LISTA 1

(Zmienne losowe skokowe)

Zadanie 1. Zmienną losową jest liczbą ocen bardzo dobrych na egzaminie ze statystyki o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa

xi	0	1	2	3	4
pi	0,05	0,3	0,3	0,2	0,15

1. Narysować rozkład prawdopodobieństwa

2. Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres

3. Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie liczby ocen bardzo dobrych

4. Obliczyć wykorzystując dystrybuantę następujące prawdopodobieństwa:

5. ocenić czy rozproszenie wartości zmiennej losowej wokół jej wartości oczekiwanej jest statystycznie istotne.

Zadanie 2. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:

xi	-5	-2	0	1	3	8
pi	0,1	0,2	0,1	0,2	c	0,1

Wyznaczyć:

1. stałą c oraz narysować wykres funkcji prawdopodobieństwa

2. prawdopodobieństwa P(X=1), P(X=2), P(X<3), P(X<2), P(X≥0), P(-2≤X<3)

Zadanie 3. W tabeli przedstawino wygrane w grze Lotto z dnia 09.02.2012. CZy gra ta jest sprawiedliwa?. Przy jakiej wielkości wygranej (za „szóstke”, pozostałę bez zmian) gra ta jest sprawiedliwa?

Xi	-3	24	122	4050	33800000
Pi	0,98136245	0,01765040	0,00096862	0,00001845	0,00000007

Zadanie 4. Wygrane na loteriach A i B opisane są następującymi rozkładami (tzw. prospektami loteryjnymi):

p_i

p_i

0,4

0,3 0,3 0,3

0,2 0,2

A: 0,1 0,1 B: 0,1

X 0 X

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

Gdzie można spodziewać się większej wygranej i z jakim ryzykiem ten wynik można osiągnąć ?

Zadanie 5. Pewien inwestor giełdowy ma do wyboru zakup akcji dwóch spółek X i Y. Może zakupić akcje tylko jednej ze spółek. Poniższe tabele przedstawiają rozkłady prawdopodobieństw przewidywanych zmian cen tych akcji w %:

Xi	-1,5	-0,5	0	2	4
pi	0,1	0,2	0,25	0,35	0,1

Yi	-2	-1,5	2	3	4
pi	0,1	0,2	0,55	0,05	0,1

O pomoc w podjęciu decyzji poprosił kolegę statystyka. Akcje której spółki i dlaczego wybierze inwestor opierając się na wiedzy eksperta?

Zadanie 6. Wiadomo, że E(X)=2, V(X)=3 oraz E(Y)=3, V(Y)=2. Obliczyć

1. E(X+Y); V(X+Y);

2. E(2X-Y); V(2X-Y);

3. E(2X-3Y+5); V(2X-3Y+5);

Zadanie 7. Zmienne losowe X i Y oznaczają tygodniową liczbę sprzedanych samochodów w salonie A i B. Przy tym wiadomo, że E(Y)=3 oraz V(Y)=2, natomiast rozkład zmiennej X dany jest tabelą poniżej. Wiadomo, także że w wyniku wspólnej akcji promocyjnej obu salonów liczba sprzedanych samochodów w kolejnym tygodniu będzie zmienną losową Z postaci Z=3X-2Y+5. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Z i odpowiedzieć na pytanie czy opłaca się obu salonom wspólna akcja promocyjna

xi	0	1	2	3
pi	0,15	0,45	0,2	0,2

Zadanie 8. Rozkład liczby (x_i) izb w mieszkaniach w 2006 roku przedstawia się następująco

	1	2	3	4	5	6
	0,08	0,2	0,4	0,2	0,1	0,02

1. Narysować rozkład prawdopodobieństwa

2. Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres

3. Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie liczby izb

4. Obliczyć wykorzystując dystrybuantę następujące prawdopodobieństwa:

5. Czy zmienność liczby izb w 2006 roku była istotna statystycznie?

LISTA 2

(Rozkłady zmiennych losowych skokowych)

Zadanie 1. Wiadomo, że 15% sprzedawanych płyt z muzyką to płyty DVD. Jakie jest prawdopodobieństwo że w pewnym sklepie na 6 sprzedanych z muzyką płyt tylko jedna to płyta DVD.

Zadanie 2. Wiadomo, że 12% sprzedawanych na rynku wtórnym samochodów ma ukryte usterki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 5 interesujących nas samochodów wystawionych w pewnym komisie dokładnie 1 będzie miał ukrytą usterkę.

Zadanie 3. Wiadomo, że na 100 samochodów przyjeżdżających na przegląd rejestracyjny 10 takiego przeglądu nie przejdzie pozytywnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 10 samochodów przyjeżdżających na przegląd rejestracyjny dokładnie 2 tego przeglądu nie przejdzie.

Zadanie 4. Liczba dzieci w rodzinie ma rozkład Poissona z ʎ =2 obliczyć prawdopodobieństwo, że w wybranej losowo rodzinie:

1. będzie dokładnie 2 dzieci

2. będzie więcej niż 2 dzieci

3. nie będzie dzieci

4. będzie więcej niż 1 ale mniej niż 3 dzieci

5. będzie co najmniej 1 a nie więcej niż 3 dzieci

6. będzie przynajmniej 1 ale mniej niż 4 dzieci

7. będzie więcej niż 1 ale mniej niż 4 dzieci

Zadanie 5. Oszacowano, że 3% samochodów w Polsce nie ma zainstalowanego katalizatora. W pewnym dniu stacja benzynowa obsłużyła 200 samochodów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

1. dwa samochody nie miały katalizatora,

2. więcej niż dwa samochody nie miały katalizatora,

3. wszystkie samochody samochód miały katalizator?

Zadanie 6. Wiadomo że 2 na 100 sztuk pewnego wyrobu są wadliwe. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w partii towaru liczącej A) 5 sztuk; B) 300 sztuk znajdzie się:

1. zero sztuk wadliwych, b) jedna sztuka wadliwa, c) dwie sztuki wadliwe, d) co najmniej trzy sztuki wadliwe. ?

Zadanie 7. Wiadomo, że 10% zamawianych na wynos pizz zawiera owoce morza. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

1. Na 5 pizz zamówionych na wynos w ciągu godziny aż 2 były z owocami morza

2. Na 60 pizz zamówionych w ciągu dnia co najmniej 3 ale nie więcej niż 5 będzie zawierało owoce morza

.

1

---