1.4.4 Wagi i błędności

Rozważająć problem obliczania błędów szeregu spostrzeżeń milcząco założyliśmy, że występujące tam błędy powstały ze spostrzeżeń określonych z jednakową dokładnością. Za spostrzeżenia o jednakowej dokładności będziemy uważać wyniki uzyskane z takiej samej metody pomiaru, przyrządem o takich samych parametrach dokładności i w jednakowych warunkach zewnętrznych. Przeciwnie - spostrzeżenia o różnej dokładności, to obserwacje wykonane różnymi przyrządami, metodami lub w innych warunkach.

Dla przykładu porównajmy pomiar odcinka w terenie krokami, taśmą stalową i dalmierzem elektrooptycznym. Otrzymaliśmy trzy spostrzeżenia, o których powiemy, że to spostrzeżenie ma dla nas największą wartość, które jest najdokładniej zmierzone. Nie znaczy to bynajmniej, że spostrzeżenia o gorszej dokładności są dla nas bez wartości. Są one tylko mniej cenne, czyli przedstawiają dla nas mniejszą wartość, mówiąc potocznie - przyporządkowujemy im mniejszą wagę. Odwrotnie - dokładniejsze pomiary będą miały większą wagę.

Jeżeli mamy dla tej samej wielkości niewiadomej dwa szeregi pomiarów takich, że na przykład pojedyncze obserwacje serii pierwszej dają wynik o takiej samej dokładności jak średnia z p obserwacji drugiej serii, to mówimy, że waga pojedynczej obserwacji pierwszego szeregu jest p razy większa w stosunku do obserwacji drugiego szeregu.

To jakościowe ujęcie sprowadza się w rachunku wyrównawczym do ilościowego porównania dokładności spostrzeżeń jako pewnego rodzaju miary dokładności. Jest nim pojęcie wagi, będącej w ścisłym związku z błędami średnimi i wyraża się wzorem

(1.69)

Wartości tych błęów mogą być znane a priori lub a posteriori (przed lub po pomiarze).

Równość (1.69) jest używana w różnej formie zapisu np.

lub w formie iloczynów

(1.70)

(gdzie c jest dowolną stałą 0, tak dobraną, aby liczby p były dogodne do dalszych rachunków). Zależność (1.69) lub (1.70) jest równaniem, z którego przy znajomości błędów średnich możemy obliczać wagi.

Aby to równanie rozwiązać, trzeba jeden z błędów średnich przyjąć za błąd jednostkowy. Błędem jednostkowym jest jednostka miary dokładności o wadze równej jedności, w stosunku do której porównuje się dokładność spostrzeżeń danego zbioru. Często za błąd jednostkowy przyjmuje się błąd pojedynczego spostrzeżenia lub jego elementów, z których składa się to spostrzeżenie (przykład niwelacji). Oznaczając w równaniu (1.69) m2 za błąd jednostkowy równy m0 o wadze równej jedności otrzyma się

(1.71)

Jeżeli oznaczymy następnie dla i-tego sposrzeżenia błąd średni przez m , wówczas definicja wagi wynikająca z równości (1.71) będzie

(1.72)

Wagami spostrzeżeń są zatem liczby dodatnie, niemianowane i zależne od współczynnika proporcjonalności c. Wartości wag są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu błędów średnich. Wzór (1.72) na podstawowe znaczenie w rachunku wyrównawczym przy wszelkiego rodzaju wyrażeniu jednych błędów za pomocą drugich, jak i przekształcaniu spostrzeżeń różnodokładnych na inne spostrzeżenia fikcyjne o jednakowej dokładności.

Z przekształcenia (1.72) widać, że

stąd

(1.73)

Jeżeli zatem jest szereg spostrzeżeń o znanych lub przypuszczalnych błędach średnich i należy je sprowadzić do spostrzeżeń o jednakowej dokładności, to trzeba je pomnożyć przez pierwiastki z wag, uzyskując spostrzeżenia fikcyjne, lecz o jednakowej dokładności.

W niekórych przypadkach zamiast operować pojęciami wag w myśl wzoru (1.72), wygodniej jest wprowadzić pojęcie błędności oznaczonej tu literą B, pozostające z wagami w następującej zależności

(1.74)

stąd

oraz

Również między wagami a miarami dokładności zachodzi ścisły związek. Dla szeregu pomiarów o wskaźniku o i wskaźniku i będą słuszne zapisy

;

stąd

czyli

(1.75)

Umiejętność właściwego doboru wag jest w rachunku wyrównawczym bardzo ważną czynnością zarówno w procesie porównania dokładności spostrzeżeń , jak i przy ich sprowadzaniu do jednakowej dokładności - zwanej czynnością równoważenia układu spostrzeżeń. W szczególności ma to miejsce w trakcie wyrównania spostrzeżeń zarówno jednorodnych, jak i różnorodnych (np. kąty i długości, gdzie często wagi określane są a priori). Niewłaściwy dobór wag powoduje przy wyrównaniu zniekształcenia dokładności spostrzeżeń wyrównywanych.

---