Siły. definicja i klasyfikacja. Model ciała sztywnego
Siła-pojęcie pierwotne. Wynik wzajemnego mechanicznego oddziaływania na siebie co najmniej dwóch ciał.
Zewnętrzne to siły przyłożone do punktów materialnych rozpatrywanego układu wywierane przez inny układ.
Wewnętrzne to s. wzajemnego oddziaływania między p. materialnymi w rozpatrywanym układzie Skupione jest przyłożona do punktu; Rozłożone: powierzchniowe, objętościowe, rozłożone wzdłuż linii; Czynne -wywołują ruch ciała; bierne (reakcje)- stanowią wynik oddziaływania więzów. Ciało sztywne to wyidealizowane ciało stałe, w którym odległości pomiędzy dwoma dowolnymi punktami wewnątrz tego ciała są stałe, niezmienne (niezależnie od sił działających na to ciało). Ciało sztywne stanowi przybliżony model rzeczywistego ciała stałego i wystarcza do rozwiązywania wielu ważnych praktycznych przypadków ruchu i równowagi.
Prawa Newtona, zasady statyki (6). Więzy, reakcje
I Prawo punkt materialny, na który nie działa żadna siła, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej;
II prawo przyśpieszenie p. materialnego jest proporcjonalne do siły działającej na ten punkt i ma kierunek siły m.*a=P.
III prawo siły wzajemnego oddziaływania dwóch p. materialnych są równe co do wartości i są przeciwnie skierowane wzdłuż prostej łączącej oba punkty.
1. Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż jednej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe 2. działanie układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie gdy do tego układu zostanie dodany lub odjęty dowolny układ równoważących się sił (tzw. układ zerowy) wniosek: każdą siłę działającą na ciało sztywne można dowolnie przesuwać wzdłuż kierunku jej działania 3. zasada równoległoboku dowolne siły P1 i P2 przyłożone do jednego punktu, można zastąpić siłą wypadkową R przyłożoną do tego punktu i przedstawioną jako wektor będący przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach sił. Długość R=pierwiastek (p1*p1+p2*p2+2*p1*p1*p2*p2* cosϕ) 4.z.działania i przeciwdziałania każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie 5. z. zesztywnienia równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała
6.z. oswobodzenia od więzów każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednim reakcjami. Dalej ciało to można rozpatrywać jako ciało swobodne, podlegające działaniu sił czynnych (obciążeń) oraz sił biernych (reakcji).
Celem mechaniki jest wyznaczanie reakcji więzów, a więc badanie oddziaływania ciała sztywnego na otoczenie.
Celem wytrzymałości materiałów jest badanie sił wewnętrznych w danym ciele. Zależnie od sposobu podparcia konstrukcji w jej elementach powstają różne siły wewnętrzne Podparcie przegubowe nieprzesuwne, przegubowe przesuwne, utwierdzenie, przegub pośredni; Inne :ostrza, pręt na podłożu, tuleja przesuwna
Płaski układ sił zbieżnych, równoległych i dowolnie skierowanych i warunki równowagi
Zbieżny: wszystkie siły przechodzą przez punkt 0,0 układu współrzędnych suma (i=1 do n) Pxi; suma (i=1 do n) Pyi
Równoległy: wszystkie siły równoległe do osi Y, skierowane w górę lub dół. 1. Suma(i=1 do n) Pyi=0; suma (i=1 do n) Moi=0 gdzie „o” to dowolny punkt. 2. suma (i=1 do n) Mai=0; suma (i=1 do n) Mbi=0 gdzie „a”, „b” to dowolne punkty nie leżące na prostej równoległej do kierunku działania sił.
Dowolnie skierowany siły dowolnie skierowane nie przecinają się w jednym punkcie. 1. suma (i=1 do n) Pxi=0; suma (i=1 do n) Pyi=0; suma (i=1 do n) Moi=0; 2. suma (i=1 do n) Mai=0; suma (i=1 do n) Mbi=0; suma (i=1 do n) Mci=0; punkty a,b,c nie mogą leżeć na jednej prostej. 3. suma (i=1 do n) Pxi=0; suma (i=1 do n) Mai=0; suma (i=1 do n) Mbi=0; gdzie os x nie może być prostopadła do prostej AB.
Warunki równowagi przestrzennego układu sił dowolnie skierowanych
Dowolny układ sił działających na ciało sztywne może być zastąpiony siłą R, przyłożoną do dowolnego środka redukcji , równą sumie geometrycznej ,momentów tych sił względem środka redukcji O. Siłę R nazywa się wektorem głównym, moment Mo- momentem głównym względem środka redukcji O. Dla przestrzennego dowolnego układu sił warunki równowagi otrzymuje się po przyrównaniu do zera wektora głównego R oraz momentu głównego Mo: R=0, Mo=0. W prostokątnym układzie współrzędnych warunki równowagi zawierają sześć równań skalarnych: trzy równania równowagi dla rzutów sił na osie układu współrzędnych suma(i=1 do n) Pxi=0; suma(i=1 do n) Pyi=0; suma(i=1 do n) Pzi=0; trzy równania momentów względem osi układu współrzędnych: suma(i=1 do n) Mxi=0; suma(i=1 do n) Myi=0; suma(i=1 do n) Mzi=0
Środek ciężkości brył, powierzchni figur płaskich i linii
. Wykorzystując znane ze statyki pojęcia środka sił, dla środka ciężkości można napisać Sx=yc*A Sy=xc*A Korzystając z tych zależności, współrzędne środka ciężkości figury płaskiej można obliczyć ze wzoru xc=Sy/A yc=Sx/A. Do określania położenia środka ciężkości przekrojów złożonych powszechnie wykorzystuje się podział przekroju na figury proste. Po dokonaniu podziału współrzędne środka ciężkości określa się z zależności xc=suma (i=1 do n) Ai*xi/ suma (i=1 do n) Ai; yc=suma (i=1 do n) Ai*yi/ suma (i=1 do n) Ai gdzie Ai to pola powierzchni figur prostych xi, yi to współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur prostych.
Charakterystyka wytrzymałości materiałów. Zadania wytrzymałości materiałów. Związki wytrzymałości materiałów ze statyką (mechaniką ciała sztywnego). Typy konstrukcji
Celem wytrzymałości materiałów jest badanie sił wewnętrznych w danym ciele, potrzebnych do określenia „wytrzymałości” odkształcanego ciała. WM została określona jako część mechaniki ciał odkształcalnych.
Podstawą wytrzymałości materiałów są prawa statyki oraz wnioski wypływające z doświadczenia. Pomostem łączącym mechanikę ciał sztywnych z WM jest wspomniana zasada zesztywnienia, pozwalająca na formułowanie warunków (równań) równowagi dla ciał odkształconych tak, jak gdyby ciało to miało postać nie odkształconą, pierwotną.
Pojęcie „WM” można traktować jako cechę, właściwość ciał stałych, polegającą na przeciwstawianiu się niszczącemu działaniu siły .
Zadania WM: określanie nośności konstrukcji (odpowiedniej wytrzymałości) -wyznaczanie przemieszczeń konstrukcji wywołanych obciążeniami (określanie sztywności konstrukcji)
Wm polega na przyjęciu właściwego modelu fizycznego, znalezieniu prawidłowych uproszczeń i stworzeniu prostego modelu matematycznego. „Wytrzymałość materiałów posługuje się modelem ciała jednorodnego, izotropowego, idealnie sprężystego i charakteryzuje się praktycznym, inżynierskim podejściem do rozwiązywania problemów. Podstawowe typy konstrukcji: pręt (głównie siły z siłami rozciągającymi lub ściskanymi, działającymi wzdłuż osi pręta), wał (kojarzone ze skręcaniem), belka (zginanie). Bardziej złożone: pręty cienkościenne, płyty (tarcze, membrany), powłoki.
Siły wewnętrzne. Naprężenia. Związki między naprężeniem a siłami wewnętrznymi.
Dla ujawnienia sił wewnętrznych korzysta się z tzw. zasady myślowych przekrojów. Po „myślowym' rozdzieleniu obu części ciała ujawniają się siły wewnętrzne, które są wynikiem oddziaływania jednej części ciała oddzielonej myślowym przekrojem na drugą. Siły wewnętrzne uporządkowane zgodnie z układem osi współrzędnych, można podzielić następująco: P.-siła normalna (osiowa) ty, Tz- siły poprzeczne (tnące, ścinające) mx-moment skręcający My, Mz- moment zginający. Kierunki sił wewnętrznych w obu częściach myślowego przekroju są przeciwnie skierowane, gdyż po „złożeniu” przekroju suma sił wewnętrznych musi być równa zeru. Naprężenie gdy na elementarnej powierzchni deltaA działa elementarna siła wewnętrzna deltaF. Naprężenie wektor sigma= granicy przy deltaA dążącym do 0 ilorazu deltaF i deltaA= rózniczka dF po dA kierunek wektora sigma jest taki sam jak wektora siły. Jednostka -Paskal. Wektor sigma można rozłożyc na trzy składowe: naprężenie normalne sigmax (równoległe do osi x) naprężenia styczne tał xy (równoległe do osi y) tał xz (równoległe do osi z) wzór: wektor sigma=sigma x*wektor i + tał xy*wektor j + tał xz *wektor k po porównaniu obu wzorów otrzymujemy: sigmna x=dFx/dA tał xy= dFy/dA, tałxz=dFz/dA
Prawo Hooke'a
Jest to najważniejsze sformułowanie w WM. Określające związek fizyczny pomiędzy naprężeniami i odkształceniami. Sigma= moduł younga E* wydłużenie względne epsilon gdzie sigma=siła F / Przekrój początkowy Ao, a epsilon= przyrost długości delta L/ długość początkowa Lo. Moduł younga to współczynnik proporcjonalności charakteryzujący materiał
Uogólnione Prawo Hooke'a
εx=1/E*( σx-νσy) εy=1/E*( σy-νσx)
σx=E/1-ν2*(εx+νεy) σy=E/1-ν2*(εy+νεx)
Zasada superpozycji. Zadania statycznie wyznaczalne i nie wyznaczalne
Jeśli przyjmiemy, ze obciążenie jest przyczyną, a odkształcenie skutkiem, to ta liniowa zależność pozwala na sformułowanie tzw. Zasady superpozycji. Gdy miedzy przyczyna a skutkiem zachodzi liniowa zależność, można rozpatrywać skutki kilku przyczyn równocześnie występujących jako sumę skutków przyczyn działających pojedynczo i oddzielnie. Równania statyki pozwalają rozwiązywać zadania z liczba niewiadomych nie przekraczającą liczby równań statyki. Ponieważ w WM przeważają zagadnienia statycznie niewyznaczalne, gdzie liczba niewiadomych przekracza liczbę równań równowagi, które można napisać dla tego zagadnienia. Różnica między liczba niewiadomych a liczba równań równowagi określa tzw. Stopień statycznej niewyznaczalności zadania. Rozwiązanie zadania statycznie niewyznaczalnego polega na: -określeniu stopnia statycznej niewyznaczalności zadania i wielkości statycznie niewyznaczalnych -utworzeniu odpowiedniej liczby tzw. Równań geometrycznych z wykorzystaniem warunków nierozdzielności (łączności) konstrukcji. W WM stopień statycznej niewyznaczalności zadania zależy od sposobu podparcia konstrukcji.
Statyczna próba rozciągania. Naprężenie dopuszczalne. Warunki wytrzymałościowe
Polega na rozciąganiu znormalizowanej próbki z określoną, niewielka prędkością i rejestracja siły rozciąganej oraz wydłużenia próbki. W początkowym okresie rozciągania widać liniowa zależność- jest to zakres odkształceń sprężystych, dla których obowiązuje prawo Hooke'a (do A). Po dalszym wzroście obciążenia zauważyć można niewielkie zakrzywienia wykresu. Punkt B oznacza koniec odkształceń sprężystych- pojawiają się odkształcenia trwałe, plastyczne. Pod wpływem wzrostu obciążenia dochodzimy do punktu C, w którym siał siła przestaje wzrastać, a wręcz zaczyna zmniejszać się. Ponieważ zjawisku temu towarzyszy przyrost wydłużenia określa się je jako płynięcie materiału. Przy dalszym wzroście obciążenia zaczyna się umocnienie materiału. Dalszemu wzrostowi obciążenia towarzyszą wydłużenia o wyraźnym plastycznym charakterze. Osiągnięciu maksymalnego obciążenia towarzyszy pojawienie się przewężenia tzw. szyjki. Przez to zmniejsza się pole przekroju próbki, następuje zmniejszenie siły rozciągającej i zerwanie próbki.
Odcinek OA - obowiązuje prawo Hooke'a, A-granica proporcjonalności, B-zakres odkształceń sprężystych- granica sprężystosci. Umowna granica sprężystości dla epsilon=0,05% Ro,o5=Fo,o5/AoPunkt C -górna granica plastyczności Reh=Feh/Ao. Dolna granica plastyczności Rel=Fel/Ao.Ro,2= Fo,2/Ao to umowna granica plastyczności. Wytrzymałośc na rozciaganie Rm=Fm/Ao. Naprężenia dopuszczalne sa graniczną miarą wytężenia czyli trwałych zmian wystepujących w materiale.sigma dopuszczalne=sigma niebezpieczne/n gdzie n to współczynnik bezpieczeństwa, sigma nieb to naprężenie przyjete za niebezpieczne, zaleznie od warunków pracy konstrukcji przyjmuje się granice plastyczności lub wytrzymałośc materiału na rozciąganie. Współczynnik bezpieczeństwa musi byc wiekszy od 1. W praktyce 1.5 do 5, nikiedy 10 (dla np.wind osobowych). Warunek wytrzymałościowy, który stosujemy do obliczeń opartych na naprężeniach dopuszcalnych. Sigma max mniejsze lub równe sigma dopuszcalne. Wynika z niego, że o wytrzymałości całej konstrukcji decyduje jej najsłabszy element, w którym pojawia się napręzenia dopuszczalne. Tego warunku uzywamy w obliczeniach wytrzymałościowych na napręzena dopuszczalne do okreslania dopuszczalnych obciążeń konstrukcji o znanych wymiarach lub okreslenia koniecznych wymiarów konstrukcji dla zadanego obciążenia. Warunek sztywności (odkształceniowy) zakładający, ze odkstzałcenia konstrukcji nie moga przekroczyć pewnych, z góry ustalonych wartości. W przypadku rozciagania prętów warunek sztywności bedzie zapisany w postaci delta l mniejsze lub równe delt l dopuszczalne.
Układy prętowe. Naprężenia termiczne i montażowe.
Kstzałt preta wyznaczony jest przez dowolna figure płaską, której środek porusza się po dowolnym torze. Pręty przenosza tylko siły działające wzdłuz osi pręta. Siły wewnetrzne w pręcie okresla się za pomoca metody myslowych przekrojów. Układy prętowe statycznie wyznaczalne rozwiazujemy przez warunek równowagi dla rozciaganego (lub ściskanego0 preta. Aby wyliczyć jego wydłużenie wykorzystujemy fakt, ze poszczególne przekroje obciążonego preta przemieszczaja się wzdłuz osi, przy czym pozostaja płaskie i prostopadłe do osi. Do obliczenia wykorzystujemy prawo Hooke'a. Gdy liczymy przemieszczenia stosujemy pewne uproszczenia np. łuki okreslające nowe położenie zastepujemy odcinkami prostymi. Natomiast gdy mamy do czynienia z układami prętowymi niewyznaczalnymi układamy dodatkowo równania geometryczne Naprężenia termiczne: Pod wpływem zmian temperatury elementy konstrukcyjne zmieniają swoje wymiary. Zmiane długosci preta obliczyc można z zależności: delta lt= alfa*l*deltaT współczynnik rozszerzalności liniowej alfa jest cecha charakterystyczną materiału. Pret podany działaniu temperatury, bedący elementem układu pretów, oddziałuje na sąsiednie prety. Całkowite odkształcenie preta jest sumą odkształcenia termicznego i odkształcenia sprężystego, wywoływanego siłami powstałymi na skutek oddziaływania sąsiadujacych prętów. Delta l =plusminus ( plusinus delta l t plusminus deltal n ) gdzie delta lt- wydłuzenie termiczne deltaln- wydłużenie sprężyste. Poszczególne elementy konstrukcji sa wykonywane z odchyłkami wymiarowymi załozonymi przez konstruktora. W wyniku tego moga powstac w konstrukcji luzy montazowe. Powoduje to powstanie dodatkowych naprężeń montażowych.Niekeiedy tzw. naprężenia wstępne moga np. w połączeniach śrubowych zapobiegac odkręcaniu się nakrętek a wpołączeniach kołnierzowych zapewniac szczelność połączenia.
Momenty statyczne figur płaskich; bezwładności. Twierdzenie Steinera główne momenty bezwładnosci
W prostokatnym układzie współrzędnych momenty statyczne względem osi X i Y sa zdefiniowane nastepująco: Sx=całka od A (y*dA) Sy=całka od A (x*dA) gdzie A to pole powierzchni przekroju a dA to powierzchnia elementarna. Momenty statyczne maja wymiar podawany najczęściej w cm sześciennych. W zależności od połozenia przekroju względem osi układu współrzędnych moga przyjmować wartości dodatnie i ujemne. Wykorzystując znane ze statyki pojęcia środka sił, dla środka cięzkości można napisać Sx=yc*A Sy=xc*A Korzystająć z tych zależności, współrzędne środka ciężkości figury płaskiej można obliczyc ze wzoru xc=Sy/A yc=Sx/A. Do określania połozenia srodka cięzkości przekrojów złozonych powszechnie wykorzystuje się podział przekroju na figury proste. Po dokonaniu podziału współrzędne środka ciężkości określa się z zależności xc=suma (i=1 do n) Ai*xi/ suma (i=1 do n) Ai; yc=suma (i=1 do n) Ai*yi/ suma (i=1 do n) Ai gdzie Ai to pola powierzchni figur prostych xi, yi to współrzedne srodków ciężkości poszczegółnych figur prostych. Dla płskiego prostokatnego układu współrzędnych moment bezwładności figur płaskich: osiowe momenty bezwładności Jx=całka od A (y*y*dA) Jy=całka od A (x*x*dA), biegunowy moment bezwładności Jo=całka od A (p*p*dA)= całka od A (x*x+y*y)dA=Jx+Jy moment dewiacyjny: Jxy=całka od A (x*y*dA) momenty bezwładności maja wymiar cm do czwartej. Momenty osiowe oraz biegunowy sa zawsze dodatnie, natomiast dewiacyjny moze byc dodatni lub ujemny. M. Bezwładnosic figur złóżonych sa suma m. Bbezwładności prostych figur składowych. Dzieki Twierdzeniu Steinera można obliczyć momenty bezwładności figur płaskich względem osi równolegle przesunietych w stosunku do osi centralnych. Przykład m. Bezwładności względem osi X-Y, równolegle przesuniętej w stosunku do osi centralnych (środkowych) Xo-Yo o odcinki a i b. Twierdzenie: Osiowy moment bezwładności figury płaskiej względem osi odległej od srodka ciężkości o określoną wartość jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek cięzkości figury, powiekszonemu o iloczyn powierzchni figury i kwadratu odległości pomiędzy osiami. Jx=Jxo+A*a*a Jy=Jyo+A*b*b Jxy=Jxoyo+A*a*b. Prostokat: Jxo=szerokość*wysokość do trzeciej /12; Jx=szerokość*wysokość do trzeciej /3; trójkat prostokatny: Jxo=szerokość*wysokość do trzeciej /36; jx=szerokość*wysokość do trzeciej /12; okrag Jx=pi*śrdnica do czwartej/64. Główne momenty bezwładności to takie, dla których moment dewiacyjny jest równy zero. tangens2alfa=minus 2*Jxy/(Jx-Jy). Momenty bezwładności obliczone względem główneych osi bezwładności osiagaja wartości ekstremalne i sa głównymi m.bezwładności. J1,2=(Jx+Jy)/2 plusminus pierwiastek z [ (Jx/2-Jy/2)kwadrat plus J2xy]. Przy obliczeniach nalezy pamietać, ze suma osiowych momentów bezwładności względem dowolnie usytuowanych osi jest zawsze taka sama.
Wyboczenie konstrukcji.
Elementami podatnymi na wyboczenia są: osiowo ściskane pręty,kolumny,cienkościenne płyty, ramy i kratownice.Wyboczenie tych konstrukcji to utrata przez nie tzw.stateczności.Prowadzi to do fizycznego zniszczenia Zjawisko wyboczenia morzna wytłumaczyć na przykladzie układu pręt sprężyna.Jeżeli do pręta przyłożymy małą siłę zewnętrzną po odjęciu której układ powróci do stanu początkowego to układ pręt sprężyna jest stateczny.Jeżeli siła Pjest duża to zapoczątkowany obrót pręta zapoczątkowany przez zakłócenia będzie kontynuowany wtwdy układ jest niestateczny.Wartości siły odpowiadające sytuacji przejścia ze stanu statycznego do niestatecznego nazywamy obciążeniem krytycznym Pkr. Jeżeli P.<Pkr to układ jest stateczny i odwrotnie.
Zmęczenie materiału.
Jest związane ze zmniejszeniem wytrzymałości elementów konstrukcyjnych poddanych działaniu okresowo zmiennych obciążeń.Przyczyną zapoczątkowania procesu zmęczeniowego jest spiętrzenie się naprężeń wywołanych np. pęknięciem,rysą,karbem.wał ulega zniszczeniu gdy nie zniszczona część nie jest w stanie przenieść obciążenia.W przełomie zmęczeniowym rozróżnia się dwie strefy.Strefa zniszczenia zmęczeniowego(ma wygładzoną,błyszczącą powierzchnie z charakterystycznymi liniami) Druga strefa nosi nazwę doraźnej i ma wygląd gruboziarnisty matowy. Przyczyną tych zjawisk są dyslokacje.Wykresem pozwalający określić wytrzymałości zmęczeniowej są krzywe Wohlera
Wytrzymałość złożona.
Najczęściej spotykanymi przypadkami wytrzymałości złożonej są: zginanie ukośne, zginanie, połączone z rozciąganiem(lub ściskaniem), zginanie połączone ze skręcaniem i ogólny przypadek wytrzymałości złożonej czyli połączenie rozciągania, skręcania i zginania. Podstawowym zagadnieniem przy obliczaniu konstrukcji poddanej obciążeniom złożonym jest identyfikacja obciążeń.polega ona na wykorzystaniu praw statyki dookreślenia sił i momentów działających na konstrukcję. Szerokie zastosowanie mają tutaj zerowe układy sił pozwalające określić siły wewnętrzne w poszczególnych elementach konstrukcji.
Zginanie ukośne
jest bezpośrednio związane ze zginaniem płaskim. Występuje wówczas gdy wektor momentu zginającego belkę nie pokrywa się z żadnym z kierunków dwóch głównych osi bezwładności. Zginanie ukośne można traktować jako sumę zginania płaskiego w płaszczyźnie pionowej oraz w płaszczyźnie poziomej.Siła skupiona P odchylona od głównej osi bezwładności o kąt α może być rozłożona na dwie składow: pionową Pcosα i poziomą Pcosα. Naprężenia w dowolnym punkcie są sumą naprężeń spowodowanych zginaniem płaskim w płaszczyźnie pionowej i poziomej.
Zginanie i skręcanie
W ten sposób są obciążone wały maszyn. Ten rodzaj wytrzymałości charakteryzuje się niejednorodnym rozkładem naprężeń - moment zginający powoduje powstanie naprężeń normalnych σmax=Mzg/W, W=πd(3)/32, moment skręcający naprężeń stycznych τmax=Mskr/W0, w0=2*W
Ogólny przypadek wytrzymałości złożonej. Przykładem ogólnego przypadku wytrzymałości złożonej mogąbyć przestrzenne konstrukcje prętowe obciążone siłami skupionymi, obciążeniami ciągłymi i momentami. Na skutek zmiany kierunku osi pręta zmienia się charakter sił wew. wywołanych przez siłę zew.Przy rozwiązywaniu zadań ważne jest kontrolowanie ciągłości sił wewnętrznych od punktu przyłożenia do punktu utwierdzenia.
Belki statycznie niewyznaczalne
W belce statycznie niewyznaczalnej liczba niewiadomych reakcji podporowych jest większa od liczby równań statyki. Różnica pomiędzy tymi wielkościami określa stopień statycznej niewyznaczalności zadania. Konstruowanie dodatkowych równań-ogólny schemat postępowania.1Uwolnienie belki z nadliczbowych więzów przez zastąpienie ich działania odpowiednimi siłami 2Wyznaczenie przemieszczeń(ugięć obrotów) w uwolnionych przekrojach. Biorąc pod uwagę typy więzów układa się równania geometryczne.3Korzystają z warunków podparcia i warunków nierozdzielności belki wyznacza się tyle warunków dla przemieszczeń ilokrotnie zadanie jest statycznie niewyznaczalne. 4Układ równań równowagi i dodatkowe równania geometryczne tworzą układ do rozwiązania zadania(liczba równań=liczbie niewiadomych)
Równanie trzech momentów.
W metodzie tej wielkościami statycznie niewyznaczalnymi są momenty podporowe. Dodatkowe równania geometryczne otrzymuje się z warunku zgodności kątów obrotu na poszczególnych podporach. Równanie trzech momentów dotyczy dwóch przęseł(trzech momentów)będących częścią belki wieloprzęsłowej. Równanie trzech momentów ma postać Mn-1* l n-1+2Mn(ln+ln+1)+Mn+1* ln+1=6Ωn*an/ln-6Ωn+1*bn+1/ln+1, Mn-1,Mn, Mn+1 to momenty podporowe statycznie niewyznaczalne; zgodnie z umową określającą znaki, w równaniu momenty mają znak plus. ln,ln+1 są to dł. Prawego i lewego przęsła. Ωn,Ωn+1 są to siły skupione których wartość liczbowa jest równa polu powierzchni wykresu momentu zginającego na danym przęśle.An, bn, an+1, bn+1są to prawe i lewe współrzędne punktu przyłożenia siły Ω.
15Metoda superpozycji
W wyniku uproszczeń nie tylko odksztłcenia, ale i przemieszczenia są liniową funkcją obciążeń.Pozwala to na zastosowanie w obliczaniu ugięć i obrotów metody superpozycji. Metoda pozwala na obliczanie przemieszczeń tylko w pewnych punktach np. podparciach, końcach belki.
Równanie różnicowe linii ugięcia
d(2)y/dx(2)=+-M/Ejz, interpretacja tego równania jest przedstawiona na rys. 105 str.152. Wynika z niego zależność:dy/dx=tgΘ=w przybliżeniu Θ.Uproszczenia w równaniu linii ugięcia dają dokładne wyniki dla kątów Θ,5
Metoda Clebschs całkowania równania różniczkowego linii ugięcia belek.
Sposób ten wymaga przestrzegania kilku reguł podczas wyznaczania momentu zginającego.1 Lewy koniec belki jest początkiem układu współrzędnych XY,2 Równanie momentów zginających pisze siędla jednego ostatniego przedziału belki, 3 W przypadku działania momentu skupionego M. w równaniu momentów uwzględnia się współrzędną tego momentu w postaci M.(x-a)potęga0, 4 Obciążenie ciągłe działające na pewnej dł. Belki należy doprowadzić do końca belki z jednoczesnym dodaniem na uzupełnionym odcinku równoważnego obciążenia ciągłego o przeciwnym znaku, 5 Całkowanie wyrazów zawierających dwumian(x-a) należy wykonać bez otwierania nawiasów. Całka(x-a)potęg n dx =całka(x-a)potę n d(x-a)=(x-a)potęga n+1/n+1 +C. Dzięki powyższym założeniom stałe całkowania są wspólne dla wszystkich odcinków. W ten sposób otrzymuje się tzw. Analityczną metodę parametrów początkowych rozwiązywania równań różniczkowych linii ugięcia belki.
Zginanie płaskie
występuje wtedy gdy wszystkie siły zewnętrzne leżą w jednej płaszczyźnie przechodzących przez oś belek. Jeżeli płaszczyzna działania sił pokrywa się z jedną z głównych osi bezwładności to mamy do czynienia ze zginaniem prostym. W zginaniu płaskim oś odkształconej pod wpływem obciążenia belki pozostaje w płaszczyźnie działania obciążenia. Do wyznaczenia sił wew. Wykorzystuje się metodę myślowych przekrojów. Siły wew. T- siła poprzeczna, M.- moment zginający.
Skręcanie wałów okrągłych.
Skręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi wału.Przy skręcaniu można napisać 1 równanie statyki sumę momentów względem osi wału. W opisie odkształcenia wału okrągłego wykorzystuje się hipotezę płaskich przekrojów, według której okrągłe przekroje po skręceniu zostają płaskie i okrągłe.
Hipotezy wytrzymałościowe.
Przyjęcie h. wytrzymałościowej umożliwia znalezienie matematycznej funkcji pozwalającej na zastąpienie złożonego przestrzennego stanu naprężeń przez stan jednoosiowego rozciągania dokładnie opisany przez statyczną próbę rozciągania. Dzięki temu można wykożystać warunek wytrzymałościowy, σ red≤σ dop=σ nieb/n.
Hipoteza największego naprężenia stycznego
przyjęto że miarą wytężenia jest największe naprężenie styczne określone wzorem τ max=(σ max-σ min)/2 dla jednoosiowego rozciągania τmax=1/2 σzero, stąd naprężenie zredukowane σ red=σ max-σ min. Ze wzorów na płaskie stany naprężeń otrzymuje się: σ red=σ 1-σ 2= pierwiastek[(σ x-σ y)do potęgi2+4τxy do potęgi2 ]. Dla szczególnego stanu naprężeń , σ x=σ, σ y=0, τxy=τ zginanie)otrzymuje się:σ red =pierwiastek[σ do potęgi2+4τ do potęgi2].
Hipoteza energii odkształcenia postaciowego.
Twórcy h. Huber, Mises, Hencky przyjęli że miarą wytężenia materiału jest wartość energii sprężystej odkształcenia postaciowego którą dla ogólnego stanu naprężeń oblicza się ze wzoru: Φf = (1=v)/6E*[(σ x-σ y) do 2+(σ y-σ z) do 2+(σ z-σ x) do 2+6(τxy do2+τyz do 2+σxz do 2)] dla jednoosiowego rozciągania Φf=(1+v)/6E*2σ do2. Dla tych samych wytężeń prawwe strony powyższych równań są równeσ =σ red otrzymuje się σ red=pierwiastek[σ x do2+σ y do2+σ z do2-σ x*σ y-σ y*σ z-σ z* σx+3(τxy do 2+τyz do2+τzx do2). Dla płaskiego stanu naprężenia zred. Wwg. H.E.O.P oblicza się z zależności σ red= pierwiastek[σ x do2+σ y do2-σ x*σ y+3τxy do2] Dla zginania σ red=pierwiastek[σ do 2+3τ do2]
10.Związek między składow. Stanu naprężeń i skł. Stanu odkształceń.
Związek pomiędzy sładowymi obu stanów wyraża uogólnione prawo Hooke`a stosowane do idealnie sprężystego materiału izotropowego. Ma ono postać: εx =1/E[σ x- v (σ y+σ z)], γ xy= τ zx/G; ε y= 1/E[σ y-v (σ x+σ z)], γ yz= τ yz/G; ε z=1/E[σ z-v (σ x+σ y)], γ zx= τ zx/G. Uogólnione prawo Hooke`a pozwala obliczyć składowe stanu odkształceń na podstawie znanych składowych stanu naprężeń
9.Odkształcenia postaciowe i objętościowe
Jeżeli element (np. prostopadłościan) zostanie poddany tylko działaniu wydłużeń liniowych to wówczas są to odkształcenia główne których kierunek pokrywa się z kierunkami osi xyz. Prostopadłościan pozostaje prostopadłościanem leccz jego objętość wzrasta.Z odkształceniem objętościowym mamy do czynienia gdy wszystkie trzy wydłużenia (w prostopadłościanie) we wszystkich kierunkach x y z są takie same czyli : d y(1+ε śr), dx(1+ εśr), dz(1+ εśr). Z odkształceniem postaciowym mamy do czynienia gdy działają wydłużenia pozostałe po odjęciu εśr i odkształcenia kontowe czyli : d y(1+εy-εśr), dx(1+εx-εśr), dz(1+ε z- εśr).Do tego przykładowe rysunki.
8.Jednoosiowy stan naprężeń.
Jest najprostszym przypadkiem występującym w prętach. W przekroju prostopadłym do osi pręta występuje równomierny rozkład naprężeń normalnych σ. Z warunku równowagi rzutu sił na oś pręta otrzymuje się: σ A-pα*A/cosα = 0, pα = ε cosα =P.*cosα/A. Naprężenie pα można rozłożyć na składową normalną i styczną: σ α= pα*cosα, τα = pα*sinα. Naprężenia normalne i styczne w płaszczyźnie nachylonej do osi pręta pod kątem α są określone zależnościami : σα = σ*cos kwadrat α, τα = 0.5 sin2α. Kąt α przyjmuje się za dodatni jeżeli jest on odmierzany w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Przyjmuje się że naprężenia styczne τα mają znak dodatni gdy ich kierunek pokrywa się z kierunkiem dodatniego naprężenia σ α, obróconego zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt 90 stopni. Max. I min. wartości naprężeń wynoszą: naprężenia normalne: σα = σ max, gdy α = 0 stopni ; σα = 0, gdy α = 90stopni. Naprężenia styczne : τα = 0, gdy α = 0 i 90 stopni, τα = τ max, gdy sin2α = 1 α = 45 stopni. Max wartości naprężeń : σ max = σ α= 0 =σ, τ max = τ α = 45 =0.5σ.Graficzny sposób określenia stanu naprężeń nosi nazwę koła Mohra.
Redukcja płaskiego układu sił
do lewego: wektor R=suma(i=1 do n) wektora Pi i to jest różne od 0 wektor Mo=suma(i=1 do n) wektora Moi do środkowego: punkt c nalezy odmierzać w takim kierunku, aby znak otrzymanej pary sił był zgodny z kierunkiem Mo. Do prawego: wektor R=suma(i=1 do n) wektora Pi. Wektor Mo (wektor
R)=mo=suma(i=1 do n) wektor Moi. Ten ostatni wektor Mo to moment
wypadkowej wektor R względem punktu 0.
Ideą redukcji dowolnego płaskiego jest to, ze wszystkie momenty i siły sprowadzamy do momentu głównego, wektora głównego i bieguna redukcji o i wtedy wykorzystujemy wg powyzszego rysunku tzn. Zamieniamy moment i wektor na wektor oddalony od bieguna redukcji o h=Mo/R
osi jest zawsze taka sama.
Analityczna metoda parametrów poczatkowych rozwiązywania równania różniczkowego linii ugiecia belki wykorzystuje to, ze stałe całkowania sa współne dla wszystkich odcinków belki. -wyzanczenie momentu zginającego dla ostatniego przedziału -ułożenia równania różniczkowego linii ugiecia -scałkowania równania linii ugiecia (otrzymujemy równania kątów obrotów) -scałkowania równania kątów obrotu (otrzymujemy równania ugięć) Stałe y0 oraz teta0 sa parametrami początkowymi -oznaczaja ugiecie i kat obrotu belki dla x=0; dla podparcia przegubowego (y0=0 teta0 różna od 0) koniec swobodny (rózny, różny) Utwierdzenie (0,0).
Metoda superpozycji do liczenia przemieszczeń w zginanych belkach. Równanie różniczkowe linii ugiecia jest równaniem uproszczonym. W wyniku uproszczeń nie tylko odkształcenia ale i przemieszczenia sa liniowa funkcją obciążeń. Pozwala to na zastosowanie w obliczaniu ugięć i obrotów metody superpozycji . Metoda pozwala na obliczanie przemieszczeń tylko w pewnych punktach (np. podparcia, na końcach belki). Dla szybkiego stosowania metody korzysta si e z gotowych tabeli z rozwiazaniami.
1.Siły. definicja i klasyfikacja. Model ciała sztywnego 2.Prawa Newtona, zasady statyki (6). Więzy, reakcje 3.Płaski układ sił zbieżnych, równoległych i dowolnie skierowanych i warunki równowagi 4.Warunki równowagi przestrzennego układu sił dowolnie skierowanych 5.Środek ciężkości brył, powierzchni figur płaskich i linii 6.Charakterystyka wytrzymaości materiałów. Zadania wytrzymałości materiałów. Związki wytrzymałości materiałów ze statyką (mechaniką ciała sztywnego). Typy konstrukcji 7.Siły wewnętrzne. Naprężenia. Związki między naprężeniem a siłami wewnętrznymi. 8.Prawo Hooke'a 9.Zasada uperpozycji. Zadania statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne 10. Statyczna próba rozciągania. Naprężenie dopusczalne. Warunki wytrzymaości. 11.Układy prętowe. Naprężenia termiczne i montażowe. 12.Momenty statyczne figur płaskich; bezwładności. Twierdzenie Steinera główne momenty bezwładnosci 13.Wyboczenie konstrukcji. 14.Zmęczenie materiału. 15.Wytrzymałość złożona. 16.Zginanie ukośne 17.Zginanie i skręcanie 18.Ogólny przypadek wytrzymałości złożonej. 19.Belki statycznie niewyznaczalne 20.Równanie trzech momentów. 21.Metoda superpozycji 22.Równanie różnicowe linii ugięcia 23.Metoda Clebschs całkowania równania różniczkowego linii ugięcia belek. 24.Zginanie płaskie 25.Skręcanie wałów okrągłych. 26.Hipotezy wytrzymałościowe. 27.Hipoteza największego naprężenia stycznego 28.Hipoteza energii odkształcenia postaciowego. 29.Związek między składow. Stanu naprężeń i skł. Stanu odkształceń. 30.Odkształcenia postaciowe i objętościowe 31.Jednoosiowy stan naprężeń. 32.Redukcja płaskiego układu sił
33.Analityczna metoda parametrów poczatkowych 34.Metoda superpozycji do liczenia przemieszczeń w zginanych belkach.