Kinematyka punktu
Wektor położenia punktu (w chwili ):
Wektor prędkości punktu:
Wektor przyśpieszenia punktu:
Wartość bezwzględna prędkości punktu:
Droga przebyta w przedziale czasu [0,]:
Wzory Serreta-Freneta: jednostkowy wektor styczny
Wektor normalny do toru
Krzywizna toru
Promień krzywizny toru
Jednostkowy wektor normalny
Wektor binormalny
Przyśpieszenie styczne
Przyśpieszenie normalne
Twierdzenie o rozkładzie przyśpieszenia punktu
Dowód: Ze wzoru na jednostkowy wektor styczny wynika
co po zróżniczkowaniu względem czasu daje
.
Ze wzoru na jednostkowy wektor normalny mamy
.
Zatem
Kinematyka bryły nieodkształcalnej
Twierdzenie o rzutach prędkości punktów bryły
Różnica prędkości dowolnych dwu punktów bryły nieodkształcalnej jest prostopadła do osi przechodzącej przez te punkty.
Rzuty prędkości dowolnych dwu punktów bryły nieodkształcalnej na oś przechodzącą przez te punkty są sobie równe.
Dowód: Niech
i
będą położeniami dwu punktów bryły w danej chwili czasu. Z definicji nieodkształcalności wynika, że ich odległość jest stała w czasie. Zatem różnica ich położeń
ma stałą długość, a zatem również stały jest iloczyn skalarny
(bo jest kwadratem tej długości).
Różniczkowanie po czasie daje zatem
.
co oznacza, że wektory
oraz
są do siebie prostopadłe.
Wnioskujemy również, że
Lokalny układ współrzędnych
Wprowadźmy kartezjański układ współrzędnych
na stałe związany z rozpatrywaną bryłą. Dla odróżnienia nazywać go będziemy lokalnym układem współrzędnych. Założymy, że ma on taką samą skrętność jak układ globalny.
Nieodkształcalność bryły oznacza, że współrzędne lokalne punktów bryły są stałe względem czasu.
Oznaczając wersory układu lokalnego przez
możemy globalne położenie punktu bryły wyrazić wzorem
gdzie
oznacza globalne położenie zera lokalnego układu, a
są lokalnymi współrzędnymi rozpatrywanego punktu.
Zatem do opisu ruchu bryły wystarczy zadać ruch zera lokalnego układu współrzędnych, oraz zmienność w czasie wersorów układu lokalnego.
Kąty Eulera
Euler wykazał, że do opisu konfiguracji wersorów układu lokalnego wystarczają trzy kąty, zwane kątami Eulera.
Wektor prędkości kątowej bryły
Oznaczając wersory układu lokalnego przez
zdefiniujemy wektor prędkości kątowej bryły jako
.
Poszczególne składowe wektora prędkości kątowej reprezentują prędkości obrotu względem poszczególnych osi układu:
i analogicznie dla pozostałych składowych wektora prędkości kątowej
Z powyższych wzorów wynika następująca reprezentacja pochodnych czasowych wersorów lokalnych przez składowe wektora prędkości kątowej
,
,
.
Zauważmy, że
.
Zatem
,
,
.
Prędkości punktów bryły
Wykazaliśmy uprzednio, że globalne położenie dowolnego punktu można wyrazić wzorem
Wobec stałości współrzędnych lokalnych różniczkowanie względem czasu daje
Wyrażając pochodne czasowe wersorów za pomocą wektora prędkości kątowej otrzymujemy
.
Zmiana lokalnego układu współrzędnych
Udowodnimy, że wektor prędkości kątowej bryły nie zależy od wyboru lokalnego układu współrzędnych.
Dowód: Niech
będzie nowym lokalnym układem współrzędnych o środku 0' i z wersorami
.
Stosując wzór
dla środka nowego układu 0' oraz końca wersora
otrzymujemy
Ich różnica daje
Podobne wzory zachodzą dla prędkości pozostałych nowych wersorów
Zatem prędkość kątowa obliczana według nowego układu lokalnego wynosi
Wykorzystując tożsamość
otrzymujemy
Przyśpieszenia punktów bryły
Uprzednio wykazaliśmy, że prędkość dowolnego punktu bryły wyraża się wzorem
gdzie:
- jest prędkością rozpatrywanego punktu,
- prędkością zera lokalnego układu współrzędnych,
- wektorem prędkości kątowej bryły a
- wektorem położenia rozpatrywanego punktu bryły względem zera lokalnego układu współrzędnych.
Różniczkowanie względem czasu powyższego wzoru pozwala na obliczenie przyśpieszenia dowolnego punktu bryły według wzoru
gdzie:
- jest przyśpieszeniem zera lokalnego układu współrzędnych, natomiast
jest nazywane wektorem (pseudowektorem) przyśpieszenia kątowego bryły.
Przyśpieszenie obrotowe i dośrodkowe
Wyprowadzony wzór na przyśpieszenie punktu bryły
przedstawiamy w postaci
gdzie:
nazywane jest przyśpieszeniem obrotowym, a
przyśpieszeniem dośrodkowym.
Zauważmy, że z tożsamości
wynika
Ponieważ
jest rzutem
na
to
jest rzutem
na płaszczyznę prostopadłą do
. Zatem przyspieszenie dośrodkowe jest proporcjonalne do kwadratu prędkości katowej i odległości od osi
i jest skierowane prostopadle do osi
w stronę tej osi.
Uwaga: Na ogół przyśpieszenie obrotowe nie jest styczne do toru punktu a przyśpieszenie dośrodkowe nie jest normalne do toru.
Ruch postępowy bryły
Z definicji ruch postępowy bryły jest przypadkiem szczególnym, w którym w każdej chwili prędkości wszystkich punktów są identyczne. Ze wzoru
wnioskujemy zatem, że wtedy dla każdego
zachodzi
co oznacza, że dla każdej chwili
.
W konsekwencji, w ruchu postępowym wersory lokalnego układu współrzędnych są stałe względem czasu, a wektorem przyśpieszenia kątowego bryły jest zerowy. Ponadto, wtedy przyśpieszenia wszystkich punktów bryły są identyczne.
Ruch kulisty bryły
Ruch kulisty bryły jest takim przypadkiem, w którym bryła ma punkt nieruchomy. Wybierając go jako zero lokalnego układu współrzędnych mamy wtedy następujące wzory na położenie prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły
,
,
.
W ruchu kulistym każdy punkt porusza sie po powierzchni kuli.
Precesja regularna bryły
Precesją regularną bryły nazywamy przypadek szczególny ruchu kulistego, w którym prędkości precesji i obrotu właściwego są stałe, a kąt nutacji jest stały.
Zatem kąty Eulera można wtedy przedstawić w postaci
gdzie:
- jest stałą prędkością precesji, a
- jest stałą prędkością obrotu właściwego.
Obliczenia dają następujące wartości składowych wektora prędkości kątowej bryły
w lokalnym układzie współrzędnych, oraz
we współrzędnych globalnych. Dla wektora przyśpieszenia kątowego mamy
Widać, że wektor prędkości kątowej ma wtedy stałą długość i wiruje wokół osi pionowej z prędkością precesji.
Ta sama uwaga dotyczy wektora przyśpieszenia kątowego.
Ponadto wektor przyśpieszenia kątowego jest prostopadły do wektora prędkości kątowej.
Ruch obrotowy bryły
W ruchu obrotowym bryły dwa punkty bryły pozostają stale nieruchome.
Osią obrotu nazywamy wtedy oś przechodzącą przez takie dwa punkty. Punkty osi obrotu są nieruchome.
Ruch obrotowy jest przypadkiem szczegolnym ruchu kulistego.
Wybierając punkt należący do osi obrotu jako zero lokalnego układu współrzędnych mamy wtedy następujące wzory na położenie, prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły
,
,
.
Wektor prędkości kątowej oraz wektor przyspieszenia kątowego są równoległe do osi obrotu.
Do opisu ruchu obrotowego wystarcza podanie osi obrotu oraz kąta obrotu
.
Zachodzą wzory
,
.
Ruch śrubowy bryły
Złożenie ruchu obrotowego wokół pewnej osi z ruchem postępowym wzdłuż tej osi nazywamy ruchem śrubowym. Punkty tej osi mają prędkość równoległą do tej osi.
Wybierając punkt należący do tej osi jako zero lokalnego układu współrzędnych mamy wtedy następujące wzory na położenie prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły
,
,
.
Wówczas wektory prędkości
i przyspieszenia
zera lokalnego układu współrzędnych oraz wektory prędkości kątowej
oraz przyśpieszenia kątowego
są równoległe do tej osi.
Oś centralna
Jeżeli w danej chwili wektor prędkości kątowej
jest niezerowy to zbiór punktów bryły o prędkościach równoległych do
- zwany osią centralną - dany jest równaniem
.
Zostawiając niewiadome
po lewej stronie i przenosząc dane na prawą stronę otrzymujemy
a wobec tożsamości
mamy
.
Rozwiązanie powyższego równania ma postać
gdzie
jest dowolna liczbą rzeczywistą. Pierwszy składnik rozwiązania jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego
natomiast drugi jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego. Pierwszy składnik ma interpretację w postaci prostej równoległej do wektora prędkości kątowej
. Zatem oś centralna jest prostą równoległą do wektora prędkości kątowej
i przesuniętą o wektor
w stosunku do zera lokalnego układu współrzędnych.
Jeżeli w danej chwili prędkość zera lokalnego układu współrzednych jest prostopadła do wektora prędkości kątowej bryły to punkty osi centralnej mają zerowe chwilowe wartości prędkości.
Jeżeli wektor prędkości kątowej jest niezerowy to ruch chwilowy bryły można traktować jako ruch śrubowy. Na ogół jednak oś centralna zmienia swoje położenie zarówno w sensie globalnym jak i lokalnym.
W przypadku zerowej prędkości kątowej nie ma sensu mówienie o osi centralnej.
Ruch płaski bryły
W ruchu płaskim bryły odległości wszystkich jego punktów od pewnej nieruchomej płaszczyzny są stałe. Wektory prędkości i przyspieszenia kątowego są wtedy prostopadłe do tej płaszczyzny. Ruch płaski możemy rozumieć jako ruch figury płaskiej w tej płaszczyźnie. Wybierając osie (x,y) oraz (X,Y) w tej płaszczyźnie możemy opis ruchu punktów takiej figury przedstawić w postaci
gdzie
oznacza kąt obrotu figury. Zatem
,
,
,
.
Wprowadzając oznaczenia
otrzymujemy nastepujace wzory dla prędkości i przyspieszeń dowolnego punktu
,
,
,
.
Dla przyśpieszeń dośrodkowego i obrotowego mamy zatem
,
,
,
.
Dla prędkości i przyspieszenia kątowego rozumianych w sensie wektorowym mamy
,
.
Ruch złożony punktu
Rozpatrzmy zagadnienie opisu ruchu danego punktu materialnego względem dwu układów odniesienia.
Jeden z nich -
- nazwiemy układem nieruchomym (bezwzględnym), a drugi
układem ruchomym (względnym).
Ruch rozpatrywanego punktu względem obu tych układów nazywać będziemy odpowiednio ruchem bezwzględnym i względnym.
Dla każdej chwili wprowadzamy ponadto pojęcie ruchu unoszenia jako ruchu bezwzględnego tego punktu nieruchomego względem układu ruchomego, który w rozpatrywanej chwili pokrywa się z rozpatrywanym punktem odniesienia.
Prędkości i przyspieszenia w tych ruchach nazywamy odpowiednio: prędkościami i przyśpieszeniami bezwzględnymi, względnymi i unoszenia.
Równanie ruchu bezwzględnego przedstawimy w postaci
gdzie
są wersorami nieruchomego układu współrzędnych.
Równanie ruchu względnego przedstawimy w postaci
gdzie
są wersorami ruchomego układu współrzędnych.
Równanie ruchu unoszenia przedstawiamy w postaci
gdzie
jest bezwzględnym położeniem zera układu ruchomego w chwili
.
Dla ruchu złożonego mamy oczywiście
Prędkość punktu materialnego w ruchu złożonym
Na podstawie wzoru
definiujemy prędkość względną jako
.
Na podstawie wzoru
definiujemy prędkość unoszenia jako
gdzie
jest bezwzględną prędkością zera ruchomego układu współrzędnych.
Wprowadzając
jako wektor bezwzględnej prędkości kątowej ruchomego układu współrzędnych możemy prędkość unoszenia wyrazić wzorem
.
Obliczając prędkość bezwzględną jako pochodną czasową położenia bezwzględnego
otrzymujemy
.
Udowodniliśmy zatem, że prędkość bezwzględna jest sumą prędkości względnej i prędkości unoszenia.
Przyspieszenie punktu materialnego w ruchu złożonym
Na podstawie wzoru
.
definiujemy przyśpieszenie względne jako
.
Na podstawie wzoru
definiujemy przyśpieszenie unoszenia jako
gdzie
jest bezwzględnym przyśpieszeniem zera ruchomego układu współrzędnych,
jest wektorem bezwzględnego przyspieszenia kątowego ruchomego układu współrzędnych, a
jest prędkością unoszenia względem zera ruchomego układu współrzędnych.
Zdefiniujemy ponadto przyspieszenie Coriolisa jako
Obliczając przyspieszenie bezwzględne jako drugą pochodną czasową położenia bezwzględnego
otrzymujemy
.
Ale
Zatem
i udowodniliśmy, że przyspieszenie bezwzględna jest sumą przyspieszenia względnego, przyspieszenia unoszenia i przyśpieszenia Coriolisa.
Dodatek - Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy jest pseudowektorem, tzn. wynik obliczeń w dwu różnych układach współrzędnych nie zależy od wyboru układu współrzędnych pod warunkiem, że oba układy mają tę samą skrętność a zmienia zwrot na przeciwny w przypadku układów o różnych skrętnościach.
Podstawowe właściwości:
Kierunek iloczynu wektorowego
jest prostopadły do czynników, a zwrot taki, że trójka wektorów
ma taką samą skrętność jak przyjęty układ współrzędnych.
Dodatek - Iloczyn mieszany
Iloczyn mieszany jest pseudoskalarem, tzn. wynik obliczeń w dwu różnych układach współrzędnych nie zależy od wyboru układu współrzędnych pod warunkiem, że oba układy mają tę samą skrętność a zmienia znak na przeciwny w przypadku układów o różnych skrętnościach.
Podstawowe właściwości: