Untitled

Zadania i metody automatycznej regulacji.

Zadania automatycznej regulacji.

Na wstępie przedstawię prosty układ regulacji automatycznej. Pod tym pojęciem należy rozumieć połączenie obiektu z regulatorem, tak jak przedstawia rys.1.

z(t)

0x08 graphic
x₀(t) e(t) u(t) x(t)

Regulator Obiekt

Rys.1. Ogólny schemat blokowy układu regulacji.

Taki zestaw, w którym sygnał wyjściowy x(t) jest podawany na wejście regulatora, nazywa się układem regulacji lub dokładniej układem zamkniętym sterowania, czyli układem ze sprzężeniem zwrotnym

Sens stosowania regulacji wynika z obecności zakłóceń. Sygnał sterujący oddziałuje na obiekt tak, aby został osiągnięty jak najmniejszy uchyb e(t) tzn. aby x(t) był możliwie najbliższy x₀(t). Uchyb regulacji e(t) = x₀(t) - x(t) stanowi więc elementarną miarę spełnienia podstawowego zadania. W idealnym układzie regulacji uchyb powinien być równy zeru (cecha definicyjna układu regulacji). Istotne jest przy tym, aby dążenie do zlikwidowania uchybu miało miejsce nawet przy niewielkiej informacji początkowej o obiekcie, ewentualnych zmianach własności obiektu czy zakłóceniach.

Zadania układu regulacji można podzielić w zależności od relacji wiążących sygnały x(t) i e(t) z jednej strony, z sygnałami x₀(t) i z(t) z drugiej strony.

Cel układu regulacji określa w zasadzie sygnał wartości zadanej x₀(t) - stąd podział układów regulacji ze względu na postać sygnału x₀(t) jest następujący:

regulacja stałowartościowa przy x₀(t) = const,
regulacja programowa przy sygnale x₀(t) będącym funkcją czasu daną z góry jako pewien „program” zmian wielkości regulowanej,
regulacja nadążna przy x₀(t) w postaci przebiegu o zmiennej z góry postaci (np. przebiegu przypadkowego).

Inny podział układów regulacji wynika z zadań regulacji i przedstawia się następująco:

zadania nadążania, tj. układ spełnia przybliżony warunek e
0 w każdej chwili, przy określonych klasach sygnałów x₀(t) i z₀(t) (powstaje wówczas problem określenia i osiągnięcia zadowalająco małych uchybów),
zadania przestawiania, tzn. sygnały x₀(t) lub z(t) wprowadzają tak silne oddziaływania (w szczególności podlegają dużym zmianom skokowym), że można z góry powiedzieć, iż uchyb będzie się znacznie różnił od zera w chwili pojawienia się tych oddziaływań (powstaje wówczas problem czasu, po którym można sprowadzić uchyb w pobliże zera ),
zadania kompensacji zakłóceń, jeżeli podstawowym zadaniem dla układu regulacji jest wyeliminowanie wpływu zakłóceń w jak najszerszym paśmie częstotliwości.

Są także układy inne, realizujące inaczej postawione zadania, nazywa się je regulatorami specjalnymi.

Metody automatycznej regulacji.

Stosowane metody automatycznej regulacji różnią się ze względu na postać charakterystyk statycznych elementów występujących w układach automatyki. Dzielimy je na:

UKŁADY LINIOWE:

Regulacji ciągłej

Metody opisu matematycznego stacjonarnych układów liniowych o jednym wejściu i jednym wyjściu:

Metoda równań Lagrange'a

Układy automatyki i ich elementy są układami dynamicznymi. Równania układów dynamicznych opisujące ich funkcjonowanie wynikają z ogólnych praw fizyki. Wykorzystanie tych praw prowadzi najczęściej do równań różniczkowych zwyczajnych. Najbardziej ogólnym prawem dla układów o różnorodnej naturze jest zasada Hamiltona, z której wynikają równania Lagrange'a.

Równanie wejścia - wyjścia

Równanie różniczkowe liniowe o stałych parametrach, zapisywane w postaci ogólnej opisujące dynamikę stacjonarnego układu liniowego z jednym sygnałem wejściowym u(t) i jednym sygnałem wyjściowym y(t) nazywa się równaniem wyjścia - wejścia takiego układu. Uzyskuje się je z zasady równowagi dynamicznej odnoszącej się do rozpatrywanego układu.

Przekształcenie Laplace'a

Transformata Laplace'a przyporządkowuje funkcji czasu f(t) funkcję zmiennej zespolonej F(s).

Transmitancja operatorowa i widmowa

Funkcja operatorowa G(s)=Y(s)/U(s), nazywana transmitancją operatorową obiektu liniowego, jest to stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego (odpowiedzi) do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego (wymuszenia) przy zerowych warunkach początkowych.

Wielkość zespoloną G(jw)=Y(jw)/U(jw) określoną poprzez stosunek sinusoidalnego sygnału wyjściowego zapisanego w postaci zespolonej przy zerowych warunkach początkowych, nazywa się transmitancją widmową rozpatrywanego obiektu.

G(jw)= Re[G(jw)] + j Im[G(jw)]

Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe

Właściwości dynamiczne układu regulacji automatycznej wynikają z przebiegu charakterystyk czasowych i częstotliwościowych układu.

Podstawowymi charakterystykami czasowymi liniowych układów regulacji automatycznej są:

- odpowiedź na wymuszenie w postaci impulsu Diraca (odpowiedź impulsowa)

- odpowiedź na wymuszenie typu skok jednostkowy (odpowiedź skokowa)

G(jω) = |G(jω)|e ^jϕ⁽^ω⁾= P(ω)+j Q(ω),

P(ω)=Re{ G(jω)}, Q(ω)= Im{ G(jω)}

|G(jω)|=
,

Wykres transmitancji widmowej G(jω) we współrzędnych prostokątnych (P(ω),Q(ω)) lub biegunowych (|G(jω)|,ϕ(ω)) przy zmianie pulsacji ω od 0 do ∞ nazywa się charakterystyką amplitudowo-fazową układu. Jest to jedna z wielu form charakterystyk częstotliwościowych układu.

Innym rodzajem charakterystyki częstotliwościowej jest para charakterystyk logarytmicznych: amplitudowa (modułu) i fazowa (argumentu).

Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego nazywana jest wykresem Nyquista

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa układu otwartego nazywane są wykresami Bodego

Metoda przestrzeni stanów

Jeżeli równanie wejścia-wyjścia liniowego stacjonarnego obiektu o jednym wejściu u(t) i jednym wyjściu y(t) jest równaniem różniczkowym n-tego rzędu. To można je zastąpić układem n równań różniczkowych liniowych I rzędu.

x₁(t), x₂(t), … , x_n-1(t), x_n(t) - zmienne stanu, gdzie:

x₁(t)=y(t)

x₂(t)= x₁'(t)

…

X_n(t)= x_n-1'(t)

Układy równań - równania stanu

Przestrzeń w której współrzędnymi są zmienne stanu, nazywa się przestrzenią stanu. Liczba zmiennych stanu jest równa rzędowi równania wejścia-wyjścia.

y(t)=x₁(t) - równanie wyjścia obiektu

Równania stanu i równanie wyjścia zapisujemy w postaci wektorowo - macierzowej.

Stabilność liniowych układów regulacji automatycznej

Badanie stabilności układu na podstawie transmitancji operatorowej
Badanie stabilności układu na podstawie równania stanu
Kryteria stabilności

Kryterium Hurwitza
Kryterium Routha
Kryterium Michajłowa
Kryterium Nyquista
Logarytmiczne kryterium Nyquista

Metoda linii pierwiastkowych
Metoda przestrzeni i płaszczyzny fazowej

Regulatory

Ze względu na właściwości dynamiczne rozróżnia się cztery rodzaje regulatorów liniowych

- proporcjonalne (typu P)

- proporcjonalno - całkujące (typu PI)

- proporcjonalno - różniczkujące (typu PD)

- proporcjonalno - całkująco - różniczkujące (typu PID)

Metody doboru nastaw regulatorów PID:

Metody Zieglera-Nicholsa:

I Metoda Z-N - metoda bazująca na odpowiedzi skokowej
II Metoda Z-N - metoda z wyznaczaniem wzmocnienia krytycznego (dokładniejsza)

Optymalizacja nastaw ze względu na sygnał zadany lub zakłócenie

- regulator rozmyty

Na regulację rozmytą składają się trzy następujące procesy:

Proces rozmywania (fuzyfikacji) - rozmywanie danych podawanych na wejście regulatora
Proces wnioskowania - na podstawie zbioru reguł i rozmytych danych wejściowych obliczana jest wynikowa f. przynależności
Proces wyostrzania (defuzyfikacji) - na podstawie funkcji przynależności obliczana jest ostra wartość wyjściowa regulatora

Regulacji dyskretnej

Modele dyskretne obiektów regulacji

Dyskretne równanie wejścia wyjścia

Dyskretne równanie wejścia - wyjścia ma postać równania różnicowego

Przekształcenie Z

Jest to dyskretna transformata Laplace'a - przyporządkowuje funkcji dyskretnej (ciągowi próbek) u(nTp) funkcję zespoloną U(z).

Transmitancja dyskretna

Dyskretne równanie dynamiki liniowego obiektu o jednym wejściu u(t) i jednym wyjściu y(t) jest równaniem różnicowym k-tego rzędu o stałym współczynnikach.

Po transformacji Z stosunek transformaty Y(z) odpowiedzi y(nTp) obiektu liniowego do transformaty U(z) wymuszenia u(nTp) przy zerowych warunkach początkowych nazywa się transmitancją dyskretną obiektu G(z)=Y(z)/U(z).

Dyskretne równania stanu i równanie wyjścia

Dyskretne równanie wejścia-wyjścia stacjonarnego obiektu liniowego, będące równaniem różnicowym k-tego rzędu po przekształceniu do odpowiedniej postaci.

W celu znalezienia związku zachodzącego między dyskretnymi równaniami stanu, dyskretnym równaniem wyjścia i transmitancją dyskretną przekształcamy otrzymane równania w równania operatorowe i dla zerowych warunków początkowych otrzymujemy dyskretne równanie stanu

zX(z)=AX(z)+bU(z)

Regulacja impulsowa

Impulsator

Regulacja cyfrowa

Próbkowanie i kwantowanie i regulator cyfrowy PID

Stabilność liniowych układów regulacji dyskretnej

Warunek stabilności

Układ regulacji dyskretnej nazywa się stabilnym, gdy każdemu ograniczonemu ciągowi wartości wejściowych w(nTp) w chwilach próbkowania odpowiada ograniczony ciąg wartości wyjściowych