Funkcje trendu

Aby ocenić tendencję rozwoju zjawiska w czasie, stosuje się metodę analityczną polegającą na wyznaczeniu funkcji trendu.

Parametry funkcji są obliczanej metodą najmniejszych kwadratów, zakładającą minimalizację odchyleń wartości zaobserwowanych (y_t) od oszacowanych (ŷ_t) za pomocą funkcji.

W pierwszej kolejności należy dokonać graficznej analizy szeregu. Gdy występują zbliżone zmiany (przyrosty lub spadki) poziomu zjawiska w kolejnych okresach, stosuje się funkcję liniową trendu:

ŷ_t = a +b*t

Parametr b określa średni absolutny przyrost (spadek) z okresu na okres, parametr a jest teoretycznym poziomem zjawiska w okresie t = 0 (okresie poprzedzającym pierwszy badany okres).

n * ∑ y_t * t - ∑ y_t * ∑ t

b =

n * ∑ t² - (∑ t)²

∑ y_t - b * ∑ t

a =

n

Przykład: Wykreślić funkcję trendu dla dochodów własnych województwa pomorskiego w latach 1997-2008. Określić na tej podstawie przewidywane dochody własne w latach 2009 i 2010.

Tabl. X. Dochody własne województwa pomorskiego w latach 1997-2008.

Rok	Dochody własne
	w mln zł
1997	816
1998	939
1999	1551
2000	1712
2001	1818
2002	1855
2003	2006
2004	2554
2005	2791
2006	3212
2007	3738
2008	4127

Źródło: Główny Urząd Statystyczny 2009

Krok 1 - rozrzucenie punktów w układzie współrzędnych

Można przyjąć, że punkty układają się mniej więcej w linię prostą, zatem korzystamy z liniowej funkcji trendu.

Krok 2 - wypełnienie tablicy w celu obliczenia parametrów a oraz b

Rok	Dochody własne (yt)	t	yt *t	t^2
	w mln zł
1997	816	1	816	1
1998	939	2	1878	4
1999	1551	3	4653	9
2000	1712	4	6848	16
2001	1818	5	9090	25
2002	1855	6	11130	36
2003	2006	7	14042	49
2004	2554	8	20432	64
2005	2791	9	25119	81
2006	3212	10	32120	100
2007	3738	11	41118	121
2008	4127	12	49524	144
Suma	27119	78	216770	650

n * ∑ y_t * t - ∑ y_t * ∑ t 12 * 216770 - 27119 * 78

b = = = 283,192

n * ∑ t² - (∑ t)² 12 * 650 - 78²

∑ y_t - b * ∑ t 27119 - 283,192 * 78

a = = = 419,167

n 12

Funkcja ma postać:

ŷ_t = 419,167 + 283,192*t

Interpretacja: teoretycznie w roku t = 0 (1996) dochody własne wyniosły 419 mln zł, średni przyrost dochodów własnych z roku na rok w latach 1997 - 2008 wynosił nieco ponad 283 mln zł.

Krok 3 - narysowanie linii trendu w celu weryfikacji postaci funkcji oraz ewentualnie ekstrapolacji trendu na rok 2009 i 2010.

t	ŷt
1	702,359
12	3817,471

Krok 4 - obliczenie hipotetycznej wysokości dochodów własnych w latach 2009 i 2010 przy założeniu, że corocznie wzrost dochodów będzie się utrzymywał na stałym poziomie z lat 1997-2008, który wynosił 283,192 mln zł.

ŷ₂₀₀₉ = 419,169 + 283,192 * 13 (rok 2009 jest okresem 13) = 4100,663 mln zł

ŷ₂₀₁₀ = 419,169 + 283,192 * 14 = 4383,855 mln zł

Krok 5 - Obliczyć miarę dopasowania funkcji do danych empirycznych (ocena dobroci dopasowania).

Z szeregu czasowego można wyodrębnić trzy składniki wpływające na wartości obserwowane - prawidłowość określoną funkcją trendu, wahaniami okresowymi oraz wahaniami przypadkowymi (losowymi). Wahania przypadkowe zawierają w sobie również działanie wahań okresowych. Zaobserwowane wahania przypadkowe są określane jako „reszty”.

y_t = ŷ_t + e_t

Miarami, które służą ocenie dobroci dopasowania funkcji do danych empirycznych są poziom (odchylenie standardowe składnika resztowego - Se) i natężenie wahań przypadkowych (współczynnik zmienności przypadkowej - Ve). Natomiast udział wahań przypadkowych w kształtowaniu zmienności w czasie badanego zjawiska określony jest za pomocą współczynnika zbieżności Φ².

Wzory:

∑ (y_t - ŷ_t)²

Se =

n - k

n - liczba okresów

k - liczba parametrów (2)

Se

Ve = * 100

¯y

∑ (y_t - ŷ_t )²

Φ² =

∑ (y_t - ¯y )²

Aby obliczyć miary dopasowania należy funkcji do danych empirycznych należy uzupełnić wcześniejszą tablicę.

Rok	Dochody własne (yt)	t	yt *t	t^2	ŷt	(yt - ŷt )^2	(yt - ¯y )^2
	w mln zł
1997	816	1	816	1	702,36	12914,28	2084895,34
1998	939	2	1878	4	985,55	2167,02	1744820,84
1999	1551	3	4653	9	1268,74	79668,68	502562,84
2000	1712	4	6848	16	1551,94	25620,52	300212,67
2001	1818	5	9090	25	1835,13	293,38	195290,34
2002	1855	6	11130	36	2118,32	69337,69	163957,51
2003	2006	7	14042	49	2401,51	156430,39	64473,67
2004	2554	8	20432	64	2684,71	17083,83	86485,01
2005	2791	9	25119	81	2967,90	31292,70	282049,51
2006	3212	10	32120	100	3251,09	1528,01	906462,67
2007	3738	11	41118	121	3534,28	41501,00	2184730,34
2008	4127	12	49524	144	3817,47	95806,12	3486000,17
Suma	27119	78	216770	650	27119	533643,6	12001941

∑ (y_t - ŷ_t)² 533643,6

Se = = = 231,01 mln zł

n - k 12 - 2

Se 231,01

Ve = *100 = = 10,22 %

¯y 2259,917

∑ (y_t - ŷ_t )² 533643,6

Φ² = = = 0,04

∑ (y_t - ¯y )² 12001941

stąd R² = 1 - Φ² = 1 - 0,04 = 0,96

Interpretacja: Zaobserwowane dochody własne różnią się średnio od oszacowanych za pomocą funkcji trendu średnio o 231 mln zł, co stanowi ok. 10% średniego rocznego poziomu dochodów. Współczynnik Φ² = 0,04 wskazuje na bardzo dobrą zgodność danych empirycznych z liniowym modelem trendu. Tylko 4% zmienności dochodów własnych wywołane było czynnikami przypadkowymi, a 96% zmienności jest wyjaśnione liniową funkcją trendu.

2

---