Ćwiczenia 1.

Pojęcia: doświadczenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych/przestrzeń wyników, zdarzenie losowe, obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń losowych z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Przykład 1.

Rzucamy raz symetryczną kostką do gry. Opisz Ω dla tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wypadnie/wypadną:

1. dokładnie dwa oczka.

2. liczba parzysta,

3. liczba podzielna przez 3,

4. co najwyżej 2 oczka,

5. co najmniej 2 oczka,

6. co najwyżej 2 oczka lub liczba podzielna przez 3, prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych

7. liczba podzielna przez 2 lub podzielna przez 3, prawdopodobieństwo sumy zdarzeń nierozłącznych

8. co najwyżej 2 oczka lub co najmniej 2 oczka, zdarzenie pewne

9. liczba podzielna przez 3 i co najwyżej 2 oczka, zdarzenie niemożliwe

10. liczba, która nie dzieli się przez 3. prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

Zastosowanie drzewa (dendrytu) do opisania przestrzeni wyników i obliczania prawdopodobieństw.

Przykład 2.

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Przy pomocy drzewa opisz przestrzeń wyników, rozkład prawdopodobieństwa na tej przestrzeni i oblicz prawdopodobieństwa otrzymania:

1. 2 reszek,

2. przynajmniej 1 reszki,

3. reszki w pierwszym rzucie.

Przykład 3.

W pierwszej urnie są trzy białe kule i dwie czarne, a w drugiej jest jedna kula biała i dwie czarne. Rzucamy symetryczną monetą. Jeśli wypadnie reszka, losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni wyników. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania kuli białej.

Przykład 4.

W urnie są trzy kule białe i siedem niebieskich. Losujemy bez zwracania trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul niebieskich.

Zastosowanie drzewa może być pracochłonne, można wtedy posłużyć się wzorem.

Przykład 5.

Losujemy bez zwracania sześć kul z urny, w której jest pięć kul białych i dziesięć czarnych.Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania dwóch kul białych.

Schemat Bernoulliego, omówienie, obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą drzewa.

Przykład 6.

Losujemy kulę z urny, w której są trzy kule białe i dwie czarne. Sukcesem nazwiemy wyciągnięcie kuli białej, a porażką czarnej. Powtarzamy to doświadczenie dwa razy, po każdym losowaniu zwracamy kulę do urny. Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania:

1. jednego sukcesu,

2. co najmniej jednego sukcesu.

Gdy rośnie liczba powtarzanych doświadczeń n, wygodniej zastosować wzór Bernoulliego.

Przykład 7.

Rzucamy 5 razy symetryczną kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie 3 razy.

Zadania „z treścią”:

1. Skrzynka zawiera 100 owoców, w tym 10 zepsutych. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej 3 dobrych owoców przy losowaniu 4 bez zwracania.

2. W populacji liczącej 1000 osobników jest 10% chorych. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej 3 chorych przy losowaniu 4 bez zwracania.

3. Pod zasiew przygotowano mieszankę ziarna I, II, III, IV jakości. Ziarno I jakości stanowi 96%, II- 2%, a III i IV po 1% w mieszance. Prawdopodobieństwo wyrośnięcia kłosa, który miałby nie mniej niż 50 ziaren wynosi odpowiednio: 0,5 dla I, 0,2 dla II, 0,15 dla III, 0,05 dla IV. Oblicz (bezwarunkowe) prawdopodobieństwo wyrośnięcia kłosa, o co najmniej 50 ziarnach.

4. Stwierdzono, że przy spryskiwaniu drzew owocowych pewnym środkiem ochronnym ginie 70% gąsienic, natomiast te, które przeżyją uzyskują częściową odporność i przy ponownym spryskaniu ginie ich tylko 20%. Oblicz prawdopodobieństwo, że gąsienica zginie po pierwszym lub drugim spryskaniu.

5. Leszcze sprzedawane przez pewien sklep pochodzą z jezior X, Y, Z. Wiadamo, że 20% tych leszczy pochodzi z jeziora X, 50% z jeziora Y i 30% z jeziora Z. Ustalono, że w jeziorze X zarażonych ligulą jest 2% leszczy, a w jeziorze Y i Z odpowiednio 1% i 3%. Oblicz prawdopodobieństwo, że kupując leszcza w tym sklepie trafi się na zdrowego.

6. Zdolność kiełkowania nasion pszenicy pewnej odmiany wynosi 90%. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że, wśród dziesięciu wylosowanych niezależnie nasion:

1. wykiełkują wszystkie,

2. wykiełkuje przynajmniej jedno.

7. Zdrowotność owoców truskawki pewnej odmiany wynosi 99%. Wylosowano 20 owoców. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że:

1. żaden nie będzie zdrowy,

2. przynajmniej 90% będzie zdrowych.

3

---