Zakres materiału obowiązującego do egzaminu ze Wstępu do Matematyki
Rachunek zdań:
Język KRZ; podstawowe funktory logiczne; zdanie logiczne; wartościowanie; reguły wnioskowania; tautologia; konsekwencja semantyczna; aksjomaty; konsekwencja syntaktyczna; twierdzenie o pełności; dowód formalny, niewprost, założeniowy;
Rachunek predykatów:
Term; formuła; dziedzina i zbiór rozwiązań formuły; twierdzenia o zbiorach rozwiązań dla koniunkcji, alternatywy itp.; kwantyfikatory o ograniczonym zakresie; reguły wnioskowania dla kwantyfikatorów;
Teoria mnogości:
Działania na zbiorach i ich własności; antynomia Cantora i Russela; zbiór potęgowy; uogólniona suma i przecięcie zbiorów oraz ich podstawowe własności
Relacje:
Relacja; dziedzina i przeciwdziedzina relacji; relacja odwrotna; złożenie relacji.
Relacja równoważności:
warunki równoważne definicji; klasa równoważności; zbiór ilorazowy; podział; zasada abstrakcji; konstrukcja liczb całkowitych i wymiernych; twierdzenia o sumie i złożeniu relacji równoważności; uogólnione przecięcie relacji równoważności; relacja równoważności generowana przez dowolną relację; tranzytywne domknięcie relacji; iloraz relacji równoważności; produkt relacji równoważności
Funkcja:
Obcięcie funkcji; iloczyn kartezjański funkcji; zestawienie funkcji; iniekcja; suriekcja; bijekcja; obraz i przeciwobraz zbioru; twierdzenia o obrazach i przeciwobrazach; twierdzenia o złożeniu funkcji i funkcji odwrotnej; twierdzenia o iniektywności (suriektywności, bijektywności) złożenia, zestawienia, funkcji odwrotnej; odwzorowanie kanoniczne; relacja generowana przez funkcję; twierdzenia o rozkładzie kanonicznym; indeksowane rodziny zbiorów; działania na indeksowanych rodzinach zbiorów i ich własności; zbiory równoliczne; twierdzenia o równoliczności zbiorów
Relacja porządku:
Zbiór częściowo uporządkowany; diagramy relacji częściowego porządku; przedział początkowy; elementy: największy, najmniejszy, maksymalny, minimalny i ich własności; ograniczenie górne i dolne; supremum i infimum; homomorfizm, epimorfizm, monomorfizm i izomorfizm zbiorów częściowo uporządkowanych; zbiory podobne; lemat o punkcie stałym; twierdzenie Cantora-Bernsteina.
Relacja liniowego porządku; łańcuch; izomorfizm zbiorów liniowo uporządkowanych; twierdzenia o skończonych zbiorach liniowo uporządkowanych
Zbiór gęsto uporządkowany; podzbiór gesty zbioru liniowo uporządkowanego; twierdzenie o zbiorze podobnym do zbioru gęsto uporządkowanego; przekrój zbioru liniowo uporządkowanego; twierdzenie o skoku; zbiór uporządkowany w sposób ciągły; twierdzenie o zbiorze podobnym do uporządkowanego w sposób ciągły; zbiór dobrze uporządkowany; twierdzenie o zbiorze podobnym do dobrze uporządkowanego; twierdzenie o endomorfizmie zbioru dobrze uporządkowanego; suma uporządkowana; uporządkowany iloczyn kartezjański
Twierdzenia równoważne aksjomatowi wyboru:
Dwie wersje aksjomatu wyboru; lemat Kuratowskiego-Zorna; twierdzenie Zermelo; twierdzenie Hausdorffa.
Warunki równoważne dobremu uporządkowaniu zbioru; zasada indukcji pozaskończonej (dwie wersje); związek dobrego uporządkowania ze spełnieniem zasady indukcji.
Teoria mocy:
Własności relacji równości i nierówności dla mocy zbiorów; zbiory skończone; twierdzenia o mocy sumy, iloczynu kartezjańskiego, zbioru potęgowego i zbioru funkcji dla zbiorów skończonych; zbiory nieskończone; charakterystyka zbiorów nieskończonych; zbiory co najwyżej przeliczalne; przeliczalność * i *; twierdzenia o zbiorach przeliczalnych i co najwyżej przeliczalnych; nieprzeliczalność *; twierdzenia o zbiorach mocy continuum; twierdzenie Cantora; hipoteza continuum
Arytmetyka Peano jako przykład teorii I-go rzędu:
Dowody wybranych twierdzeń.
Liczy porządkowe:
Definicja i własności liczb porządkowych.