Zestaw 1

Zadanie 1. (12 pkt)

Teoria -Dystrybuanta zmiennej losowej

Rzucamy monetą 4 razy. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe ilości wyrzuconych orłów.

1) Podać rozkład tej zmiennej losowej

2) Określić dystrybuantę tej zmiennej losowej

3) Obliczyć E(X), V(X)

4) Obliczyć
, gdzie X_i - ciąg niezależnych zmiennych losowych o powyższym rozkładzie.

Zadanie 2. (15 pkt.)

Zmienna losowa określa ilość substancji uzyskiwanej w trakcie pewnego doświadczenia - rozkład normalny N (m, σ ) .

Pobrano próbkę: X₁= 20, X₂= 30, X₃ = 25, X₄ = 32, X₅= 33

a) zbudować przedział ufności dla wariancji, przyjmując współczynnik 1-α=0,98

b) na poziomie α = 0,05 sprawdź hipotezę o losowości próby

c) zweryfikować hipotezę H(m = 30), przyjmując α =0,05

Zadanie3. (8 pkt.)

Teoria - Korelacja

Przeprowadzono n =7 pomiarów zmiennej X i Y

X	1	2	3	4	5	6	7
Y	18	23	24	27	28	30	22

Na podstawie powyższej próby ocenić korelację między zmiennymi.

Zestaw 2.

Zadanie 1. (12 pkt.)

Teoria - Zmienne losowe - ich rodzaje, dystrybuanta zmiennej.

Zmienna losowa jest określona funkcją

1) dla jakiej wartości stałej a, f(x)jest funkcją gęstości ?

2) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X

3) Obliczyć
, gdzie X_i jest to ciąg zmiennych losowych o rozkładzie wskazanym w poprzednich punktach

Zadanie 2. (15 pkt.)

Teoria - testy nieparametryczne

Czas trwania pewnej reakcji chemicznej jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m, 4). Dokonano 5 pomiarów czasu i otrzymano następujące wyniki

X₁= 25, X₂ = 45, X₃= 60, X₄ = 30, X₅= 20

a) zbudować przedział ufności dla średniego czasu reakcji, przyjmując współczynnik ufności l - α == 0,95

b) na poziomie istotności α = 0,02 zweryfikować hipotezę, że H(m=35).

Zadanie3. (8 pkt.)

W pewnym doświadczeniu bada się wpływ pewnego leku na ciśnienie tętnicze. Podano n = 10 dawek leku i otrzymano następujące przyrosty ciśnienia :

X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Y 15 5 13 35 25 30 55 65 65 55

Na podstawie powyższej próby i na poziomie α = 0,10 zweryfikować hipotezę H₀(ρ=0)

Zestaw 3.

Zadanie 1. (12 pkt)

Teoria - Wariancja - definicja, własności, przykłady.

Dana jest funkcja

a) dobrać stałą C, tak by funkcja była gęstością zmiennej X

b) znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej oraz obliczyć P(X < 1/2)

c) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej
, gdzie X_i jest to ciąg zmiennych losowych o tej funkcji gęstości.

Zadanie 2. (15 pkt.)

Teoria - Weryfikacja hipotez parametrycznych

Przeprowadzono n = 5 pomiarów pewnej wielkości o rozkładzie N(m,σ):

X₁ = 10,5, X₂ = 10, X₃ = 11.5, X₄ = 9, X₅ = 12

a) Na poziomie α = 0,02 ustalić liczebność próby przy dopuszczalnym błędzie d =0.6

b) Na poziomie α = 0,05 zweryfikować hipotezę H (σ²= 0,6)

Zadanie 3 (8 pkt.)

Teoria - Regresja

Przeprowadzono n = 5 pomiarów zmiennych X i Y

X	1	2	3	4	5
Y	15	5	35	25	30

Podać funkcję regresji oraz wartość y(6).

---