Wzór de Moivre'a - z^k=r^k(coskα+isinkα)

Zasadnicze twierdzenie algebry-każdy wielomian o współczynnikach zespolonych

W(z)=a₀zⁿ+a₁z^n-1+...+a_n (a₀,a_1∈C, a_n≠0) posiada pierwiastki zespolone.

Wniosek: wielomian zespolony stopnia n posiada n pierwiastków, a zatem daje się rozłożyć

W(z)=a₀(z-z₁)(z-z₂)...(z-z_n)

Podprzestrzeń - podzbiór V₀⊂V przestrzeni liniowej nazywamy podprzestrzenią ⇔ gdy jest zamknięty względem działań tzn.

1.jeśli v,w∈V₀⇒v+w∈V₀

2.jeśli v∈V₀, λ∈K⇒λ*v∈V₀

Liniowa niezależność- zbiór wektorów v₁...v_nnazywamy liniowo niezależny⇔ dla dowolnych λ₁...λ_n∈K jeśli λ₁v₁+...λ_nv_n=0 to λ₁=...=λ_n=0

Tw. Wektory są liniowo niezależne⇔ jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.

Dowód: ⇒ z założenia istnieje kombinacja λ₁v₁+...λ_nv_n=0, gdzie λ≠0 wówczas λ₁v₁₌ - λ₂v₂ - ...- λ_nv_n/ * 1/λ₁

V₁= - λ₂/λ₁*v_n- ...-λ_n/λ₁*v_n

⇐ niech v₁=λ₂*v₂+...+λ_nv_n wówczas v₁-λ₂*v₂-...-λ_nv_n=0 a to jest kombinacja nie trywialna.

Tw. Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią.

Dowód: oznaczmy {v_α} gdzie α∈A , V_α-podprzestrzeń niech V₀= dla każdego α∈A V_α - część wspólna. Jest to zbiór niepusty bo zawiera 0. Czy V₀ jest podprzestrzenią? . niech v,w ∈V₀ .czy λ₁v+λ₂w∈V_{0 ,} (λ₁,λ₂∈K)? Z założenia dla każdego α,v,w∈V₀⊂V_α , a więc

λ₁v+λ₂w∈V_α. A zatem λ₁v+λ₂w∈ dla każdego α∈A V_α=V₀.

Tw. Wektory a₁....a_n tworzą bazę przestrzeni V ⇔ element przestrzeni w∈V daje się przedstawić jednoznacznie jako kombinacja liniowa tych wektorów.

Dowód: ⇒niech w ∈V z definicji bazy wynika, że istnieje w= α₁a₁+...α_ka_k. jest to jedyny rozkład , bo gdyby istniał inny w=β₁a₁+..+.β_ka_k to odejmując stronami uzyskalibyśmy 0=(α₁-β₁)a₁+...+(α_k-β_k)a_k. A zatem wobec liniowej niezależności wektorów α₁-β₁=α₂-β₂=...=α_k-β_k a więc α₁=β₁, α₂=β₂,...,α_k=β_k.

⇐ wystarczy pokazać, że wektory a₁....a_n są liniowo niezależne. Niech α₁a₁+...α_ka_k=0

ponieważ także 0*a₁+...+0*a_k=0, więc z jednoznaczności rozkładu α₁=...=α_k=0.

Tw. Każde dwie bazy tej samej przestrzeni mają tę sama ilość elementów,

Def. Wymiarem przestrzeni liniowej nazywamy ilość elementów( dowolnej) bazy taj przestrzeni. Oznaczamy dimV. Ex: dimRⁿ=n, wymiar przestrzeni wielomianów stopnia ≤n jest n+1.

Tw. Złożenie dwóch odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym.

Dowód: niech f:V→V^', g:V^'→V^'' będą liniowe. Wówczas gf(av+bw)=g(f(av+bw))=g(a(f(v)+bf(w))=a(gf(v)+b(gf(w)).

Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe⇔Ker(f)=0

Dowód:⇒ jeśli v∈ker(f) to f(v)=0, a więc z różnowartościowości v=0. a zatem tylko 0∈ker(f)

⇐ przypuśćmy , że f(v)=f(w). pokazujemy, że v=w . otóż f(v-w)=f(v)-f(w)=0 . stąd v-w∈ker(f).a zatem v-w=0, daje v=w.

Tw. Dwie przestrzenie v,w są izomorficzne, gdy jest między nimi izomorfizm (tzn. Istnieje między nimi odwzorowanie liniowe , wzajemnie równoznaczne -różnowartościowe I „na”) dimv=dimw.

Tw. Przestrzeń liniowa V wymiaru n zbudowana nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią liniową Kⁿ.

Def. Rzędem odwzorowania liniowego f:v→w nazywamy wymiar obrazu rz(f)=dimf(v)

Tw. DimKer(f)+dimf(V)=dimV

Def. Dana jest macierz [a_ij]n_xn . dopełnieniem algebraicznym elementu a_kl( względem tej macierzy) nazywamy wyznacznik macierzy powstałej poprzez wykreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny, pomnożone przez (-1)^k+l

Def. Każde odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne zbioru X w siebie nazywamy permutacją.

Tw.( rozwinięcie Laplace'a)

Dla macierzy A=[a_ij]n_xn i ustalonych liczb 1≤k, l≤n zachodzą wzory

DetA= a_k1A_k1+a_k2A_K2+...+a_knA_kn - rozwinięcie względem k-tego wiersza

DetA=a_l1A_l1+a_2lA_2l+...+a_nlA_NL- rozwinięcie względem l-tej kolumny.

Tw. A posiada macierz odwrotną ⇔detA≠0.

Tw. Kroneckera-Capelliego

Układ równań liniowych A*X=B ma rozwiązanie⇔ rząd macierzy rozszerzonej jest równy macierzyA. Rz[A:B]=rzA

Dowód: układ jest sprzeczny⇔ w postaci normalnej występuje równanie 0=1, to oznacza, że w postaci normalnej macierzy A jest mniej niezerowych wierszy niż w postaci rozszerzonej macierzy[A:B] rzA<rz[A:B].

Tw. Każda macierz rzeczywista posiada wartość własną zespoloną. Wynika to z zasadniczego twierdzenia algebry.

Tw. Niech f:V→V będzie odwzorowaniem liniowym. jeśli v₁...v_n są wektorami własnymi odpowiadającymi różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne.

Dowód: ( dla n=2) przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=2, niech odwzorowanie liniowe posiada wartości własne λ₁, λ₂ i wektory im odpowiadające v₁,v₂. pokażemy, że te wektory sa liniowo niezależne. Niech a₁v₁+a₂v₂=0, wówczas 0=f(a₁v₁+a₂v₂)=a₁λ₁v₁+a₂λ₂v₂ (*) z drugiej strony 0= λ₂(a₁v₁+a₂v₂)=λ₂a₁v₁+λ₂a₂v₂ (**)

Odejmując stronami uzyskujemy (*)-(**)= a₁v₁(λ₁-λ₂)=0, z założenia v₁,v₂ sa liniowo niezależne, a więc a₁(λ₁-λ₂)=0 ponieważ wobec założenia wartości własne sa różne więc

(λ₁-λ₂)≠0 daje to a₁=0 , a także a₂=0.

Tw. Wielomian charakterystyczny przekształcenia nie zależy od bazy.

Dowód: niech będzie dany w(λ)=det(A-λI), oraz nowa baza i macierz P od jednej bazy do drugiej, to w nowej bazie przekształcenie ma macierz P^-1AP. Z równości det(P^-1AP-λI)=det(P^-1AP-P^-1λP)=det(P^-1(A-λI)A)=detP^-1det(A-λI)detP=(detP)^-1det(A-λI)detP=det(A-λI) wynika niezależność od bazy.

Tw. Wektory parami prostopadłe są liniowo niezależne.

Tw. Kryterium Sylwestera

Macierz symetryczna A stopnia n jest dodatnio określona⇔wszystkie minory główne są dodatnie, nieujemnie określona⇔wszystkie minory główne są nieujemne, ujemnie określona⇔(-1)^kd_k>0 dla każdego k=1,..,n, niedodatnio określona⇔(-1)^kd_k≥0 dla każdego k=1,..,n, nieokreślona⇔(-1)ⁱd_i>0,(-1)^jd_j<0 dla pewnych i,j=1..k.

Tw. Ortogonalizacja Gramma-Schmidta

Niech B=(b₁,..b_k) będzie dowolną bazą przestrzeni euklidesowej, tworzy się bazę C=(c₁^...c_k) w następujący sposób: c₁=b₁. wektor c₂ poszukuje się w postaci c₂=b₂+αc₁ i żąda się , by c₂ było prostopadłe do c₁, czyli <c₂,c₁>= b₂+<αc₁,c₁>=<b₂,c₁>+α< c₁,c₁>=0, stąd wyliczamy α, a następnie c₂. Wektora c₃ poszukujemy w postaci c₃=b₃+β₁c₁+β₂c₂ i żąda się, by c₃ było prostopadłe do c₁ oraz c₃ było prostopadłe do c₂ i postępujemy jak wyżej. Zapoczątkowany proces ortogonalizacji kontynuujemy aż do uzyskania wektora c_k.

Wzór de Moivre'a - z^k=r^k(coskα+isinkα)

Zasadnicze twierdzenie algebry-każdy wielomian o współczynnikach zespolonych

W(z)=a₀zⁿ+a₁z^n-1+...+a_n (a₀,a_1∈C, a_n≠0) posiada pierwiastki zespolone.

Wniosek: wielomian zespolony stopnia n posiada n pierwiastków, a zatem daje się rozłożyć

W(z)=a₀(z-z₁)(z-z₂)...(z-z_n)

Podprzestrzeń - podzbiór V₀⊂V przestrzeni liniowej nazywamy podprzestrzenią ⇔ gdy jest zamknięty względem działań tzn.

1.jeśli v,w∈V₀⇒v+w∈V₀

2.jeśli v∈V₀, λ∈K⇒λ*v∈V₀

Liniowa niezależność- zbiór wektorów v₁...v_nnazywamy liniowo niezależny⇔ dla dowolnych λ₁...λ_n∈K jeśli λ₁v₁+...λ_nv_n=0 to λ₁=...=λ_n=0

Tw. Wektory są liniowo niezależne⇔ jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.

Dowód: ⇒ z założenia istnieje kombinacja λ₁v₁+...λ_nv_n=0, gdzie λ≠0 wówczas λ₁v₁₌ - λ₂v₂ - ...- λ_nv_n/ * 1/λ₁

V₁= - λ₂/λ₁*v_n- ...-λ_n/λ₁*v_n

⇐ niech v₁=λ₂*v₂+...+λ_nv_n wówczas v₁-λ₂*v₂-...-λ_nv_n=0 a to jest kombinacja nie trywialna.

Tw. Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią.

Dowód: oznaczmy {v_α} gdzie α∈A , V_α-podprzestrzeń niech V₀= dla każdego α∈A V_α - część wspólna. Jest to zbiór niepusty bo zawiera 0. Czy V₀ jest podprzestrzenią? . niech v,w ∈V₀ .czy λ₁v+λ₂w∈V_{0 ,} (λ₁,λ₂∈K)? Z założenia dla każdego α,v,w∈V₀⊂V_α , a więc

λ₁v+λ₂w∈V_α. A zatem λ₁v+λ₂w∈ dla każdego α∈A V_α=V₀.

Tw. Wektory a₁....a_n tworzą bazę przestrzeni V ⇔ element przestrzeni w∈V daje się przedstawić jednoznacznie jako kombinacja liniowa tych wektorów.

Dowód: ⇒niech w ∈V z definicji bazy wynika, że istnieje w= α₁a₁+...α_ka_k. jest to jedyny rozkład , bo gdyby istniał inny w=β₁a₁+..+.β_ka_k to odejmując stronami uzyskalibyśmy 0=(α₁-β₁)a₁+...+(α_k-β_k)a_k. A zatem wobec liniowej niezależności wektorów α₁-β₁=α₂-β₂=...=α_k-β_k a więc α₁=β₁, α₂=β₂,...,α_k=β_k.

⇐ wystarczy pokazać, że wektory a₁....a_n są liniowo niezależne. Niech α₁a₁+...α_ka_k=0

ponieważ także 0*a₁+...+0*a_k=0, więc z jednoznaczności rozkładu α₁=...=α_k=0.

Tw. Każde dwie bazy tej samej przestrzeni mają tę sama ilość elementów,

Def. Wymiarem przestrzeni liniowej nazywamy ilość elementów( dowolnej) bazy taj przestrzeni. Oznaczamy dimV. Ex: dimRⁿ=n, wymiar przestrzeni wielomianów stopnia ≤n jest n+1.

Tw. Złożenie dwóch odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym.

Dowód: niech f:V→V^', g:V^'→V^'' będą liniowe. Wówczas gf(av+bw)=g(f(av+bw))=g(a(f(v)+bf(w))=a(gf(v)+b(gf(w)).

Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe⇔Ker(f)=0

Dowód:⇒ jeśli v∈ker(f) to f(v)=0, a więc z różnowartościowości v=0. a zatem tylko 0∈ker(f)

⇐ przypuśćmy , że f(v)=f(w). pokazujemy, że v=w . otóż f(v-w)=f(v)-f(w)=0 . stąd v-w∈ker(f).a zatem v-w=0, daje v=w.

Tw. Dwie przestrzenie v,w są izomorficzne, gdy jest między nimi izomorfizm (tzn. Istnieje między nimi odwzorowanie liniowe , wzajemnie równoznaczne -różnowartościowe I „na”) dimv=dimw.

Tw. Przestrzeń liniowa V wymiaru n zbudowana nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią liniową Kⁿ.

Def. Rzędem odwzorowania liniowego f:v→w nazywamy wymiar obrazu rz(f)=dimf(v)

Tw. DimKer(f)+dimf(V)=dimV

Def. Dana jest macierz [a_ij]n_xn . dopełnieniem algebraicznym elementu a_kl( względem tej macierzy) nazywamy wyznacznik macierzy powstałej poprzez wykreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny, pomnożone przez (-1)^k+l

Def. Każde odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne zbioru X w siebie nazywamy permutacją.

Tw.( rozwinięcie Laplace'a)

Dla macierzy A=[a_ij]n_xn i ustalonych liczb 1≤k, l≤n zachodzą wzory

DetA= a_k1A_k1+a_k2A_K2+...+a_knA_kn - rozwinięcie względem k-tego wiersza

DetA=a_l1A_l1+a_2lA_2l+...+a_nlA_NL- rozwinięcie względem l-tej kolumny.

Tw. A posiada macierz odwrotną ⇔detA≠0.

Tw. Kroneckera-Capelliego

Układ równań liniowych A*X=B ma rozwiązanie⇔ rząd macierzy rozszerzonej jest równy macierzyA. Rz[A:B]=rzA

Dowód: układ jest sprzeczny⇔ w postaci normalnej występuje równanie 0=1, to oznacza, że w postaci normalnej macierzy A jest mniej niezerowych wierszy niż w postaci rozszerzonej macierzy[A:B] rzA<rz[A:B].

Tw. Każda macierz rzeczywista posiada wartość własną zespoloną. Wynika to z zasadniczego twierdzenia algebry.

Tw. Niech f:V→V będzie odwzorowaniem liniowym. jeśli v₁...v_n są wektorami własnymi odpowiadającymi różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne.

Dowód: ( dla n=2) przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=2, niech odwzorowanie liniowe posiada wartości własne λ₁, λ₂ i wektory im odpowiadające v₁,v₂. pokażemy, że te wektory sa liniowo niezależne. Niech a₁v₁+a₂v₂=0, wówczas 0=f(a₁v₁+a₂v₂)=a₁λ₁v₁+a₂λ₂v₂ (*) z drugiej strony 0= λ₂(a₁v₁+a₂v₂)=λ₂a₁v₁+λ₂a₂v₂ (**)

Odejmując stronami uzyskujemy (*)-(**)= a₁v₁(λ₁-λ₂)=0, z założenia v₁,v₂ sa liniowo niezależne, a więc a₁(λ₁-λ₂)=0 ponieważ wobec założenia wartości własne sa różne więc

(λ₁-λ₂)≠0 daje to a₁=0 , a także a₂=0.

Tw. Wielomian charakterystyczny przekształcenia nie zależy od bazy.

Dowód: niech będzie dany w(λ)=det(A-λI), oraz nowa baza i macierz P od jednej bazy do drugiej, to w nowej bazie przekształcenie ma macierz P^-1AP. Z równości det(P^-1AP-λI)=det(P^-1AP-P^-1λP)=det(P^-1(A-λI)A)=detP^-1det(A-λI)detP=(detP)^-1det(A-λI)detP=det(A-λI) wynika niezależność od bazy.

Tw. Wektory parami prostopadłe są liniowo niezależne.

Tw. Kryterium Sylwestera

Macierz symetryczna A stopnia n jest dodatnio określona⇔wszystkie minory główne są dodatnie, nieujemnie określona⇔wszystkie minory główne są nieujemne, ujemnie określona⇔(-1)^kd_k>0 dla każdego k=1,..,n, niedodatnio określona⇔(-1)^kd_k≥0 dla każdego k=1,..,n, nieokreślona⇔(-1)ⁱd_i>0,(-1)^jd_j<0 dla pewnych i,j=1..k.

Tw. Ortogonalizacja Gramma-Schmidta

Niech B=(b₁,..b_k) będzie dowolną bazą przestrzeni euklidesowej, tworzy się bazę C=(c₁^...c_k) w następujący sposób: c₁=b₁. wektor c₂ poszukuje się w postaci c₂=b₂+αc₁ i żąda się , by c₂ było prostopadłe do c₁, czyli <c₂,c₁>= b₂+<αc₁,c₁>=<b₂,c₁>+α< c₁,c₁>=0, stąd wyliczamy α, a następnie c₂. Wektora c₃ poszukujemy w postaci c₃=b₃+β₁c₁+β₂c₂ i żąda się, by c₃ było prostopadłe do c₁ oraz c₃ było prostopadłe do c₂ i postępujemy jak wyżej. Zapoczątkowany proces ortogonalizacji kontynuujemy aż do uzyskania wektora c_k.

Wzór de Moivre'a - z^k=r^k(coskα+isinkα)

Zasadnicze twierdzenie algebry-każdy wielomian o współczynnikach zespolonych

W(z)=a₀zⁿ+a₁z^n-1+...+a_n (a₀,a_1∈C, a_n≠0) posiada pierwiastki zespolone.

Wniosek: wielomian zespolony stopnia n posiada n pierwiastków, a zatem daje się rozłożyć

W(z)=a₀(z-z₁)(z-z₂)...(z-z_n)

Podprzestrzeń - podzbiór V₀⊂V przestrzeni liniowej nazywamy podprzestrzenią ⇔ gdy jest zamknięty względem działań tzn.

1.jeśli v,w∈V₀⇒v+w∈V₀

2.jeśli v∈V₀, λ∈K⇒λ*v∈V₀

Liniowa niezależność- zbiór wektorów v₁...v_nnazywamy liniowo niezależny⇔ dla dowolnych λ₁...λ_n∈K jeśli λ₁v₁+...λ_nv_n=0 to λ₁=...=λ_n=0

Tw. Wektory są liniowo niezależne⇔ jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.

Dowód: ⇒ z założenia istnieje kombinacja λ₁v₁+...λ_nv_n=0, gdzie λ≠0 wówczas λ₁v₁₌ - λ₂v₂ - ...- λ_nv_n/ * 1/λ₁

V₁= - λ₂/λ₁*v_n- ...-λ_n/λ₁*v_n

⇐ niech v₁=λ₂*v₂+...+λ_nv_n wówczas v₁-λ₂*v₂-...-λ_nv_n=0 a to jest kombinacja nie trywialna.

Tw. Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią.

Dowód: oznaczmy {v_α} gdzie α∈A , V_α-podprzestrzeń niech V₀= dla każdego α∈A V_α - część wspólna. Jest to zbiór niepusty bo zawiera 0. Czy V₀ jest podprzestrzenią? . niech v,w ∈V₀ .czy λ₁v+λ₂w∈V_{0 ,} (λ₁,λ₂∈K)? Z założenia dla każdego α,v,w∈V₀⊂V_α , a więc

λ₁v+λ₂w∈V_α. A zatem λ₁v+λ₂w∈ dla każdego α∈A V_α=V₀.

Tw. Wektory a₁....a_n tworzą bazę przestrzeni V ⇔ element przestrzeni w∈V daje się przedstawić jednoznacznie jako kombinacja liniowa tych wektorów.

Dowód: ⇒niech w ∈V z definicji bazy wynika, że istnieje w= α₁a₁+...α_ka_k. jest to jedyny rozkład , bo gdyby istniał inny w=β₁a₁+..+.β_ka_k to odejmując stronami uzyskalibyśmy 0=(α₁-β₁)a₁+...+(α_k-β_k)a_k. A zatem wobec liniowej niezależności wektorów α₁-β₁=α₂-β₂=...=α_k-β_k a więc α₁=β₁, α₂=β₂,...,α_k=β_k.

⇐ wystarczy pokazać, że wektory a₁....a_n są liniowo niezależne. Niech α₁a₁+...α_ka_k=0

ponieważ także 0*a₁+...+0*a_k=0, więc z jednoznaczności rozkładu α₁=...=α_k=0.

Tw. Każde dwie bazy tej samej przestrzeni mają tę sama ilość elementów,

Def. Wymiarem przestrzeni liniowej nazywamy ilość elementów( dowolnej) bazy taj przestrzeni. Oznaczamy dimV. Ex: dimRⁿ=n, wymiar przestrzeni wielomianów stopnia ≤n jest n+1.

Tw. Złożenie dwóch odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym.

Dowód: niech f:V→V^', g:V^'→V^'' będą liniowe. Wówczas gf(av+bw)=g(f(av+bw))=g(a(f(v)+bf(w))=a(gf(v)+b(gf(w)).

Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe⇔Ker(f)=0

Dowód:⇒ jeśli v∈ker(f) to f(v)=0, a więc z różnowartościowości v=0. a zatem tylko 0∈ker(f)

⇐ przypuśćmy , że f(v)=f(w). pokazujemy, że v=w . otóż f(v-w)=f(v)-f(w)=0 . stąd v-w∈ker(f).a zatem v-w=0, daje v=w.

Tw. Dwie przestrzenie v,w są izomorficzne, gdy jest między nimi izomorfizm (tzn. Istnieje między nimi odwzorowanie liniowe , wzajemnie równoznaczne -różnowartościowe I „na”) dimv=dimw.

Tw. Przestrzeń liniowa V wymiaru n zbudowana nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią liniową Kⁿ.

Def. Rzędem odwzorowania liniowego f:v→w nazywamy wymiar obrazu rz(f)=dimf(v)

Tw. DimKer(f)+dimf(V)=dimV

Def. Dana jest macierz [a_ij]n_xn . dopełnieniem algebraicznym elementu a_kl( względem tej macierzy) nazywamy wyznacznik macierzy powstałej poprzez wykreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny, pomnożone przez (-1)^k+l

Def. Każde odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne zbioru X w siebie nazywamy permutacją.

Tw.( rozwinięcie Laplace'a)

Dla macierzy A=[a_ij]n_xn i ustalonych liczb 1≤k, l≤n zachodzą wzory

DetA= a_k1A_k1+a_k2A_K2+...+a_knA_kn - rozwinięcie względem k-tego wiersza

DetA=a_l1A_l1+a_2lA_2l+...+a_nlA_NL- rozwinięcie względem l-tej kolumny.

Tw. A posiada macierz odwrotną ⇔detA≠0.

Tw. Kroneckera-Capelliego

Układ równań liniowych A*X=B ma rozwiązanie⇔ rząd macierzy rozszerzonej jest równy macierzyA. Rz[A:B]=rzA

Dowód: układ jest sprzeczny⇔ w postaci normalnej występuje równanie 0=1, to oznacza, że w postaci normalnej macierzy A jest mniej niezerowych wierszy niż w postaci rozszerzonej macierzy[A:B] rzA<rz[A:B].

Tw. Każda macierz rzeczywista posiada wartość własną zespoloną. Wynika to z zasadniczego twierdzenia algebry.

Tw. Niech f:V→V będzie odwzorowaniem liniowym. jeśli v₁...v_n są wektorami własnymi odpowiadającymi różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne.

Dowód: ( dla n=2) przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=2, niech odwzorowanie liniowe posiada wartości własne λ₁, λ₂ i wektory im odpowiadające v₁,v₂. pokażemy, że te wektory sa liniowo niezależne. Niech a₁v₁+a₂v₂=0, wówczas 0=f(a₁v₁+a₂v₂)=a₁λ₁v₁+a₂λ₂v₂ (*) z drugiej strony 0= λ₂(a₁v₁+a₂v₂)=λ₂a₁v₁+λ₂a₂v₂ (**)

Odejmując stronami uzyskujemy (*)-(**)= a₁v₁(λ₁-λ₂)=0, z założenia v₁,v₂ sa liniowo niezależne, a więc a₁(λ₁-λ₂)=0 ponieważ wobec założenia wartości własne sa różne więc

(λ₁-λ₂)≠0 daje to a₁=0 , a także a₂=0.

Tw. Wielomian charakterystyczny przekształcenia nie zależy od bazy.

Dowód: niech będzie dany w(λ)=det(A-λI), oraz nowa baza i macierz P od jednej bazy do drugiej, to w nowej bazie przekształcenie ma macierz P^-1AP. Z równości det(P^-1AP-λI)=det(P^-1AP-P^-1λP)=det(P^-1(A-λI)A)=detP^-1det(A-λI)detP=(detP)^-1det(A-λI)detP=det(A-λI) wynika niezależność od bazy.

Tw. Wektory parami prostopadłe są liniowo niezależne.

Tw. Kryterium Sylwestera

Macierz symetryczna A stopnia n jest dodatnio określona⇔wszystkie minory główne są dodatnie, nieujemnie określona⇔wszystkie minory główne są nieujemne, ujemnie określona⇔(-1)^kd_k>0 dla każdego k=1,..,n, niedodatnio określona⇔(-1)^kd_k≥0 dla każdego k=1,..,n, nieokreślona⇔(-1)ⁱd_i>0,(-1)^jd_j<0 dla pewnych i,j=1..k.

Tw. Ortogonalizacja Gramma-Schmidta

Niech B=(b₁,..b_k) będzie dowolną bazą przestrzeni euklidesowej, tworzy się bazę C=(c₁^...c_k) w następujący sposób: c₁=b₁. wektor c₂ poszukuje się w postaci c₂=b₂+αc₁ i żąda się , by c₂ było prostopadłe do c₁, czyli <c₂,c₁>= b₂+<αc₁,c₁>=<b₂,c₁>+α< c₁,c₁>=0, stąd wyliczamy α, a następnie c₂. Wektora c₃ poszukujemy w postaci c₃=b₃+β₁c₁+β₂c₂ i żąda się, by c₃ było prostopadłe do c₁ oraz c₃ było prostopadłe do c₂ i postępujemy jak wyżej. Zapoczątkowany proces ortogonalizacji kontynuujemy aż do uzyskania wektora c_k.

---