OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW FIZYCZNYCH

1. BŁĘDY POMIAROWE

Podstawową czynnością w laboratorium fizycznym jest pomiar, czyli ustalenie za pomocą narzędzi pomiarowych wartości liczbowej określonej wielkości fizycznej. Do dyspozycji mamy wzorce miar (przymiary, odważniki, płytki wzorcowe itp.) oraz przyrządy pomiarowe (z odczytem bezpośrednim i umożliwiają pomiar względny). Z pomiarem wielkości prostej mamy do czynienia wtedy, gdy miarę określonej wielkości fizycznej otrzymujemy poprzez bezpośredni pomiar jednym, wybranym przyrządem. Pomiary wielkości złożonych wymagają pomiarów wielu wielkości prostych.

Wynik pomiaru nie jest, niestety rzeczywistą wartością miary wielkości fizycznej. Niezgodność wyniku pomiaru z wartością wielkości mierzonej nazywamy błedem. Wartość wielkości mierzonej jest wartością porównawczą i może być porównywana z wartością poprawną lub średnią arytmetyczną wyników serii pomiarów. niekiedy stosuje się pojęcie uchyb zamist błędu. Różne mogą być przyczyny błędów i różnie mogą wpływać na wynik pomiaru. Błędy można podzielić na: systematyczne, przypadkowe, grube.

Błędy systematyczne przy wielu pomiarach tej samej wielkości wykonanych w tych samych warunkach pozostają stałe zarówno co do wartości bezwzględnej, jak i znaku. Wraz ze zmianą warunków błąd systematyczny zmienia się według pewnej określonej zależności. Wśród przyczyn błędów systematycznych można wymienić między innymi: błąd wzorcowania miary, błąd atestowania, wpływ temperatury, ciśnienia, wilgotności, pól elektrycznego i magnetycznego itp., tarcie mechanizmów ruchomych przyrządu, bezwładność mechaniczną lub cieplną. Przyczyny błędów mogą tkwić w ułomnościach naszych zmysłów, np. subiektywna ocena jasności i barwy widzenia pirometru. Często spotykanym błędem jest odczyt położenia wskazówki pod dużym kątem (tzw. błąd paralaksy). Błąd może wynikać z zastosowania niepoprawnej metody pomiarowej, np. przez nieodpowiednie włączenie woltomierza o małej oporności. Większość błędów systematycznych można wyeliminować stosując coraz to dokładniejsze przyrządy pomiarowe, przestrzegając zaleceń producenta, wprowadzając automatyzację i komputeryzację pomiarów.

Mierząc wielokrotnie określoną wielkość dokładnym przyrządem można zauważyć rozrzut wyników, a różnice między kolejnymi wynikami pomiarów mogą nawet przekraczać błąd systematyczny. Każdy z takich pomiarów obarczony jest błędem przypadkowym. Przyczyną błędów przypadkowych nie jest zazwyczaj znana, nie można ich też wyeliminować, można natomiast określić ich wpływ na ostateczny wynik wielkości mierzonej.

Błędy grube (nadmiarowe) wynikają zwylke z niestaranności osoby wykonującej pomiary. Może to być zły odczyt, pomyłka w zapisie (np. przestawienie kropki dziesiętnej), błędne przyjęcie stosowanego zakresu pomiarowego lub zmiana jednostek. Błędy grube można stosunkowo łatwo zauważyć i wyeliminować je.

Wynik pomiaru bez określenia dokładności jest bezwartościowy. Błąd związany jest z wartością mierzoną i ze względu na sposób zapisu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Błąd bezwzględny oznacza odchylenie wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej i podawany jest w jednostkach wielkości mierzonej, np. t ± Δt = (8,4 ± 0,2) s.

Błąd względny jest stosunkiem błędu względnego do wielkości mierzonej

Zwykle oprócz wyniku pomiaru podaje się błąd procentowy, czyli błąd względny wyrażony w procentach np. t ± Δt = (8,4 ± 0,2) s, δ = 2,4%.

BŁĄD POMIARU WIELKOŚCI PROSTEJ

Dokładność przyrządu determinuje minimalną wartość błędu systematycznego. Dla wzorców pomiarowych (np. odważników, płytek wzorcowych, rezystorów i kondensatorów wzorcowych) wprowadzono pojęcie klasy. Przyrządy są tak konstruwane, że wyniki prawidłowo wykonanych pomiarów różnią się od wartości rzeczywistej (wzorcowej) nie więcej niż o wartość odpowiadająca klasie przyrządu.

Wartość najmniejszej działki na skali nazywa się dokładnością odczytu. Dokładność skali jest uzależniona od klasy przyrządu. Klasa przyrządu uwzględnia więc błędy systematyczne skalowania. W pewnych przypadkach dopuszcza się przyjmowanie dokładności odczytu przekraczającej dokładność podziałki. Można tak postępować, gdy interesuje nas różnica wskazań przyrządu, gdy klasa pozwala zastosować większą dokładność odczytu i podziałki skali są wystarczająco odległe, a wskazówka cienka. Wówczas za błąd pomiaru przyjmujemy wartość 1/2, 1/4, 1/5 wartości podziałki.

WARTOŚĆ ŚREDNIA I JEJ BŁĄD

Błąd pojedynczego pomiaru nie jest miarą dokładności danej metody pomiarowej. Jeśli wykonamy serię pomiarów x_i , to każdy z tych pomiarów jest obarczony jest innym błędem Δx_i . Jeśli liczba pomiarów jest wystarczająco duża to można sporządzić tzw. histogram błędów serii pomiarowej.

Rys. Histogram błędów serii pomiarów

Wysokość słupków jest równa:

gdzie:

Δn - liczba wyników o wartości zawartej w przedziale < x, x + ε >,

ε - szerokość słupka (przedziału),

N - całkowita liczba pomiarów.

Jeśli liczba pomiarów będzie rosła do nieskończoności, a szerokość słupków będzie dążyć do zera to histogram przekształca się w krzywą rozkładu błędów, a ϕ w funkcję rozkładu:

gdzie : p(x, ε) jest prawdopodobieństwem tego, że wartość pomiaru x ∈ < x, x + ε >. Zwykle jawna postać krzywej rozkładu nie jest znana.

ODCHYLENIE STANDARDOWE

Rozkład normalny Gaussa jest teoretycznym rozkładem opartym na postulacie minimalizacji sumy kwadratów błędów poszczególnych pomiarów

Pierwsza pochodna tego wyrażenia musi się zerować więc

skąd

Oznacza to, że wartość średniej arytmetycznej serii n pomiarów spełnia postulat Gaussa. Odchylenia poszczególnych pomiarów od wartości średniej stanowią miarę wartości błędów przypadkowych.

Rozkład Gaussa opisany jest funkcją:

Parametr σ jest tzw. odchyleniem standardowym lub błędem średnim kwadratowym pojedynczego pomiaru:

W przypadku skończonej, niezbyt dużej liczby pomiarów dobre oszacowanie odchylenia standardowego daje następujący wzór:

Dalej przedstawiono wykres krzywej rozkładu Gaussa błędów przypadkowych z zakończeniem prawdopodobieństwa odpowiadającego przedziałom równym kolejnym wielokrotnościom odchylenia standardowego.

Rys. Krzywa rozkładu Gaussa błędów przypadkowych

Około 2/3 pomiarów (68,2%) mieści się w przedziale (-σ, +σ); w przedziale (-2σ, +2σ) zawartych jest 95,4% pomiarów, a przedział (-3σ, +3σ) obejmuje prawie wszystkie pomiary (99,7%).

W warunkach rzeczywistych mamy do czynienia zarówno z błędami przypadkowymi σ jak i z systematycznymi Δx₀ . Można wykazać, że błąd całkowity jest określony wyrażeniem:

Obliczając odchylenie standardowe średniej należy uwzględnić częściowe kompensowanie się odchyłek ujemnych i dodatnich. Otrzymamy wówczas:

Wielkość ta nazywana jest również błędem średnim kwadratowym.

Kilkakrotne powtarzanie pomiarów pozwala zwiększyć dokładność i lepiej oszacować błąd przypadkowy. Jednak nadgorliwość, jak zwykle, jest nie wskazana bowiem zwiększanie dokładności ze wzrostem liczby pomiarów jest słabe. Po podstawieniu wyrażenia opisującego średnią arytmetyczną do wzoru na błąd średni kwadratowy otrzymujemy:

BŁĄD PRZECIĘTNY I BŁĄD MAKSYMALNY

Poziom ufności określający względną liczbę wyników, które mieszczą się w przedziale:

Z poziomem ufności związany jest przedział ufności:

Wartość trzykrotnego błędu średniego kwadratowego 3⋅S_x nazywa się błędem maksymalnym.

Jeśli dla błędu średniego kwadratowego przyjmujemy:

gdzie h jest miarą precyzji pomiarów w funkcji rozkładu Gaussa, to tzw. błąd przeciętny określany wzorem:

spełnia warunek:

Niekiedy wprowadza się inną interpretację błędu maksymalnego - największą odchyłkę ze zbioru odchyłek:

Jeszcze innym błędem jest tzw. błąd przeciętnej średniej:

ŚREDNIA WAŻONA

Jeśli wykonaliśmy kilka pomiarów z różną dokładnością i chcemy obliczyć wartość średnią, to wydaje się oczywiste, że różne pomiary powinny mieć różny wpływ na wynik obliczeń. Pomiar dokładniejszy jest lepszy od pomiaru mniej dokładnego. Wprowadźmy pojęcie wagi, wielkości odwrotnie proporcjonalnej do błędu pomiaru:

Stała a jest tak dobrana, aby wartości wagi w_i były dogodne dla dalszych obliczeń. Średnia ważona (średnia z wagami) wyrażona jest wzorem:

a błąd maksymalny średniej ważonej:

W przypadku, gdy wagi są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odchyleń standartowych wartości średnich z serii pomiarowych, należy obliczyć błąd średni kwadratowy średniej ważonej ze wzoru:

gdzie:

BŁĄD WIELKOŚCI ZŁOŻONEJ

W praktyce laboratoryjnej stawiane są bardziej złożone zadania, niż prosty pomiar czasu, częstotliwości czy też długości. Zazwyczaj celem jest wyznaczenie określonej wielkości fizycznej poprzez pomiar kilku innych wielkości fizycznych. W tych przypadkach wielkości pośrednie mierzymy zwykle jeden raz lub najwyżej kilkakrotnie, a błąd pomiarowy wynika z dokładności przyrządów, klas mierników lub jest to błąd maksymalny wartości średniej z krótkiej serii pomiarowej.

METODA RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ

Jeśli przyjąć, że szukana wielkość jest funkcją kilku zmiennych:

y = f(x₁ , x₂ , . . . , x_n)

to różniczka zupełna przyjmuje postać:

Po zastąpieniu różniczek przyrostami skończonymi otrzymamy:

Przyrostom skończonym można przypisać sens fizyczny błędów (systematycznych, maksymalnych). Uwzględniając regułę dodawania błędów otrzymamy ostatecznie:

lub inaczej

Jeśli poszczególne wielkości wchodzące do naszej złożonej funkcji mierzymy wielokrotnie a następnie obliczamy odchylenia standardowe średniej, to wyrażenie na odchylenie standardowe średniej arytmetycznej wielkości złożonej przyjmuje postać:

METODA POCHODNEJ LOGARYTMICZNEJ

Jeżeli analizowane złożone wyrażenie jestiloczynem dowolnych potęg wielkości prostych,

to po zlogarytmowaniu otrzymamy:

Różniczkując równanie otrzymujemy:

Jeśli poszczególne różniczki występujące w powyższym wyrażeniu potraktujemy jako błędy maksymalne i uwzględnimy najbardziej niekorzystną sytuację oraz zsumujemy błędy biorąc ich bezwzględne wartości, to błąd względny wyznaczania wielkości złożonej można wyliczyć za pomocą następującej zależności:

Jeśli poszczególne wielkości proste mierzyliśmy wielokrotnie i obliczaliśmy odchylenia standartowe wartości średnich, to błąd względny w takim przypadku należy obliczyć wg wzoru:

REGRESJA LINIOWA

W przypadku ścisłej zależności funkcyjnej pomiędzy zmiennymi z i y zachodzi jednoznaczne przyporządkowanie wartości zmiennej zależnej wartościom zmiennej niezależnej. Jeśli jednak wartości tych zmiennych uzyskane są na drodze doświadczalnej, to wskutek istnienia błędów zmienne te wykazują rozrzut wartości zgodnie z funkcjami rozkładów. Kreśląc te zależności otrzymamy punkty rozrzucone na pewnym obszarze. Można jednak zauważyć pewne prawidłowości rozrzutu tych punktów. Problem ten nazywa się ogólnie regresją.

Zagadnienia polegające na szukaniu zależności regresyjnej na podstawie znajomości funkcji rozkładu obydwu zmiennych nazywane są zagadnieniami regresyjnymi pierwszego rodzaju. Jeśli nie znamy tych funkcji, to problem regresji drugiego rodzaju sprowadza się do odnalezienia takich funkcji:

dobranych w ten sposób, że suma kwadratów odchyleń wartości zmierzonych od obliczonych na podstawie tych funkcji osiąga minimum:

W praktyce laboratoryjnej częstym przypadkiem jest liniowa funkcja regresji

Współczynniki regresji a i b znajdujemy metodą najmniejszych kwadratów poprzez minimalizację sumy kwadratów odchyleń. Warunek ten jest spełniony, jeśli pochodne cząstkowe wyrażenia:

będą się zerować:

Rozwiązujemy ten układ równań przy założeniach:

• x jest zmienną niezależną, a jej wartości zostały znalezione doświadczalnie (metody regresji liniowej nie stosujemy do wyników obliczeń !!)

• rozkład warunkowy zmiennej y jest rozkładem normalnym, a jej błąd jest niezależny od zmiennej x,

• błędy nie zależą od wartości zmiennych.

Oznaczając odchylenie

ε_i = y_i - ax_i - b

otrzymujemy następujące wyrażenia na współczynniki regresji:

i odchyleń standardowych:

Uproszczone wzory regresji liniowej

Wzór zasadniczy	Wzór alternatywny

W obliczeniach numerycznych wygodnie jest stosować wartości średnie zmiennych. Przy stosowaniu wzorów zasadniczych mogą wystąpić różnice dużych prawie jednakowych liczb co może być przyczyną błędów i wymaga to obliczeń z dużą dokładnością. W tabelce oprócz uproszczonego zapisu wzoru zasadniczego podajemy również alternatywną formę najwygodniejszą w praktycznym zastosowaniu. Gdy mimo to wystąpią kłopoty, to wyjściem jest zastosowanie następujących podstawień:

ε_xi = x_i -

ε_yi = y_i -

ε_i=ε_yi - aε_xi = y_i - aε_xi -

i odchyleń standardowych:

Stopień skoloerowania obydwu zmiennych charakteryzuje współczynnik korelacji określany wzorem:

lub

lub też

Współczynnik korelacji zmienia się od wartości 0 (brak korelacji) do wartości ±1 (pełna korelacja). Należy podkreślić, że te rozważania są mimo wszystko proste. W przypadku uwzględnienia jednej wspólnej wagi w_i dla i-tej pary zmiennych wzory na współczynnik regresji stają się bardziej złożone

Odchylenia standardowe w tym przypadku oblicza się w sposób następujący:

SPORZĄDZANIE WYKRESÓW

Celem poglądowego przedstawienia związku między mierzonymi wielkościami sporządza się wykres. Wykres może być przydatny podczas analizy pomiarów próbnych, podczas doświadczalnego sprawdzania związków otrzymanych teoretycznie. niekiedy wyznaczonej zależności nie można przedstawić za pomocą określonego wzoru i wówczas wykres stanowi podsumowanie pomiarów. Wykresy powinny być wykonane na papierze funkcyjnym (milimetrowym, półlogarytmicznym, rzadziej biegunowym).

Należy stosować następujące zasady:

1. Wykres powinien obejmować całą powierzchnię arkusza papieru.

1. Zmienna niezależna powinna być odłożona na osi poziomej.

1. Skale tak dobieramy, aby współrzędne dowolnego punktu mogły być łatwo określane. Odległości między podziałkami skali przyjmujemy 1⋅10ⁿ, 2⋅10ⁿ, 4⋅10ⁿ, 5⋅10ⁿ. Unikamy wielokrotności 3, 6, 7, 9, 11 itp.

1. Skale nie muszą zaczynać się od zera. Granice skal zbliżone są do ekstremalnych wartości zmiennych.

1. Nachylenie krzywej w najbardziej interesującym obszarze powinno być zbliżone do 45⁰ w stosunku do osi odciętych.

1. Punkty pomiarowe oznacza się kółeczkami, krzyżykami, trójkącikami itp. a nie punktami.

1. Zasadniczo punktów nie łączymy ze sobą. Krzywa nie powinna mieć załamań, niewyjaśnionych nieciągłości, węzłów oraz innych osobliwości.

1. Krzywą kreślimy za pomocą krzywki przez trzy kolejne punkty. Wykreślamy kolejne odcinki krzywej do połowy odległości między punktami.

1. Bardzo przydatna jest elastyczna krzywka posiadająca właściwości dopasowywania kształtu do własnych potrzeb.

GRAFICZNA ANALIZA BŁĘDÓW

Prezentacja błędów pomiarowych na wykresie polega na wykreśleniu prostokąta błędu z środkiem w punkcie pomiarowym. wysokość prostokąta odpowiada 2 ⋅ ΔY, a jego szerokość 2 ⋅ ΔX, gdzie ΔX i ΔY są błędami maksymalnymi lub odchylenia standardowymi. Jeśli wartość błędu jednej wielkości jest zbyt mała by narysować prostokąt, lub też nie znamy jego wartości to ograniczamy się do narysowania słupka błędu, czyli odcinka o długości odpowiadającej podwojonemu błędowi drugiej wielkości. W skali logarytmicznej lub półlogarytmicznej na wykresach biegunowych itp. prostokąty błędów będą odpowiednio zdeformowane. Prostokąty błędów nanosimy na kilka punktów pomiarowych (skrajne i środkowe) oraz te, które odbiegają od przewidywanej krzywej.

Po otoczeniu punktów pomiarowych prostokątami błędów rysujemy linią przerywaną dwie krzywe po obu stronach wykresu, przechodzące przez narożniki prostokątów. Jest to tzw. obwiednia błędów. Założona wartość wielkości i jest obarczona błędem Δi. Rysujemy pas o szerokości odpowiadającej 2⋅Δi, który przecina obwiednię. Bierzemy najbardziej niekorzystne punkty przecięcia tych pasów i znajdujemy przedział wielkości X: X₁<X_x<X₂ . W niektórych przypadkach interesująca wielkość fizyczna jest wyznaczana jako nachylenie wykresu (np. z charakterystyk tranzystora znajdujemy jego parametry. Omawiany tutaj sposób jest zalecany wtedy, gdy interesujący nas odcinek wykresu nie jest idealną linią prostą. Skrajne punkty pomiarowe odcinka charakterystyki otaczamy prostokątami błędów. Przez te prostokąty można poprowadzić wiele prostych. Nas interesują przypadki ekstremalne. Skrajne proste przechodzą przez przeciwległe rogi prostokątów. Nachylenie charakterystyki obliczamy jako średnią arytmetyczną nachyleń skrajnych prostych:

Błąd maksymalny nachylenia oblicza się w następujący sposób:

ZAOKRĄGLANIE WYNIKÓW

Nie znając dokładnej wartości szukanej wielkości możemy jedynie z założonym prawdopodobieństwem określić przedział, w którym powinna znajdować się wielkość zmierzona czy też wyznaczona. Z analizy funkcji rozkładów błędów wynika, że sens fizyczny posiada właściwie tylko pierwsza cyfra znacząca błędu. Wyjątkowo sens fizyczny przypisać można drugiej cyfrze znaczącej. Pozostałe cyfry nie mają sensu fizycznego. Zarówno wartość błędu, jak i szukanej wielkości musi być zaokrąglona zgodnie z następującymi zasadami:

• błąd obliczamy do drugiego miejsca znaczącego;

• błędy zaokrąglamy zawsze w górę (wynik zaokrąglenia nie może być większy od wyniku obliczeń,

• błąd zaokrąglamy do: pierwszej cyfry znaczącej lub do drugiej liczby znaczącej, jeśli w pierwszym przypadku błąd zwiększa się więcej niż 10%,

• wynik obliczamy z dokładnością o jedno miejsce więcej, niż występuje to dla zaokrąglonego błędu,

• wynik zaokrąglamy do tego samego miejsca, co w przypadku błędu,

• wynik zaokrąglamy według normalnych zasad zaokrąglania: 1, 2, 3, 4 - w dół, 6, 7, 8, 9 - w górę, cyfrę 5 w górę jeżeli poprzedza ją cyfra nieparzysta, w dół, jeśli poprzedza ją cyfra parzysta,

• należy stosować odpowiednie przedrostki i wielokrotności potęgowe tak, aby błędem były obarczone jedynie miejsca dziesiętne i setne.

BIBLIOGRAFIA

Robert Respondowski - „Laboratorium z fizyki” - skrypt Politechniki Śląskiej, Gliwice 1994

---