Statystyka - ćwiczenia laboratoryjne

Estymacja przedziałowa

Przedział ufności dla wartości oczekiwanej

Konstrukcja przedziału ufności dla wartości oczekiwanej na podstawie małej próby wymaga założenia normalności rozkładu badanej cechy w populacji generalnej. Wykorzystując wyniki próby o liczebności n, obliczamy końce przedziału ufności wg wzoru:

- średnia arytmetyczna wyników próby

- estymator punktowy odchylenia standardowego

- wartość zmiennej t Studenta, wyznaczona z tablic tego rozkładu, przy liczbie stopni swobody równej n - 1, w ten sposób, że dla danego z góry prawdopodobieństwa 1-α, zwanego poziomem ufności, zachodzi relacja
.

Excel - funkcje statystyczne ROZKŁAD.T.ODW w polu prawdopodobieństwo wpisujemy α.

• Przedział ufności dla dużej próby, budujemy stosując wzór:

- wartość zmiennej losowej U, mającej rozkład normalny standaryzowany. Wartość ta odczytywana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1)

Excel - ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW w polu prawdopodobieństwo wpisujemy (1+(1-α))/2

Przedział ufności dla odchylenia standardowego

Jeżeli z populacji generalnej, charakteryzującej się rozkładem normalnym badanej cechy, wylosowano małą próbę o liczebności n, to przedział ufności dla wariancji buduje się zgodnie ze wzorem:

lub

Po wyznaczeniu przedziału ufności dla wariancji możemy zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego:

są wartościami zmiennej losowej
, wyznaczonymi z tablic rozkładu tej zmiennej, przy n - 1 stopniach swobody, tak aby spełnione były relacje

Excel - funkcje statystyczne ROZKŁAD.CHI.ODW.

• Jeżeli liczebność próby losowej jest duża przybliżony przedział ufności dla odchylenia standardowego można skonstruować wykorzystując wzór:

Przedział ufności dlawskaźnika struktury

Badana cecha ma charakter niemierzalny,
.

Przedział ufności dla wskaźnika struktury p :
,

gdzie
- liczba elementów posiadających badaną cechę jakościową wyznaczona na podstawie

- elementowej próby,
znajdujemy z tablic rozkładu normalnego
wiedząc, że

, czyli
.

Np.

Na podstawie 15 pomiarów poziomu glukozy (podanego w mg%) oszacować metodą przedziałową średni poziom glukozy, przyjmując poziom ufności 1-α = 0,95.

Rozwiązanie:

Glukoza [mg%]
105
110
117
96
122
126
95
101
121
117
91
103
134
115
98
n	15
xśr	110,0667
odchylenie standardowe	12,82		dolny kraniec przedziału	103,0
1-α	0,95		górny kraniec przedziału	117,2
tα	2,144787

Odp: Przedział ufności o końcach 103 oraz 117,2 mg% pokrywa rzeczywisty średni poziom glukozy z prawdopodobieństwem równym 0,95.