5 drgania wymuszone, Politechnika Łódzka, Do Wojciechowskiego

<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2//EN"><DIV TYPE=HEADER></DIV>Drgania pod działaniem siły wymuszającej - przypadek drgań stacjonarnych

Rozważmy teraz ruch harmoniczny prosty, w którym działa siła sprężysta, (
)oraz siła oporu ośrodka F_op(
). Układ poddany zostaje działaniu siły wymuszającej zależnej od czasu. Jeśli siła wymuszająca jest okresowa i ma częstość kołową , można ją rozłożyć na sumę funkcji harmonicznych typu: A_n sin(nt) oraz B_mcos(mt) zwaną szeregiem Fouriera. Jest również możliwe rozłożenie na podobną sumę funkcji harmonicznych funkcji nieokresowej określonej na przedziale <-L,L>.

Równanie ruchu zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona przyjmie formę następującą dla siły wymuszającej, f(t), dowolnie zależnej od czasu:

ma = F_s + F_op + f(t) .

Czyli po wykorzystaniu związków określających te siły:

0x01 graphic
.

Można teraz rozwiązać to równanie rozwijając w szereg Fouriera funkcję f(t) i znaleźć rozwiązanie dla każdego wyrazu tego rozwinięcia oddzielnie, a następnie je zsumować jako rozwiązanie dla funkcji f(t) ponieważ rozpatrywane równanie różniczkowe jest liniowe ze względu na x i kombinacja liniowa rozwiązań jest też jego rozwiązaniem.

Problem nasz sprowadzi się więc do rozpatrzenia prostej formy siły wymuszającej F₀cos t. Nasze równanie przyjmie postać:

0x01 graphic
.

Dzieląc równanie przez m i uwzględniając związek: ₀²= k/m, otrzymamy:

0x01 graphic
.

Analiza dla przypadku drgań stacjonarnych.

Ponieważ spodziewamy się rozwiązania o charakterze harmonicznym postulujemy rozwiązanie zespolone w postaci:

, gdzie  jest częstością kołową siły wymuszającej, która wymusi drgania układu o tej częstości..

Ponieważ
, tak więc jest to kombinacja liniowa części rzeczywistej i zespolonej. Musimy teraz znaleźć wartość zespolonej amplitudy B, dla której tak postulowana funkcja x(t) spełnia to równanie, a następnie wyrazić ją w postaci wykładniczej.

Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji x(t) po czasie i wstawiamy do równania opisującego ruch wymuszony.

, 0x01 graphic

otrzymują:

Wyłączając wspólny czynnik eⁱ^^t

Równanie to musi być spełnione dla każdego czasu t tożsamościowo, a więc warunek ten powoduje, że:

, czyli wyrażenie w nawiasie musi być równe zeru.

Stąd otrzymujemy równanie dla amplitudy B w dziedzinie zespolonej.

0x01 graphic
.

Liczby zespolone.

Krótko przypomnijmy postać wykładniczą i trygonometryczną liczby zespolonej. Liczba zespolona z =
cos  + i
sin , gdzie
oraz tg  


Uwaga: Zbieżność oznaczenia  z poprzednim znaczeniem dla współczynnika oporu jest tu przypadkowa.

0x08 graphic
Rozpatrując wyrażenie dla amplitudy B możemy jego mianownik przedstawić w postaci:

gdzie

tg   0x01 graphic


A więc:

0x01 graphic
.

Rozwiązanie w dziedzinie zespolonej ma postać:

0x01 graphic
.

Widać, że rzeczywista część tego rozwiązania opisująca wychylenie w ruchu harmonicznym wymuszonym ma postać:

x(t) = 0x01 graphic
,

przy czym

tg   0x01 graphic


Amplituda drgań zależy od częstości kołowej siły wymuszającej, natomiast wychylenie jest przesunięte w fazie względem siły wymuszającej o 

Przeprowadzając analizę przebiegu zmienności amplitudy w funkcji częstości kołowej siły wymuszającej można obliczyć wartość częstości kołowej siły wymuszającej, dla której amplituda osiąga wartość maksymalną. Jest to warunek rezonansu.

Gdy tłumienie drgań jest niewielkie może dojść do zniszczenia materiału układu drgającego wskutek bardzo dużych dopuszczalnych wartości amplitudy.