Statystyka - ćwiczenia laboratoryjne
Estymacja przedziałowa
Przedział ufności dla wartości oczekiwanej
Konstrukcja przedziału ufności dla wartości oczekiwanej na podstawie małej próby wymaga założenia normalności rozkładu badanej cechy w populacji generalnej. Wykorzystując wyniki próby o liczebności n, obliczamy końce przedziału ufności wg wzoru:
- średnia arytmetyczna wyników próby
- estymator punktowy odchylenia standardowego
- wartość zmiennej t Studenta, wyznaczona z tablic tego rozkładu, przy liczbie stopni swobody równej n - 1, w ten sposób, że dla danego z góry prawdopodobieństwa 1-α, zwanego poziomem ufności, zachodzi relacja
.
Excel - funkcje statystyczne ROZKŁAD.T.ODW w polu prawdopodobieństwo wpisujemy α.
Przedział ufności dla dużej próby, budujemy stosując wzór:
- wartość zmiennej losowej U, mającej rozkład normalny standaryzowany. Wartość ta odczytywana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1)
Excel - ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW w polu prawdopodobieństwo wpisujemy (1+(1-α))/2
Przedział ufności dla odchylenia standardowego
Jeżeli z populacji generalnej, charakteryzującej się rozkładem normalnym badanej cechy, wylosowano małą próbę o liczebności n, to przedział ufności dla wariancji buduje się zgodnie ze wzorem:
lub
Po wyznaczeniu przedziału ufności dla wariancji możemy zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego:
są wartościami zmiennej losowej
, wyznaczonymi z tablic rozkładu tej zmiennej, przy n - 1 stopniach swobody, tak aby spełnione były relacje
Excel - funkcje statystyczne ROZKŁAD.CHI.ODW.
Jeżeli liczebność próby losowej jest duża przybliżony przedział ufności dla odchylenia standardowego można skonstruować wykorzystując wzór:
Przedział ufności dlawskaźnika struktury
Badana cecha ma charakter niemierzalny,
.
Przedział ufności dla wskaźnika struktury p :
,
gdzie
- liczba elementów posiadających badaną cechę jakościową wyznaczona na podstawie
- elementowej próby,
znajdujemy z tablic rozkładu normalnego
wiedząc, że
, czyli
.
Np.
Na podstawie 15 pomiarów poziomu glukozy (podanego w mg%) oszacować metodą przedziałową średni poziom glukozy, przyjmując poziom ufności 1-α = 0,95.
Rozwiązanie:
Glukoza [mg%] |
|
|
|
|
105 |
|
|
|
|
110 |
|
|
|
|
117 |
|
|
|
|
96 |
|
|
|
|
122 |
|
|
|
|
126 |
|
|
|
|
95 |
|
|
|
|
101 |
|
|
|
|
121 |
|
|
|
|
117 |
|
|
|
|
91 |
|
|
|
|
103 |
|
|
|
|
134 |
|
|
|
|
115 |
|
|
|
|
98 |
|
|
|
|
n |
15 |
|
|
|
xśr |
110,0667 |
|
|
|
odchylenie standardowe |
12,82 |
|
dolny kraniec przedziału |
103,0 |
1-α |
0,95 |
|
górny kraniec przedziału |
117,2 |
tα |
2,144787 |
|
|
|
Odp: Przedział ufności o końcach 103 oraz 117,2 mg% pokrywa rzeczywisty średni poziom glukozy z prawdopodobieństwem równym 0,95.