącego.

Równanie stożka : k(x,y)=√[(x-x_i)²+(y-y_i)² ] . k(PP_i)=PP_i - odległość między punktem P, w którym chcemy wyinterpolować powierzchnię a punktem P_i , którego położenie jest znane (każdy inny punkt zbioru o znanym położeniu - P_i k(PP_i) - funkcja jądrowa . Dla stożka wykres tej funkcji wygląda następująco rys.6

Jest to prosta nachylona pod kątem 45°. Każdemu z punktów pomiarowych przypisujemy stożki w płaszczyźnie na rzucie (x,y). Powierzchnie mają różną wagę z=z(x,y)= √[(x-x₁)²+(y-y₁)² ]m₁+...+√[(x-x_n)²+(y-y_n)² ]m_n . Gdy znamy współczynniki m_i to możemy wyliczyć wysokość z. Z=∑√[(x-x_i)²+(y-y_i)² ]m_i=∑k(PP_i)m_i=k^Tm.

Współczynniki m oblicza się z punktów istniejących. Dla ich wyliczenia zestawiamy układ równań dla n znanych punktów macierz 2 zestawiona dla wszystkich punktów. P₁P₂ - odległość między punktami 1 i 2 , k(0) - odległość miedzy punktem 1 i 1 (równa 0).

Układ równań: km=z m=K^-1z m wstawiamy do wzoru na obliczenie z: Z=k^TK^-1z, gdzie Z to skalar a z to wektor współrzędnych zadanych punktów.

W ten sposób interpolujemy wysokość w punkcie o współrzędnych (x,y). g^T = k^TK^-1 - funkcja wagowa tego modelu. Model ten ma efekt podobny do interpolacji liniowej . Funkcja jądrowa daje różny efekt wygładzania. Funkcja typu hiperbolicznego: rys.7 . Gdy powierzchnia jest obracana tworzy się hiperboloida obrotowa.

w.11

W praktyce stosowane są różne modele tej funkcji :

1.k(PPi)=√c+PP_i² c≥0

c=0.6 •P_iP²_kmin k min-odległość między najbliżej położonymi punktami z obszaru interpolowanego

Model ten jest dla wszystkich punktów w całym obszarze taki sam .

2.k_I(PP_I)=√1+PP_i²/P_kP_imin² →odległość do najbliższego sąsiada danego punktu .

W każdym punkcie " і " funkcja ta jest inna .Funkcję więc obliczono oddzielnie dla każdego innego punktu (każdy punkt oddzielnie ważony ).

3.Predykcja liniowa (szczególny przypadek kolokacji ).

Stosowana jest gdy powierzchnia terenowa traktowana jest jako wielkości obarczone błędami losowymi (związane jest to z filtracją błędów pomiarów ).macierz3

k-macierz kowariancyjo-wariancyjna

V_zz-wariancja w poszczególnych punktach

z= c^Tc^-1z c-kowariancje między poszczególnymi punktami

pola (np.c(P₁P₂))

Należy przyjąć model funkcji kowariancji

Rys.2

Funkcję kowariancji oblicza się numerycznie na podstawie danych z pola macierzy wariancyjno-kowariancyjnej. Punkty rozrzucone są nieregularnie ,więc trzeba utworzyć przedziały.

Pierwszy przedział (0,Δd) ,gdzie Δd=100.

Wówczas sumę iloczynów (wartość empiryczną )dzielimy przez ich liczbę I powstaje wartość ,którą nanosimy na wykres. I tak kolejno dla nowych przedziałów (2Δd,3Δd itd.).

Są to wartości statystyczne , więc iloczynów musi być wystarczająco dużo (kilka, kilkanaście).Metoda ta dla kilku tylko punktów dostarcza nie wystarczające rezultaty. Wariancje przyjmujemy za równą V_zz lub przyjmujemy ,że c(0)=V_zz-δ_z² δ_z² -błąd pomiaru wysokości ,

Ten sposób filtruje rzeczywiste błędy pomiarów. Dane pomiarowe muszą spełniać poszczególne warunki :

∑{z_i}=0

↓

wartość oczekiwana (średnia )

Od "surowych" (początkowych) wyników pomiarów odejmuje się trend (powierzchnię płaską).rys.3

Trend- funkcja analityczna (powierzchnia lub wielomian niskiego stopnia )

Jest możliwa ocena dokładności tej aproksymacji. Uśrednienie może być podziałem na klasy odległości , może być też tak , że obliczenie iloczynu wartości jest we wszystkich kierunkach

Jest sumowane średnią ,obliczamy jako funkcję jednowymiarową we wszystkich kierunkach ,przy założeniu że funkcja jest izotropowa (zależy tylko od odległości ,nie ma tu wpływu np. ukształtowanie powierzchni , rozłożenie funkcji na rożne kierunki) f(d).

Może być tak ,że funkcja w różnych kierunkach ma różny przebieg .Jest wtedy oddzielnie liczona dla różnych kierunków (pole jest anizotropowe czyli nieizotropowe) f(dα).

Kriging-w geostatystyce metoda odpowiadająca predykcji liniowej .Efekt końcowy interpolacji w tej metodzie odpowiada predykcji liniowej. Różnica jest taka ,że funkcji kowariancji odpowiada w krigingu wariogram (funkcja strukturalna).Wariogram -funkcja opisująca zmianę pola ;jest on równy 1minus funkcja kowariancji. Wariogram na odległości Δd (wartość empiryczna ) liczymy tak, że jest to różnica między punktami (na odległości Δd) I brana jest średnia z tej wartości .

Funkcje sklejane na minimalnej krzywiźnie:

Aproksymowanie dużego obszaru dla małej ilości punktów sprawia problem. Aproksymowanie wielomianem (przechodzi przez wszystkie punkty pomiarowe , ale są duże oscylacje między punktami).Aby to wyeliminować bierzemy wielomian niskiego stopnia (słaba aproksymacja).Dlatego też stosujemy wielomian stopnia niskiego lokalnie(w interwale).Cała aproksymacja to wiele wielomianów sklejanych ze sobą (dlatego jest ta funkcja sklejona).Sklejamy funkcje tak, by przebiegała możliwie jak najbardziej gładko (o minimalnej krzywiźnie).

W obszarze B jest n punktów o pomierzonych wysokościach terenu.

z_i=z(x_i,y_i)

P_i=P(x_i,y_i); i=1,2,…,n

Szukamy takiej funkcji f(x,y) ,która możliwie najlepiej aproksymuje wartości pomierzone z_i (najlepiej aproksymuje zbiór danych pomiarowych z_i ,minimalizuje zadany funkcjometr i minimalizuje liczbę odchyłek między wartościami pomierzonymi a obliczonymi ).

φ=φ(x_α y)

ф_α(φ)=ф_1¸α(φ)+∑α_i[φ(P_i)­z(P_i)]²=MIN.

ф_2α(φ)=∫∫((∂²ϕ)/(∂x² )+(2∂²ϕ)/(∂x²)+(∂²ϕ)/(∂x²)dxdy

Minimalizujemy krzywiznę aby jednoznacznie odchyłki miedzy wartościami pomierzonymi i obliczonymi na podstawie tej funkcji były minimalne .Jest to zadanie wariancyjne ;jest to uogólnienie poszukiwania minimum funkcji. Przy wszystkich wcześniejszych założeniach rozwiązanie ma postać:

ϕ(x,y)=½Σλ_ir_i²lnr_i²+d₀+d₁x+d₂y,przy założeniu że

r_i²=(x-x_i)²+(y-y_i)²

Funkcja ta jest splinem minimalnej krzywizny ,funkcją sklejaną. Dla modelowania nie znamy jednak parametrów d_i,d₀,d₁,… (jest więc n+3 nieznanych parametrów ).

Wprowadza się warunki ortogonalności :

∑λ_i=0,∑λ_ix_i=0,∑λ_iy_i=0

rozwiązujemy układ:

macierz4

a=1/2 r²lnr²

Parametry λ_i,d_i, oblicza się z rozwiązania układu.

Parametr α jest współczynnikiem wagującym te człony ,określa stopień w jakim funkcja sklejana aproksymuje powierzchnię terenu

α=0⇒spline aproksymujący przechodzi w interpolacyjny(funkcja przechodzi dokładnie przez punkty pomiarowe).

α→∞⇒spline aproksymujący przechodzi w płaszczyznę skośną (w przypadku jednowymiarowych byłoby to proste).

Gdy część punktów pomiarowych położonych jest na linii nieciągłości (np. skarpa),wtedy kant w terenie zostanie wygładzony. Dzieli się liniami strukturalnymi terenu obszar na podobszary i oddzielnie modelujemy 2 obszary tak, aby linie nieciągłości nie miały wpływu na punkty w danym podobszarze.

Utrzymanie (konserwacja ) modelu.

Ostatni etap modelowania terenu to produkty pochodne numerycznego modelu terenu.

Mając cyfrowy model terenu można (możliwa jest):

1.obliczać wysokości w dowolnym punkcie

2.obliczać różnice wysokości, obliczać objętości tam , gdzie występuje przemieszczanie mas, budowa tras, prace inżynierskie

3.dokonywać wizualizacji danych w postaci modelu warstwicowego (modelizacja danych)

4.interpolacja warstwic

5.wizualizacja trójwymiarowa (przedstawienie za pomocą odwzorowań ,przenikanie obiektów ,przecięcie się obiektów )

6.generowanie profilów terenowych (ważne dla przedsięwzięć

inżynieryjnych)

7.generowanie modelu w postaci spadków terenu

8.generowanie linii zadanego nachylenia terenu

9.klasyfikacja terenu na obszary o zadanym spadku (wg spadków o odpowiednim nachyleniu)

10.generowanie krzywizny terenu

11.syntetyczne formy i sposoby przedstawienia terenu

(przedstawienia ortogonalne-na powierzchni x,y i perspektywiczne)

Interpolacja warstwic .

Są metody interpolacji liniowej dla siatki regularnej (dla której jest dany cyfrowy model terenu).Zagęszcza się siatkę, warstwice umieszcza się na punktach przecięcia z siatką kwadratów. Jest to bardzo „kanciaste „ przedstawienie warstwic a powinno być gładkie; dlatego wygładza się te warstwice.

Analogicznie interpoluje się model nieregularny powierzchni trójkątów.

Interpolacja Akima.

Rys.7

Dla punktów pomiarowych aproksymujemy wielomiany niskiego stopnia lokalnie .W każdym z przedziałów aproksymujemy osobno przebieg innym wielomianem niskiego stopnia i poszczególne wielomiany sklejamy ze sobą. W przedziale [i,i+1] S ma postać :

S_[i,i+1]=a_{0[i, i+1]}+a_1[i,i+1](T-T_i)+a_2[i,i+1](T-T_i)²+a_3[i,i+1](T-T_i)³

Gdzie T=[T_i,T_i+1]

Chcemy więc wyinterpolować wartość funkcji w punkcie T z przedziału [T_i,T_i+1]

Należy określić współczynniki a₀,a₁,a ₂,a_3.

W każdym z przedziałów te współczynniki mają inną wartość.

Na ich określenie należy mieć dodatkowe informacje pobrane z sąsiednich punktów (z najbliższego otoczenia tego przedziału)

Rys.8

Należy wziąć po 2 punkty sąsiednie w obie strony. Interpolacja działa lokalnie. Gdy np. jesteśmy w punkcie ostatnim to trzeba dołożyć punkty fikcyjne po prawej stronie dwa przedostatnie po lewej stronie. Interpolacja (gdy dwa punkty leżą na prostej ) połączy je prostą bez żadnych oscylacji.

W-12

Interpolacja ta (Akima) wykorzystuje do określenia współczynników w danym punkcie najbliższe otoczenie (działa lokalnie ).Jeśli więcej niż 3 punkty leżą na prostej, interpolacja je połączy.

Spline-3-ego stopnia:

Spline -standardowe urządzenie do interpolacji, stosowane we wszystkich metodach. Interpolacja liniowa i wielomianowa może być stosowana.Rys.9

Węzły wewnętrzne ''kleją" z kawałków obszar interpolacji. W każdym z przedziałów aproksymujemy przebieg funkcji wielomianem:

S_[i.i+1]=a_0[i,i+1]+a_1[i,i+1](T-T_i)+ a_2[i,i+1](T-T_i)²+ a_3[i,i+1](T-T_i)³

T∈[T_i,T_i+1]

W każdym z przedziałów aproksymujemy powierzchnię wielomianem 3-go stopnia .Współczynniki a_o,a₁ ,a₂,a₃ są

w każdym przedziale inne. Na punktach węzłowych narzucamy na spline pewne warunki - sklejamy przedziały. Należy znać wartości współczynników sąsiednich przedziałów. W jednym przedziale są 4 współczynniki. Dla wszystkich przedziałów jest ich więcej:4(n-1)-niewiadome.

n-pkt {T_i,S_i}

S'_[i.i+1]=a_1[i,i+1]+2a_2[i,i+1](T-T_i)+ 3a_3[i,i+1](T-T_i)²

S''_[i.i+1]=2a_2[i,i+1]+6a_3[i,i+1](T-T_i)

Dla każdego z (n-1) przedziałów między T_i,S_i i T_i+1 ,S_i+1

Można napisać równania (tych równań jest n-1):

S_i=a_0[i,i+1] (w punkcie początkowym)

S_i+1=a_0[i,i+1]+a_1[i,i+1](T_i+1-T_i)+ a_2[i,i+1](T_i+1-T_i)²+ a_3[i,i+1](T_i+1-T_i)³ (w punkcie końcowym przedziału )

Ponieważ S_i+1 jest jednocześnie punktem początkowym jednego przedziału i końcowym innego, więc można wyeliminować wartość a_0[i,i+1] z tego równania .

Zakładamy że :

S'_[i-2,i]=S'_[i,i+1] dla (n-2) punktów

a_1[i-1,i]+2a_2[i-1,i](T_i-T_i-1)²+ 3a_3[i-1,i](T_i-T_i-1)³- a_1[i,i+1]=0

Dla każdego z węzłów wewnętrznych zakładamy też

S"_[i-1,i]=S"_[i,i+1]

2a_2[i-1,i]+6a_3[i-1,i](T_i-T_i-1) - 2a_2[i,i+1]=0

Niewiadomych jest 2(n-1)+2(n-2) =4(n-1)-2 ,brakuje więc dwóch równań, trzeba wykorzystać warunki brzegowe dla uzyskania tych równań.

1 warunek :

gdy jest krzywa zamknięta (cykliczna)-pokrywa się punkt 1 z końcowym.

a_1[n-1,n]+2a_2[n-1,n](T_n-T_n-1)²+ 3a_3[n-1,n](T_n-T_n-1)³=a_1[1,2]

2a_n[n-1,n]+6a_3[n-1,n](T_n-T_n-1)= 2a_2[1,2]

Dla krzywej otwartej przyjmujemy dodatkowe warunki, że

S''_n=0=2a_2[n-1,n]+6a_3[n-1,n](T_n-T_n-1) jest więc 4(n-1) równań z niewiadomymi a_i . Liczba równań można zredukować do n-2 równań ze współczynnikami a₂:

(T_i-T_i-1)a_2[i-1,i]+2(T_i+1-T_i-1)a_2[i,i+1]+(T_i+1-T_i)a_2[i+1,i+2]=(s_i+1-s_i)/(T_i+1-T_i)-(s_i-s_i-1)/(T_i-T_i-1). Wyznacza się stąd współczynniki a₂ zakładając że Δ_i=T_i+1-T_i mamy układ równań:

macierz5

a_0[i,i+1]=s_i (wartości pomierzone, uzyskiwane automatycznie).

a₁ obliczamy z pierwszych równań:

a_1[i-1,i]=(a_0[i,i+1]-a_0[i-1,i])/(T_i-T_i-1)-(2a_2[i-1,i]+a_2[i,i+1])/3(T_i-T_i-1)

a₃ otrzymujemy z pochodnych:

a_3[i-1,i]=(a_2[i,i+1]-a_2[i-1,i])/3(T_i-T_i-1)

jest to spline interpolacyjny - przechodzi przez wszystkie punkty węzłowe. Tymczasem spline aproksymacyjny ma dodatkowe warunki. Wpasowuje się go metodą najmniejszych kwadratów. Spliy nie mają oscylacji między węzłami, w przeciwieństwie do wielomianów wyższego stopnia. Do obliczenia współczynników wielomianu bierze się punkty z dużego otoczenia.

Obliczanie objętości NMT:

Rys.a

V_Δ=1/3(z₁+z₂+z₃)∗A ;A-pole podstawy

V_c=∑V_Δi ;V_c-objętość całkowita

Gdy modelem jest siatka kwadratów:

Rys.b

Δ-wielkość siatki z której zbudowany jest model z(x,y)=a₀+a₁x+a₂y+a₃xy

V_=a₀Δ²+1/2Δ³(a₁+a₂)+1/4Δ⁴a₃

V_c=∑V_i

Dokładność reprezentacji terenu w NMT zależy od:

1.Właściwości geometrycznych terenu

2.Zagęszczenia punktami pomiarowymi które są podstawą do interpolacji modelu(metody pomiaru)

3.Zastosowanej metody pozyskiwania danych i dokładności pomiarów

4.Metody interpolacji

Dokładność mierzy się błędem średnim m=√[∑(z^p_i-z^m_i)²/n] ;z^p_i -wysokość pomiaru ;z^m_i -wysokość modelu.

Kryteria oceny jakości NMT:

1.Zachowanie form terenowych

2.Zachowanie spadków terenu.

Są również kryteria pozwalające na wstępną ocenę pomiaru, metoda interpolacji i form terenowych: reprezentacja spektralna Rys.c

Rozszerzenie Fouriera: Każdą funkcje w przedziale(0,L) można przedstawić w postaci składowych harmonicznych, czyli szeregu Fouriera:

Z(x)=a₁cos(2πx/L)+b₁sin(2πx/L)+ a₂cos(2π2x/L)+b₂sin(2π2x/L)+ a₃cos(2π3x/L)+b₃sin(2π3x/L)+....,czyli

Z(x)=∑(a_kcos(2πkx/L)+b_ksin(2πkx/L),gdzie k=1,2,3,4,....

Zapis ten służy do obliczania współczynników a_k,b_k

Przedstawienie równoważne: z(x)=∑c_kcos(2πkx/L-Φ_k),gdzie Φ_k oznacza fazę ; c_k-amplituda szeregu

C_k=√( a_k²+ b_k²) ; Φ_k=arctan(b_k/a_k) Rys.d

Dodajemy fale składowe, ich suma daje ostateczny przebieg profilu terenowego. Profil można więc przy pomocy szeregu przedstawić w postaci drgań o różnych amplitudach. Suma wszystkich amplitud (c_k) nazywa się w profilu spektrum amplitudowym. Całość kwadratów amplitud nazywa się widmem mocy sygnału (c_k²). Każdej z amplitud (c_k) przypisane są określone częstotliwości. Sinusoida drga szybciej lub wolniej, częstotliwości są odwrotnością długości fal czyli: f_k=1/L_k=k/L np. amplitudzie c₁ odpowiada częstotliwość 1/L lub długość fali L, a amplitudzie c₂ - 2/L lub długość fali L/2.

W szeregu 2m jest a_k i b_k by je określić należy mieć L > lub = 2m punktów pomiarowych. Interwał dyskretyzacji, by móc go zapisać w sieci szeregu Fouriera, należy mieć pomierzone wysokości: rys.e. Zakładamy, że mierzymy wysokości ze stałym interwałem. Dla określenia współczynników trzeba tak dobrać Δx aby było spełnione (l_min tj. najkrótsza fala występująca w sygnale): Δx< l_min/2 = 1/2f_max=π/ω, ω=2πf (twierdzenie o próbkowaniu). Jeżeli mamy sygnał ciągły(profil terenowy lub krzywa) to twierdzenie mówi o tym, jak często należy digitalizować tę funkcję, aby w dyskretnych danych była zawarta kompletna informacja o przebiegu ciągłym. Rys.f, gdy sygnał dyskretyzujemy tak, że wartość mierzymy na osi, rys.g

Δx musi być mniejsze od l_min/2 bo nie mamy żadnych informacji o przebiegu ciągłym. Twierdzenie o próbkowaniu jest stosowane przy budowie NMT na podstawie stereomodelu (tak gęsto mierzy się profile terenowe że można powiedzieć że jest to model ciągły). Robi się rozkład spektralny a reprezentację profilu rozwija się w szereg Fouriera i patrzy się gdzie amplitudy mają minimalne wartości( w dopuszczalnych wartościach dokładności). Wtedy te częstotliwości nas nie interesują , są na poziomie szumów - zbyt małe. Mamy częstotliwość max. lub min. Na podstawie tego twierdzenia możemy obliczyć interwał dyskretyzacji.

---