Gradientem funkcji skalarnej F, który oznacz. będziemy symbolem grad F nazyw. wektor o wspołrz. gradF=[σF/σx, σF/σy, σF/σz]. Wlasnosci grad: grad(F1+-F2)=gradF1+-gradF2; grad(cF)=cgradF; grad(F1F2)=F1gradF2+F2gradF1. Potencjalem pola wekt. W=[P,Q,R] nazyw. taka funkcje skal. F, ktorej gradient rowna się wekt. pola, gradF=W . σF/σx=P, σF/σy=Q, σf/σz=R. Z def. wynikaja: 1) Potencjal pola można pow. o dowolna stala nie zmieniajacsamego pola 2)Jeżeli poten. pola jest staly w pewnym obszarze, tzn. F(x,y,z)=c, to wektor pola jest w kazdym pkt. tego obszaru rowny 0. 3) wyznaczanie potencjalup. wektor. jest rownozn. calkowaniu rozniczki zupelnej, gdyz wyzn. potencjalu p . wekt. W=[P,Q,R] jest rownow. wyznacz. funkcji pierwotn.F. Pole wekt. posiadajace potencjal nazyw. polem potencjalnym. Dywergencja pola wekt. która oznaczac będziemy symbolem div W, nazywamy funkcjie skalarna okres. wzorem: divW =σF/σx+ σF/σy+ σf/σz, z dywerg. wynika: div(W1+W2)=divW1+ divW2; div(cW)= cdivW. Pole wektor. nazyw. bezzrodlowym na pewnym obszarze V, jeżeli w kazdym pkt. tego obszaru divW=0, pkt. w ktorych divW>0nazyw. zrodlami, a jeśli divW<0 odplywami. Laplasjonem funkcji skalarnej F, który oznaczac będziemy symb.ΔF, nazyw. funk. skalarna okresl. wzorem: ΔF=σ^2f/σx^2+σ^2f/σy^2+σ^2f/σz^2. Jeżeli pole wekt. ma poten. F na pewnym obszrze V, to dywer. grad. potencjalu rowna się laplasjonowi potencjalu: diw(gradF)=ΔF Dowod: z zal. mamy W=gradF, czyli P=σF/σx, Q=σF/σy,R=σF/σz; div(gradF)=σ/σx(σF/σx)+σ/σy(σF/σy)+σ/σz(σF/σz)=>div(gradF)=σ^2f/σx^2+σ^2f/σy^2+σ^2f/σz^2. Rotacja pola. wekt. W=[P,Q,R] która oznacz. Będziemy symb. rotW, nazyw. wektor, który jest iloczynem wektorowym wekt. symbolicznego nabla V przez wektor pola W tzn. rotW= VxW. Pole wekt. nazyw. bezwirowym na pewnym obszarzeV, jeżeli w kazdym pkt.. tego obszaru rotacja rowna się 0. T.W Jeżeli wspolrzedne wektora pola P,Q,R sa klasy C2 to dywergen. rotacji dowolnego pola wektor. jest rowna 0, czyli div(rotW)=0. Dowod: div(rotW)=VrotW=V(VxW)=(V,V,W)=0. T.W:(Warunek kon. i wystar.istnie. potencjalu) Jeżeli pole wekt. W=[P,Q,R] jest klasy C1i ma potencjal F na pewnym obszar. V, to rotW=0 czyli: (σR/σy-σQ/σz)i +(σP/σz-σR/σx)j +(σQ/σx-σP/σy)k=0 Dowod: z zaloz. rozwazane pole W ma potencjal F na obszr.V wobec tego :gradF=W stad: rot(gradF)=rotW ale: rot(gradF)=(σ^2F/σyσz-σ^2F/σzσy)i+(σ^2F/σzσx-σ^2F/σzσy)j+(σ^2F/σxσy-σ^2F/σyσx)k Na mocy tw. Schwarza o pochodnych miesz. wynika ze rot(gradF)=0i+0j+0k=> rotW=0. T.W:(war. Wystar. Istnienia potencjalu) Jeżeli pole wektor. W=[P,Q,R] jest klasy C1 i ma na obszar. V powieszchniowo jednospojnym rotacje rowna 0, czyli: (σR/σy-σQ/σz)i +(σP/σz-σR/σx)j +(σQ/σx-σP/σy)k=0 to w obszrze tym istnieje potencjal pola W