Algebra Liniowa z Geometrią
Definicja liczby zespolonej i jej trzy postacie. Własności modułu i sprzężenia liczby
zespolonej.
Wzór Eulera, jego uzasadnienie i zastosowanie.
Mnożenie 2 liczb zespolonych (postać trygonometryczna), potęgowanie (postać
wykładnicza)(w tym wzór de Moivre'a), pierwiastkowanie (postać wykładnicza).
Interpretacja geometryczna pierwiastkowania.
Twierdzenie Bezout, podstawowe twierdzenie algebry (o liczbie pierwiastków wielomianu).
Definicja krotności pierwiastka wielomianu.
Definicja grupy i grupy przemiennej.
Definicja ciała. Opis ciała Galois GF(2) i GF(32).
Ciało skończone GF(pm) jako zbiór wielomianów z dodawaniem mód p
i mnożeniem mód.
Konstrukcja GF(4)
Definicja pierścienia, pierścienia z jednością, pierścienia całkowitego.
Permutacje, cykle, transpozycje, inwersje. Grupy permutacji.
Definicja przestrzeni liniowej nad dowolnym ciałem K oraz wnioski z tej definicji.
Dla dowolnych A,eK i ueV(V- przestrzeń liniowa) sformułuj i udowodnij warunek
konieczny i wystarczający tego, że Au = 0.
Typy struktur algebraicznych. Definicja homomorfizmu, izomorfizmu, endomorfizmu,
automorfizmu i epimorfizmu.
Definicja kombinacji liniowej oraz liniowej zależności i liniowej niezależności wektorów
Definicja wymiaru przestrzeni liniowej, bazy przestrzeni liniowej oraz powłoki liniowej
zbioru.
Definicja macierzy, transponowanie macierzy. Dodawanie i mnożenie macierzy.
Transpozycja iloczynu dwóch macierzy.
Elementarne przekształcenia wierszowe. Definicja rzędu macierzy. Metoda eliminacji
Gaussa, Gaussa-Jordana. Wpływ elementarnych przekształceń wierszowych na rząd
macierzy. Znajdowanie macierzy odwrotnej.
Twierdzenie Kroneckera - Capellego. Rozwiązalność układu m równań o n niewiadomych.
Znajdowanie macierzy odwrotnej (dwoma sposobami) .Definicja macierzy nieosobliwej.
Macierz odwrotna iloczynu macierzy.
Twierdzenie charakteryzujące bazę.
Definicja o wymianie w bazie.
Definicja odwzorowania liniowego, macierz takiego odwzorowania. Definicja macierzy
przejścia i twierdzenie o związku macierzy przejścia i macierzy odwzorowań liniowych
danego odwzorowania liniowego f. Reprezentacja macierzowa odwzorowania liniowego.
Macierze równoważne, podobne, przystające.
Twierdzenie o macierzy złożenia odwzorowań.
Definicja jądra i obrazu odwzorowania liniowego, ich wymiary i bazy. Twierdzenie o
wymiarze dziedziny.
Definicja wyznacznika macierzy stopnia n. Twierdzenie Laplace^a.
Metoda Sarrusa obliczania wyznacznika macierzy. Twierdzenie o istnieniu macierzy
odwrotnej (podaj odpowiedni wzór).
Własności wyznacznika i wnioski.
Cramerowski układ równań .Twierdzenie Cramera. Wzory Cramera.
Przestrzeń afiniczna, podprzestrzeń afiniczna, wymiar przestrzeni afinicznej. Definicja
układu współrzędnych afinicznych.
Definicja odwzorowania afinicznego. Równoległość przestrzeni afinicznych. Interpretacja
układu równań RLN („liniowych","niejednorodnych") w przestrzeni afinicznej.
Definicja formy liniowej i przestrzeni dualnej. Baza dualna.
Definicja izomorfizmu kanonicznego i refleksywności.
Definicja formy półtoraliniowej, dwuliniowej, hermitowskiej.
Iloczyn skalamy, wnioski. Nierówność Cauchy"ego- Schwarza- Buniakowskiego.
Definicja normy. Kąt między wektorami. Przestrzeń liniowa euklidesowa, unitarna,
afiniczna euklidesowa. Metryka wyznaczona przez normę.
Definicja sumy prostej, sumy algebraicznej i mnogościowej podzbiorów (suma prosta
podprzestrzeni liniowych).
Podaj wzór Grassmana.
Podprzestrzeń niezmiennicza.
Zastosowanie macierzy blokowej: tw. o krotnościach: (geom.) <= (algebr.)
Definicja formy kwadratowej, biegunowej. Podaj związek między formą biegunową i
kwadratową. Polaryzacja formy kwadratowej.
Postać normalna formy kwadratowej rzeczywistej.
Macierz formy dwuliniowej. Macierze przystające, zmiana macierzy przy zmianie bazy.
Formy symetryczne i antysymetryczne.
Co nazywamy postacią kanoniczną formy dwuliniowej? Metoda Lagrange'a sprowadzania
do postaci kanonicznej.
Postać Jacobiego formy kwadratowej.
Rząd formy. Określoność, półokreśloność, nieokreśloność formy. Sformułuj twierdzenie
Sylvestera.
Definicja wektora własnego, wartości własnej, wielomianu charakterystycznego.
Widmo(spektrum) macierzy. Krotność algebraiczna i geometryczna. Jaki jest związek
między tymi krotnościami?
Operator macierzy.
Definicja podprzestrzeni własnej. Wymiar podprzestrzeni własnej.
Co to znaczy, że macierz odwzorowania jest diagonalizowalna? Sformułuj warunek
wystarczający diagonalizacji macierzy.
Zdefiniuj algebrę operatorów, z jakich składa się elementów? Sformułuj twierdzenie
Hamiltona - Cayleya.
Zdefiniuj operator nilpotentny (np. o macierzy "pierwszy rząd jedynek"),, idempotentny,
inwolucję oraz podaj, jakie mają one wielomiany minimalne.
Co to jest wielomian minimalny? Kiedy dla A(A - operator) istnieje A"' ? Czym jest stopień
wielomianu minimalnego?
Podaj definicję bazy ortogonalnej, ortonormalnej. Metoda ortogonalizacji Grama-
Schmidta. Rzut ortogonalny.
Współrzędne wektora względem bazy ortonormalnej (jako iloczyny skalarne).
Co to jest dopełnienie ortogonalne. Twierdzenie o istnieniu podprzestrzeni dopełniającej.
Definicja orientacji przestrzeni. Co to jest orientacja dodatnia a co ujemna?
Definicja i własności iloczynu wektorowego .
Iloczyn mieszany wektorów. Przykłady zastosowania iloczynu wektorowego i mieszanego
Równanie ogólne lub parametryczne płaszczyzny.
Równanie parametryczne, kierunkowe prostej. Wzajemne położenie prostych w R3.
Wyprowadź wzór na odległość punktu od prostej w R3. Odległość dwóch prostych w R3.
Klatka Jordana stopnia m. Co to jest macierz Jordana ?
Baza Jordana. Na czym polega sprowadzanie macierzy do postaci kanonicznej Jordana.
Podprzestrzenie pierwiastkowe, wektory główne.
Wpływ wyboru bazy w podprzestrzeni pierwiastkowej na postać kanoniczną Jordana.
Definicja i własności sprzężenia operatora liniowego.
Definicja i własności operatora samosprzężonego.
Odwzorowanie (i macierz) ortogonalne i odpowiednio unitarne.
Wartości własne macierzy hermitowskiej lub rzeczywistej symetrycznej.
Związek między izometrią i unitarnością.
Warunek wystarczający trywialności operatora w przestrzeni z iloczynem skalarnym.