1.1 ZASADA STATYKI A) zasada pierwsza (zasada równoległoboku) Dowolne 2 siły P1 i P2 przyłożone do jednego pkt., zastąpić możemy siła wypadkową R przyłożoną do tegoż pkt. I przedstawioną jako wektor będący przekątną równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sił (rys,1.4). Łączne działanie sił P1 i P2 oraz ich wartości liczbowe to wartość liczbową wypadkowej R ze wzoru R= √P1^{2 +} P2² + 2P₂ P₁ cosφ.

b)zasada druga. Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się wtedy gdy działają wzdłuż jednej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe (rys.1.6) przedstawia 2 siły przyłożone do pkt. A i B pewnego ciała i działających wzdłuż prostej AB. Aby się te siły równoważyły, musi być spełniona zależność P' = P.

c)zasada trzecia. Działanie układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie , gdy do układu tego dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił czyli tzw. układ zerowy. Z zasady tej wynika, ze do ciała sztywnego możemy zawsze przyłożyć 2 równe co do wartości liczbowej i przeciwnie skierowanej siły, działającej wzdłuż jednej linii prostej. (rys.1.8) Do dowolnego pkt. B leżącego na linii działania tej siły przyłożymy 2 równoważące siły P i P'.

d) zasada 4 (zasada zesztywnienia). Równowaga sił działających na ciało odkształcone nie zostanie naruszone przez zesztywnienie tego ciała. Warunkiem równowagi jakie musza spełniać siły działające na ciało sztywne obowiązują dla odkształconego.

e) zasada 5 (zasada działania i przeciwdziałania) Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie. (rys.1.9). Z powyższej zasady wynika, że siły R i R' mają równe wartości liczbowe, tj. R=R', działają wzdłuż jednej prostej i są przeciwnie skierowane czyli R' =R.

f) zasada 6 (zasada oswobodzenia od więzów). Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami. Dalej rozpatrywać można ciało tak jak ciało swobodne, podlegające działaniu sił czynnych oraz reakcji więzów.

1.2. WIĘZY I ICH REAKCJE (rys.1.12) W pkt. zetknięcia się danego ciała z tą powierzchnią na ciało działa reakcja R ,która możemy rozłożyć na 2 składowe: N- normalna do powierzchni styku oraz składową styczną (tarcia) T. A) przegub walcowy. (rys.1.13) Ciało jest osadzone na walcowym sworzniu przechodzącym przez kołowy otwór wykonany w tym ciele. Przy pominięciu siły tarcia, reakcja R sworznia na ciało będzie miała kierunek normalny do powierzchni styku i wobec tego linia jej działania będzie przechodziła przez os sworznia, czyli na rynku przez pkt.0. b) przebieg kulisty 9rys. 1.14) pręt ma zakończenia wykonane w kształcie kuli, która osadzona jest w kulistym łożysku. W przypadku, gdy tak jak poprzednio przechodzi przez środek kuli będącej zakończeniem pręta. C)Podpora przesuwna (rolkowa) (rys.1.15) jest to belka AB podparta przegubowo na końcu A, natomiast na końcu B opierającą się na podporze zaopatrzonej w rolki. Rolki te mogą toczyć się po poziomej płaszczyźnie. Ponieważ opór przy przesuwaniu takiej podpory jest bardzo mała. D)Reakcja cięgna, gdy ciało materialne jest zawieszone na nieważkim i doskonale wiotkim, czyli nie stawiającym oporu zginaniu, cięgnie (tj. nici, linie itp.) reakcje cięgna na ciało skierowane jest wzdłuż tego cięgna. Ciało o ciężarze „G” zawieszone na cięgnie AB. Na rysunku tym S oznacza reakcję cięgna na ciało, skierowaną właśnie wzdłuż cięgna.

2.TWIERDZENIE VARGINIONA. Moment względem dowolnego pkt.0 wypadkowej dwu sił równy jest sumie momentów tych sił względem tegoż pkt.0. dla dowolnego płaskiego układu sił zbieżnych P₁ P₂, ...P_n. Stosując je bowiem najpierw do wypadkowej sił P1 i P2 następnie do wypadkowej siły P3 oraz poprzednio znalezionej wypadkowej itd. znajdujemy moment względem dowolnego pkt. 0 wypadkowej całego układu równy jest sumie momentów sił P1,P2 ... Pn. n a podstawie tego tw. Możemy wyznaczyć moment siły P gdy znane są współrzędne jej pkt. Przyłożenia w prostokątnym układzie Oxy oraz składowe Px i Py tej siły (rys.2.34) przedstawiona jest siła P przyłożona do pkt.A o współrzędnych x,y. Siłę P możemy traktować jako wypadkową dwu sił iPx oraz jPy równoległych do osi układu współrzędnych: P= iPx +jPy . Obliczając moment sily P jako równy momentowi sił iPx oraz jPy, których ramiona względem pkt. 0 sa równe y i x ; M0=Pyx - Pxy.

R= i=nΣi=1 Pi.

3.1. PARA SIŁ (rys.3.4) przedstawia dwie równolegle i przeciwnie skierowane siły P i P' o równych wartościach liczbowych: P'=P, P'=-P takie siły nazywamy ,,para sil,,. Pary sił nie mają wypadkowej, ale i nie równoważą się, gdyż nie działają wzdłuż jednej prostej. Para sił działająca na ciało materialne wywołuje jego obrót. Odległość między tymi parami nosi nazwę ramienia pary sił

3.2.MOMENT PARY SIŁ JESY JEDNAKOWY WZGLĘDEM DOWOLNEGO PKT.NA PŁASZCZYZNIE. (rys.4.1) Dana siła P przyłożona do pkt. A ciała sztywnego. Do dowolnego pkt. 0 tego ciała przyłożymy 2 równe co do wart. I przeciwnie skierowane siły P iP' = -P. siła P' tworzy z siła P przyłożoną do pkt. A parę sił momencie M=Ph, gdzie h jest odległością. Od pkt 0 prostej i, wzdłuż której działa dana siła P. Ponieważ jest jednocześnie ramieniem względem pkt.0 siły P przyłożonej do pkt.A , moment otrzymanej pary sił jest równy momentowi tej siły względem obranego pkt.0. M= M0=Ph, Mo to moment miarę momentu siły względem pkt.0. Udowadnia to twierdzenie: Siłę przyłożoną do pkt. A ciała sztywnego możemy zastąpić równą jej siłą przyłożoną do dowolnego pkt. 0 tegoż ciała, dodając jednocześnie parę sił o momencie równym momentowi danej siły względem pkt.0.

4.TWIERDZENIE O TRZECH SIŁACH Są dane 3 siły P1, P2, P3 przyłożone do pkt. ABC pewnego ciała sztywnego są w równowadze, a linie działania tych sił lezą w jednej płaszczyźnie i nie są do siebie równolegle. Linie działania sił P2i P3 przecinają się w pkt. O (rys.2.13) i zastąpić wypadkową R'=P2 +P3, na ciało działają teraz 2 siły R' i P1 które musza być równe co do wartości liczbowych, a przeciwne co do kierunku i muszą działać wzdłuż jednej prostej. Linia działania siły P1 musi przechodzić także przez pkt. 0, w którym przecinają się linie działania siły P2, P3. Wielobok sil zbudowany z wektorów przedstawiającym siły P1, P2, P3 musi być trójkątem zamkniętym. TWIERDZENIE: Aby 3 nierównoległe do siebie siły działające na ciało sztywne były w równowadze, linie działania tych sil muszą przecinać się w jednym pkt., a same siły muszą tworzyć trójkąt zamknięty.

5.ZASADY TARCIA 1.Siła tarcia jest niezależnie od wielkości stykających się ze sobą się ze sobą powierzchni i zależy jedynie od ich rodzaju.2.Wielkosc siły tarcia dla ciała znajdującego się w spoczynku może się zmieniać od zera do maksymalnej wartości proporcjonalnej do całkowitego nacisku normalnego. 3.TARCIE POSLIZGOWE. W przypadku, gdy ciało ślizga się po pewnej powierzchni, siła tarcia jest skierowana zawsze przeciwnie do kierunku ruchu, wielkość jej zaś nie zależy w przybliżeniu od prędkości poślizgu. W tym przypadku siła tarcia jest jednak mniejsza od maksymalnej wartości, jaka może ona osiągnąć, gdy ciało jest w spoczynku. Na podstawie tych praw możemy ustalić zależność miedzy siłami tarcia.rys.4.32) Aby krążek nie zaczął się ślizgać, musi być spełniony warunek: P< \ μN =μ G. Ponieważ równowaga krążka jest możliwa tylko wtedy, gdy P nie przekroczy pewnej granicznej wartości. Z równania Ma (N0 = Pr) wynika, że moment reakcji N względem pkt.A nie może wzrastać nieograniczenie i może osiągnąć tylko pewną określoną max wartość. Oznaczając przez ƒ ramię siły N względem pkt.A w przypadku granicznym. Współczynnik ƒ to współczynnik oporu przy toczeniu, przedstawia on ramie siły. Znajdujemy warunek, który musi być spełniony, aby rozpatrywany krążek nie zaczął się toczyć: Pr<\ M _A max = N ƒ; P<\ G ƒ/r.

7.WARUNKI RÓWNOWAGI PŁASKIEGO DOWOLNEGO UKŁADU SIŁ. PŁASKI UKŁAD SIŁ ZBIEŻNYCH-Aby plaski układ sił zbieżnych znajdował się w równowadze muszą równać się 0, a wiec wtedy, gdy wielobok zbudowany z tych sił jest wielobokiem zamkniętym. (rys.2.4) Aby siły zbieżne P1, P2, ...Pn, działające w jednej płaszczyźnie znajdowały się w równowadze, wielobok z nich zbudowany, czyli wielobok sił, musi być wielobokiem zamkniętym. P1+P2+..+Pn=Σpi=0

8.OKREŚLIĆ POJĘCIE ,,MOMENTU SIŁY WZGLĘDEM OSI,, jest to wielkość będąca miarą działania obrotowego siły względem osi.. Niech będzie dana siła P przyłożona w pkt.A oraz oś, którą oznaczymy przez (rys.7.19) dowolny pkt.O osi i przeprowadzimy płaszczyznę II prostopadłą do tej osi, spuszczając z początku i końca wektora P tj. z pktow A i B prostopadle na płaszczyznę II, znajdujemy rzut danej siły na tę płaszczyznę, który oznaczamy przez P'. Moment siły P względem osi „z”, to moment rzutu P' danej siły na płaszczyznę prostopadłą do tej osi względem pktu O, w którym oś „z” przebija wspomnianą płaszczyznę. Moment siły P jest skierowany wzdłuż osi „z”, przez to dla jego określenia wystarczy podanie jego miary względem tej osi Mz= ±P'h', h'- ramie rzutu P'. Moment siły względem osi równy jest 0, gdy rzut siły na płaszczyznę prostopadłą do osi jest równy 0 (P'=0) lub też, gdy ramie tego rzutu względem pkt.O jest równe 0. W pierwszym przypadku siła P jest równoległą do osi, w drugim zaś jej linia działania przecina oś.

9.WARUNKI RÓWNOWAGI PRZESTRZENNEGO UKŁADU SIŁ ZBIEŻNYCH. Siły muszą tworzyć zamknięty wielobok, co oznacza, ze przy ich geometrycznym sumowaniu koniec ostatniego wektora powinien pokryć się z początkiem pierwszego. Gdy wypadkowa R układu sił zbieżnych ma być równa 0, jej rzuty na osie układu współrzędnych muszą być równe 0, stąd otrzymujemy 3 równania równowagi: i=nΣi=1 Pix=0 ; i=nΣi=1 Piy=0 ; i=nΣi=1 Piz=0. Z tego wynika, że aby zagadnienie dotyczące równowagi sił przyłożonych do jednego pkt.I, o liniach działania nie leżących w jednej płaszczyźnie było statycznie wyznaczalne, liczba niewiadoma musi wynosić 3, gdyż tyle mamy równań do ich wyznaczenia. Gdy wypadkowa R tych sił jest=0, rzut jej na każdą oś =0. Z tego wynika, że możemy rzutować na dowolne 3 nierównolegle do jednej płaszczyzny osie i nie musimy ograniczać się tylko do osi wzajemnie prostopadłych.

10.WYZNACZENIE WYPADKOWEJ UKŁADU SIŁ RÓWNOLEGŁYCH. Do np. pkt.A i B przykładamy dwie równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej siły S i S'. Zastępujemy siły P1 i S wypadkową R oraz siły P2 i S' wypadkową R2. Przesuwamy następnie siły R1 i R2 wzdłuż ich linii działania do pkt. przecięcia się tych linii i zastępujemy wypadkową R=R1+R2=P1+P2. Wypadkowa R skierowana jest zgodnie z siła o większej wartości, tj. w danym przypadku zgodnie z siła P. Dwie równolegle i przeciwnie skierowane siły P1 i P2 przyłożone do pktow A i B ciała sztywnego możemy zastąpić równoległą do nich wypadkową R skierowaną zgodnie z siłą o większej wartości liczbowej. Linia działania tej wypadkowej dzieli zewnętrznie odcinek AB w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do wartości sił przyłożonych w pkcie A i B i leży po stronie większej siły. Wartość liczbowa wypadkowej R równa jest różnicy wartości liczbowych danych sil.

11.Wyznaczenie położenia środka ciężkości brył, powierzchni, linii. A)bryły geometrycznej. Załóżmy, ze ciężar właściwy „y” jest stały dla wszystkich pktow rozpatrywanego ciała materialnego.

V oznacza całkowitą objętość danego ciała. Położenie środka ciężkości zależy teraz tylko od geometrycznego kształtu ciała i nie zależy od jego ciężaru właściwego. B)powierzchni jeżeli ,,oi,, oznaczymy ciężar jednostki pola powierzchni powłoki to ciężar jej elementu o polu powierzchni ∆ Fi (rys.9.9) to ∆ Gi G i =oi ∆Fi,,

upraszczają się do: xc = ∫_F x dF / F tak samo dla Yc i Zc, przy czym F to całkowite pole powierzchni powłoki. A położenie pkt.C zależy od kształtu geometrycznego tej powierzchni, pkt. ten to środek ciężkości powierzchni.

c)linii. Niech dana będzie linia AB, przedstawiająca np. oś drutu (rys.9.11), oznaczając przez „gi” ciężar odniesiony do jednostki długości osi drutu, możemy to wyrazić w następujący sposób: ∆gi = gi ∆li, gdzie ∆li to długość elementu mierzonego wzdłuż linii AB

12.ŚRODEK CIEŻKOSCI ŁUKU KOŁA. Xc = ∫ _l xdl / l a dla rozpatrywanego przypadku l = 2 r α (długość łuku AB), dl= r d φ, x= r cos φ . Po podstawieniu do wzoru xc to: xc = r - α (na górze)

aby wyznaczyć odciętą środka ciężkości łuku półkola, należy przyjąć α = Л /2. Znajdujemy wówczas xc = 2r / Л.

13.TWIERDZENIE GULDINA-PAPUSSA. A) pierwsze -Pole powierzchni powstałej wskutek obrotu płaskiej linii dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej równe jest długości linii pomnożonej przez długość okręgu, który opisuje jej środek ciężkości. Niech dana będzie linia AB leżąca w płaszczyźnie Oxy (rys. 9.39), przy czym oś Oy jest osią dookoła której dokonuje się obrotu linii. Pole powierzchni powstałej na skutek tego obrotu wynosi f = 2 Л ∫ _AB xdl. Współrzędna xc środka ciężkości linii AB określona jest: xc = ∫ _AB xdl / l ; gdzie l oznacza długości linii ∫ _AB xdl = xc l ; F= 2 Л xc l. B)drugie- obj. Bryły, powstałej wskutek obrotu figury płaskiej dookoła osi leżącej w jej płaszczyźnie i nieprzecinającej tej figury, równa się polu powierzchni figury pomnożonej przez długość okręgu, który opisuje jej środek ciężkości. (rys.9.40) Objętość bryły powstałej w skutek obrotu figury dookoła osi Oy jest rowna: V = 2 Л ∫ x dF przy czy całkowicie rozciągnięta jest cała powierzchnia figury. Środek ciężkości C rozpatrywanej figury ma współrzędna xc określana:

xc = ∫ _F xd F/ F ; stad ∫ _F xd F = xcF po podstawieniu: V = 2 Л xc F.

---