Kredyty (pożyczki)

Na lekcji nauczysz się układać plan spłaty kredytu lub pożyczki, a w szczególności obliczać wielkość odsetek i kwotę rat miesięcznych.

Kredyty o ratach malejących

Załóżmy, że chcesz wziąć w banku pożyczkę w wysokości 3200 zł na 10 miesięcy przy rocznym oprocentowaniu 8% i spłacać ją w ratach malejących. Wpisz do okienka "Kwota kredytu" liczbę 3200, do okienka "Oprocentowanie roczne" liczbę 8, a do okienka "Liczba rat miesięcznych" liczbę 10. Zaznacz kropką "Raty malejące" i naciśnij Enter lub "Oblicz".

Otrzymałeś plan spłaty pożyczki. Każdy wiersz dotyczy jednego miesiąca i podano w nim wielkość odsetek wraz ze sposobem ich obliczania, kwotę kredytu miesięcznego, wielkość raty do spłacenia i saldo. Czy rozumiesz wszystkie obliczenia i wielkości podane w tabeli?

Oto wyjaśnienia do pierwszego wiersza tabeli. Aby obliczyć wielkość miesięcznych odsetek, potrzebna jest miesięczna stopa procentowa. Oblicza się ją, dzieląc roczną stopę procentową przez 12, w tym przypadku
. Odsetki obliczamy, mnożąc kwotę zadłużenia przez miesięczną stopę procentową. W pierwszym miesiącu wynoszą one: 3200,00 * 0,6667% = 21,33. Zatem w pierwszym miesiącu musisz spłacić kredyt miesięczny wynoszący 320 zł (jest to
kwoty pożyczki) oraz odsetki. Razem rata wynosi: 320 + 21,33 = 341,33 zł. Do spłacenia pozostało Ci jeszcze 3200,00 - 320,00 = 2880,00 zł pożyczki.

Wykonaj teraz podobne obliczenia dla drugiego miesiąca, nie patrząc na obliczenia w programie, a następnie sprawdź to, porównując z wynikiem otrzymanym przez program.

Prowadząc w podobny sposób obliczenia dla wszystkich miesięcy, widzimy, że suma odsetek wynosi 117,33 zł.

Zadanie 1.
Jaka będzie suma odsetek od kredytu w wysokości 6000 zł, zaciągniętego na 6 miesięcy z oprocentowaniem rocznym 15%? 

Zastanówmy się teraz, czy można obliczyć sumę odsetek, nie wykonując kolejnych miesięcznych obliczeń. Spójrz na kolejne odseteki dla kredytu 6000 zł z poprzedniego zadania i spróbuj dostrzec zależność.

Chyba nie sprawiło Ci trudności zauważenie, że kolejne kwoty odsetek: 75,00, 62,50, 50,00, itd.  tworzą ciąg arytmetyczny. Pierwszy wyraz wynosi 75,00, ostatni 12,50, zatem korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego
, otrzymujemy:
= 262,50 zł. 

Zadanie 2.
Oblicz sumę odsetek od dwuletniego kredytu w wysokości 18000 zł ze stopą procentową równą 18%. 

Zauważmy jeszcze, że raty miesięczne również tworzą ciąg arytmetyczny. Jest to zrozumiałe, ponieważ odsetki tworzą ciąg arytmetyczny, zaś rata miesięczna to suma stałej kwoty spłacanego kapitału i odsetek.

Zadanie 3.
Oblicz sumę rat miesięcznych za trzyletni kredyt w wysokości 50000 zł przy stopie procentowej 16% i założeniu, że splacasz go w ratach malejących.

Kredyty o ratach stałych

Załóżmy, że bierzesz z banku pożyczkę w wysokości 3200 zł na 10 miesięcy przy rocznym oprocentowaniu 8%, ale chcesz spłacać kredyt w równych ratach miesięcznych. Wpisz do okienka "Kwota kredytu" liczbę 3200, do okienka "Oprocentowanie roczne" liczbę 8, do okienka "Liczba rat miesięcznych" liczbę 10. Zaznacz kropką "Raty stałe" i nacisnij Enter lub "Oblicz".

Otrzymałeś plan spłaty pożyczki. W pierwszym miesiącu odsetki wynoszą:  3200,00 * 0,6667% = 21,33 zł, gdzie 0,6667 to
. Kwota kredytu spłacanego w tym miesiącu (rata kapitałowa), wynosi 310,52 zł, więc musisz zapłacić: 310,52 + 21,33 = 331,85 zł. Skąd jednak wiadomo, że rata kapitałowa wynosi 310,52 zł?

Otóż, jeśli raty mają być stałe, to taka stała rata musi być procentem składanym raty kapitałowej, czyli:
          rata stała = rata kapitałowa^.(1+p)ⁿ, gdzie p =
.

Z drugiej strony, taka stała rata to rata kapitałowa plus odsetki, czyli:
          rata stała = rata kapitałowa + K^. p, gdzie K to kwota pożyczki.

Mamy więc zależność:  rata kapitałowa^.(1+p)ⁿ = rata kapitałowa + K^. p.
Stąd otrzymujemy wzór na ratę kapitałową:
                    rata kapitałowa =
.
Podstawiając dane z naszego zadania, otrzymujemy:
p =
i  rata kapitałowa wynosi 310,52 zł.

Ratę stałą możemy obliczyć, dodając odsetki do raty kapitałowej. Ogólny wzór ma postać:
               rata stała =
+Kp =
.
Sumę odsetek można obliczyć bez prowadzenia obliczeń dla kolejnych miesięcy. Wystarczy pomnożyć stałą ratę przez liczbę miesięcy i odjąć kwotę pożyczki. W tym przypadku otrzymujemy:
         331,85 ^. 10 - 3200 = 118,50 zł.

Zadanie 4.
Oblicz sumę odsetek od dwuletniego kredytu w wysokości 18000 zł ze stopą procentową równą 18%, spłacanego w ratach stałych. Porównaj wynik z sumą otrzymaną w przypadku, gdy raty są malejące.

Odpowiedzi

1. Układając plan spłaty kredytu, otrzymujemy sumę odsetek 262,50 zł.

2. Odsetki w pierwszym miesiącu wynoszą: (18000^.18/12)/100 = 270 zł. Aby obliczyć odsetki w ostatnim miesiącu, należy pamiętać, że co miesiąc klient spłaca kwotę 18000/24 = 750 zł. Zatem w ostatnim miesiącu odsetki wynoszą: (750^.18/12)/100 = 11,25 zł. Korzystając ze wzoru
, otrzymujemy sumę odsetek: (270 + 11,25)/2^.24 = 3375 zł. Sprawdź to za pomocą programu.

3. Wystarczy obliczyć sumę odsetek i dodać kwotę 50000 zł.
Wynik: 62333,33 zł.

4. p = 3/200; rata stała =
= 898,63; suma odsetek = 24 ^. 898,63 - 18000 = 3567,21. Suma odsetek dla rat malejących wynosiła 3375 zł, a więc raty stałe są trochę mniej opłacalne.

---