INFORMATYKA -- I ROK (MK1)

1. Znaleźć w modelu Bohra dopuszczalne promienie kołowych orbit elek­-
   tronowych i dopuszczalne wartości energii dla atomu wodoru. Przyjąć,
   że proton jest nieruchomy. Jak zmienia się wynik przy uwzględnieniu
   skończonej masy protonu (wprowadzić tzw. masę zredukowana dla
   układu elektron-proton)?

2. Wyrazić stała struktury subtelnej poprzez znane stałe fizyczne (ładunek
   elementarny e, przenikalność dielektryczna próżni cq, stała Plancka h i
   prędkość światła w próżni c).

3. Rozwiązać jednowymiarowe równanie falowe Schrödingera dla cząstki
   swobodnej o masie m i pędzie p = *k. Jaka jest energia własna dla
   takiej cząstki? Zinterpretować rozwiązanie w kontekście pojęcia fal
   materii (fale de Broglie'a) oraz zasady nieoznaczoności Heisenberga.

4. Rozwiązać jednowymiarowe, niezależne od czasu równanie Schrödingera
   dla cząstki o masie m uwięzionej w nieskończenie głębokiej studni po-
   tencjału, która rozciąga się od x = 0 do x = a.

5. Wykazać, że falowe funkcje własne, *_m(x), (m = 1,2,...), otrzymane
   dla cząstki w nieskończenie głębokiej studni potencjału są ortonor-
   malne. Wskazówka: pokazać, że (gwiazdka oznacza sprzężenie ze-

spolone):

6. Znaleźć wartość średnią x-owej składowej operatora położenia
w stanie kwantowym opisywanym funkcją falową dla stanu podsta­wowego cząstki w nieskończenie głębokiej studni potencjału. Wskazówka: wyliczyć całkę:

7. Sprawdzić, czy operatory

są przemienne. Wskazówka: policzyć wynik działania operatora

na dowolną funkcję falową *(x).