Mechanika techniczna:

-mechanika ogólna (ciała nieodkształcone)

- wytrzymałość materiałów (ciała odkształcone)

Mechanika ogólna:

-kinematyka (ilościowe badanie ruchu z pominięciem czynników wywołujących go)

-dynamika (ruch ciał z uwzględnieniem ich masy i sił na nie działających

-statyka (ciała, na które działa zrównoważony układ sił, ciało
pozostaje w bezruchu lub porusza się ruchem jednostajnym)

- kinetyka (badanie niezrównoważonego układu sił
działającego na ciało)

Inny podział mechaniki ogólnej:

-statyka

-kinematyka

-dynamika

Mechanika ciał odkształconych (wytrzymałość materiałów):

-teoria spężystości i plastyczności: dźwig, płyty, tarcze, powłoki, rozwiązywanie zagadnień trójwymiarowych, badanie ciał odkształconych stałych

-mechanika budowli: analiza konstrukcji budowlanych pod obciążeniem statycznym

-dynamika budowli: analiza konstrukcji budowlanych pod obciążeniami dynamicznymi

Mechanika płynów:

- hydromechanika (mechanika cieczy)

-aeromechanika

Podstawowe pojęcia mechaniki to ruch, czas, przestrzeń, materia, siła. w statyce czas nie odgrywa żadnej roli.

Masa-ilość materii zawartej w ciele i miara bezwładności danego ciała, wyrażona w kilogramach

Siła-wielkość określająca wzajemne, mechaniczne oddziaływania ciał

Skalary-całkowicie scharakteryzowane przez wielkości liczbowe

Wektory-oprócz wartości liczbowej charakteryzują się za pomocą kierunku i zwrotu

Siła to wielkość wektorowa którą charakteryzują:

-wartość liczbowa (moduł)

-linia działania siły (kierunek)

-zwrot (określający stronę, w którą działa siła wzdłuż jej linii działania)

-punkt przyłożenia siły

W układzie SI jednostką siły jest ! niuton (określa siłę, która masie 1 kg nadaje przyspieszenie a=1m/s2. W celu statycznego podziału siły używa się dynamometru; kierunek i zwrot siły zależy od punktu jej przyłożenia.

Modele ciał rzeczywistych:

-punkt materialny: ciało o rozmiarach znikomo małych w porównaniu do ciał, w otoczeniu których to ciało się znajduje

-układ punktów materialnych: ciało zawierające dowolną liczbę punktów materialnych

Każde ciało możemy traktować jako punkt materialny lub układ punktów materialnych pod warunkiem, że punkty te są małe w stosunku do całego ciała. jeżeli ciało podzielimy na dowolną liczbę cząstek, to cząstki te będą mogły nazywać się punktami materialnymi.

- ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne): wyidealizowane ciało stałe, którego punkty nie zmieniają odległości pod wpływem działania sił. Ciało rzeczywiste można traktować jako doskonale sztywne, gdy jego odkształcenia są pomijalnie małe

- ośrodek ciągły: mechanika ośrodków ciągłych zajmuje się badaniem ruchu i równowagi continuum materialnego (ośrodka ciągłego)

1.Ciało swobodne-ciało niezwiązane z innymi ciałami, któremu można nadać dowolne położenie w przestrzeni

2. układy równoważne- jeżeli dany układ sił działających na dowolne ciało sztywne można zamienić na inny układ sił
i parametry nie zmienią się

3. Układ sił wzajemnie się równoważących (układ będący w równowadze, układ równoważny zeru, układ zerowy): układ sił, pod działaniem którego ciało swobodne sztywne może znajdować się w stanie spoczynku względem innych nieruchomych ciał

4. wypadkowa układu sił- siła równoważąca dany układ sił

5. Siały działające na ciało sztywne dzielimy na:

- wewnętrzne: siły wzajemnego oddziaływania cząsteczek tego samego ciała

-zewnętrzne: siły, którymi na cząsteczki danego ciała działają inne ciała materialne

6.Siła skupiona- siła przyłożona do ciała w jakimkolwiek jego punkcie. pojęcie siły skupionej ma charakter umowny, ponieważ nie można przyłożyć siły w jednym punkcie. siły traktowane jako skupione są w mechanice wypadkowymi sił rozłożonych na pewnej powierzchni ciała

7.Siły rozłożone- siły działające na wszystkie punkty ciała lub wszystkie punkty części ciała

8. Siła ciężkości-siła,k którą Ziemia działa na dane ciało (wypadkowa sił ciężkości cząsteczek ciała)

ZASADY STATYKI

Aksjomaty statyki: twierdzenia przyjęte jako prawdziwe bez dowodu

Tw1 (o dwóch siłach)

Jeżeli na dowolne, swobodne ciało doskonale sztywne działają siły, to ciało to może pozostawać w równowadze w. i t. w. gdy

siły te mają równe moduły, wspólną linię działania i przeciwne zwroty.

Tw2 (o dodawaniu bądż odjęciu zerowego układu sił)

Działanie dowolnego układu sił na ciało doskonale sztywne nie zmieni się, gdy do niego dodamy lub odejmiemy układ sił równoważących się.

WEKTORY:

1. Wektory związane z punktem (uczepione) charakteryzuje:

-moduł

-linia działania

-zwrot

-początek wektora

2.Wektory związane z prostą (ślizgające się lub posuwne) można dowolnie przesuwać wzdłuż linii ich działania

charakteryzuje je:

-moduł

-zwrot

-kierunek

3.Wektory swobodne charakteryzuje:

- moduł

-zwrot

-kierunek równoległy do linii działania

Tw.3 (o równoległoboku sił)

Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego mają wypadkową przyłożoną w tym samym punkcie przedstawioną przez przekątne równoległoboku zbudowanego na tych siłach. (równe sumie geometrycznej wektorów tych sił

Tw.4 (o równości działania i przeciwdziałania)

Siły, którymi działają na siebie nawzajem dwa ciała zawsze są równe co do modułu i są skierowane wzdłuż jednej prostej w przeciwne strony.

.

Tw.5 (zasada zesztywnienia)

Równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała

Jeśli ciało odkształcalne pozostaje w równowadze pod działaniem pewnego układu sił to ciało doskonale sztywne o tych samych rozmiarach, masie, znajdujące się w tym samym miejscu w przestrzeni, pod działaniem tego samego układu sił również pozostaje w równowadze.

Warunki równowagi układu sił działającego na ciało odkształcalne są dostateczne do stwierdzenia równowagi tego układu sił działającego na ciało doskonale sztywne (ale nie odwrotnie)

Warunki równowagi układu sił działającego na ciało doskonale sztywne są konieczne, ale niedostateczne do stwierdzenia równowagi tego układu sił działającego na ciało odkształcalne.

WIĘZY I ICH REAKCJE

Ciało swobodne to ciała niezwiązane z innymi ciałami, któremu z dowolnego miejsca w przestrzeni można nadać dowolne przemieszczenie. Ciało, którego przemieszczenia w przestrzeni są ograniczone przez inne związane lub stykające się z nim ciała nazywamy ciałem nieswobodnym, a ograniczenia te nazywamy więzami

np. stół to więzy dla leżącej na nim książki

zawiasy to więzy dla drzwi

Ciało pod działaniem przyłożonych do niego sił usiłuje się przemieścić. Przemieszczeniu temu przeciwdziałają więzy, dlatego ciało działa na więzy pewną siłą nazywaną siłą nacisku ciała na więzy

Tw. Więzy uniemożliwiając przemieszczenie również działają na ciało pewną siłą,, zwaną reakcją więzów.

- siły nie będące reakcjami więzów (np. siła ciężkości) to siły czynne lub aktywne. ich moduł ani kierunek nie zależą od innych przyłożonych sił

- reakcja różni się od sił czynnych tym, że jej wartość liczbowa i kierunek zależą od przyłożonych sił i nie są z góry znane. takie siły nazywamy biernymi lub pasywnymi

kierunek i zwrot reakcji:

Reakcja więzów jest skierowana przeciwnie do siły, którą więzy przeciwdziałają przemieszczeniu ciała.

1. Powierzchnia lub płaszczyzna gładka (brak tarcia)

Przesunięcie ciała jest ograniczone wzdłuż normalnej. reakcja normalna skierowana jest prostopadle do stycznej przyłożonej w punkcie O

2. Nić

Reakcja nici przyłożona w punkcie B jest odpowiedzią na chęć rozciągnięcia nici

3. Przegub walcowy

Jak wygląda reakcja połączenia?

-ciało A naciska na swożeń. Reakcja swożnia jest prostopadła do płaszczyzny styku (zaczepiona w środku swożenia, prostopadła do powierzchni walca, dowolnie skierowana)

-ciało A naciska na swożeń. Reakcja swożnia jest dowolnie skierowana w przestrzeń, ale prostopadła do przegubu.

4. Przegub kulisty

Reakcja przyłożona w środku kuli skierowana w dowolnym kierunku (tworząca dowolne kręty z osiami x, y, z)

5. Pręt przegubowy

Reakcja skierowana wzdłuż pręta (dwuprzegubowego)

reakcja pręta zakrzywionego dwuprzegubowego

TW.6 (oswobodzenia więzów)

Dotyczy równowagi ciał nieswobodnych

Każde ciało nieswobodne możemy rozpatrywać jako swobodne, jeżeli uwolnić je od więzów i zastąpić ich działanie reakcjami tych więzów.

Moduły reakcji, które z góry są nieznane można obliczy ć wypisując równania sił działających na ciało swobodne.

TW.7. (o trzech siłach)

Jeżeli ciało doskonale sztywne znajduje się w równowadze pod działaniem trzech nierównoległych sił i linie działania dwóch z nich przecinają się to wszystkie trzy siły leżą w jednej płaszczyźnie i ich linie działania przecinają się w jednym punkcie.

Aby trzy siły działające na ciało były w równowadze jest konieczne ale niedostateczne, aby leżały w jednej płaszczyźnie: przecinały się w jednym punkcie.

SIŁY ZEWNĘTRZNE I WEWNĘTRZNE

Siły wewnętrzne: siły wzajemnego oddziaływania między punktami danego układu sił

UKŁAD SIŁ ZBIEŻNYCH

układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie

(F1, F2,...,Fn) dowolny układ sił zbieżnych działających na ciało sztywne

Rzut wektorowej sumy na oś jest równy algebraicznej sumie rzutów poszczególnych wektorów tej osi.

1. W= ∑ Fi

Wx =∑Fix

Wy =∑Fiy

Wz =∑Fiz

W=

2. W=

3. cos (W,i)= Wx/W

cos(W,j) =Wy/W

cos(W,k)=Wz/W

warunki równowagi układu sił zbieżnych:

TW. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest zerowanie się jego wypadkowych

W=0 wektorowy (geometryczny) warunek równowagi układu sił zbieżnych

1. Układ sił zbieżnych ma wypadkową, tzn. (F1,...,Fn)~W

2. Punkt materialny jest w równowadze względem nieruchomego (inercjalnego) układu odniesienia, jeżeli znajduje się w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego

3. Układ punktów materialnych jest w równowadze względem nieruchomego układu odniesienia, jeżeli wszystkie punkty układu znajdują się w stanie spoczynku lub poruszają się jednostajnie prostoliniowo z prędkościami o równych modułach, kierunkach i zwrotach

*konieczność: (F1,...,Fn) ~0 → W=0

załóżmy, że W≠0, czyli na ciało działa różna od 0 siła, więc ciało nie jest w równowadze ( z II zas. dyn. Newtona). Układ sił nie jest zrównoważony:

*dostateczność: W=0 → (F1,...,Fn) ~0

Jeśli W=0 to ciało jest w równowadze, więc układ sił jest w równowadze

Ponieważ:

W=

W=

∑Fix=0 ∑Fiy=0 ∑Fiz=0

TW. Aby przestrzenny układ sił zbieżnych działający na ciało był w równowadze potrzeba i wystarcza, by algebraiczne rzuty tych sił na 3 prostopadłe osie były równe 0.

Płaski układ sił zbieżnych leżących w płaszczyźnie OXY

Fiz=0, i= 1, 2, ..., n

Warunki równowagi płaskiego układu sił zbieżnych w płaszczyźnie OXY

TW. Na to aby płaski układ sił zbieżnych był w równowadze potrzeba i wystarcza, aby algebraiczne sumy rzutów na dwie prostopadłe osie leżące w pł ich działania były równe 0

RÓWNANIA RÓWNOWAGI (STATYKI)

-jeżeli liczba niewiadomych sił jest równa liczbie równań statyki, to zagadnienie nazywamy statycznie wyznaczalnym

-jeżeli liczba niewiadomych sił jest wyższa od liczby równań statyki to zagadnienie sił jest statycznie niewyznaczalne

-jeżeli liczba niewiadomych sił jest mniejsza od liczby równań statyki to układ nie spełnia warunków konstrukcyjnych (jest geometrycznie zmienny)

PODSTAWY REDUKCJI UKŁADU SIŁ

Moment siły względem punktu

A-punkt przyłożenia siły F

O-dowolnie wybrany punkt nazywany środkiem momentu

moment siły F względem punktu O- wielkość równa iloczynowi wektorowemu promienia wektora r poprowadzonemu z punktu O do pktu A i wektora siły F

Mo (F) = r x F

|r x F| = rF sin <(r, F)

Mo(F) = |Mo(F)|

Mo(F) = rF sin<(r, F)

α- mniejszy z kątów, o który należy obrócić wektor, aby linie i zwroty były równe. α=<(r, F)

n- ramię siły F względem punktu O

r sin α = n ,bo:

n= r sin (Π- α) = r sin α

Mo(F) = Fh

Mo- wektor prostopadły do płaszczyzny, w której leża r i F oraz o zwrocie zgodnym z zasadą śruby prawoskrętnej

RZUTY WEKTORA

r = xi + yi + zk

F = Fxi + Fyj + Fzk

i j k

r x F = x y z

Fx Fy Fz

Mo(F) = Moxi + Moyj + Mozk

Mo(F) = r x F

Moxi+Moyj+Mozk = (yFz - zFy)i + (zFx - xFz)j + (xFy-yFx)k

Mox = yFz - zFy

Moy = zFx - xFz

Moz = xFy - yFx

Mo(F) = √ (Mox(F))2 + Moy(F))2 + Moz(F))2

cos(Mo,i) = Mox/Mo

cos(Mo,j) = Moy/Mo

cos(Mo,k) = Moz/Mo

Moment siły względem punktu nie zmieni się jeśli przesunąć punkt wzdłuż linii jej działania

Moment siły względem punktu jest równy zero, jeżeli linia działania przechodzi przez środek momentu.

Moment siły względem punktu jest równy liczbowo podwojonemu polu trójkąta

Mo = 2 P∆AOB

Moment siły względem punktu jest wektorem zaczepionym

TW.(o momencie wypadkowej układu sił zbieżnych)

TW. VARIYHON'A

Moment wypadkowy ukł. sił zbieżnych względem dowolnego środka jest równy wektorowej sumie momentów sił składowych względem tego środka.

W= F1 + F2 + ... + Fn

M0(W) = r x W = r x (F1 + F2 + ... + Fn)=

= r x F1 + r x F2 +...+ r x Fn =

= Mo(F1) + Mo(F2) +...+ Mo(Fn)

Mo(W) = ∑ Mo(Fi)

MOMENT SIŁY WZGLĘDEM OSI

Momentem siły względem osi nazywamy wielkość równą rzutowi na tą oś momentu siły względem dowolnego punktu leżącego na tej osi.

e - wersor osi l (długość jednostkowa)

Mo(F) = r x F

Ml = Mo cosφ = Mo 1 cosφ = Mo ه e

Ml = (r x F) ه e

Ml1 = (r x F) ه e = [(0,0+r) x F] ه e = (0,0 xF) ه e + (r x F) ه e

0,0 = α e

α- współczynnik liczbowy (+_)

(0,0 xF) ه e = (α e x F) ه e = 0

(α e x F) ┴ α e

(α e x F) ┴ e

Ml1 = (r x F) ه e = Ml

Moment siły względem osi nie zależy od położenia punktu na osi. Moment jest niezmienny względem wyboru punktu

Kiedy Ml = 0?

Ml = (r x F) ه e = 0

1° (r x F) = 0

F jest współliniowy z r : F = α r

r x F = 0, gdy linie działania r i F pokrywają się

2 ° r x F ┴ e : l leży w płaszczyźnie π

r x F jest prostopadłe do e, gdy prosta l jest równoległa do linii działania F

Mox = yFz - zFy Mox = Mx

Moy = zFx - xFz Moy = My

Mox = xFy - yFx Moz = Mz

Mx = Mx(F)

My = My(F)

Mz = Mz(F)

przykład płaskiego układu sił:

Linia działania siły F leży w płaszczyźnie Ωxy

Niech środek momentu należy do płaszczyzny Ωxy

Mo = Mo(F) ┴ Ωxy

Mo = F h = 2 PΔAOB

Mz = +- F h

Mx = My = 0

Mz > 0 gdy obrót F dookoła Ω

Mz < 0 gdy obrót F dookoła Ω

1° Linie działania Fi leżą w płaszczyźnie xy (pł. kartki)

2° Oś z jest zwrócona od płaszczyzny rysunku w stronę obserwatora i prostopadła do kartki

3° Moment siły względem osi z można nazwać momentem siły względem punktu

TEORIA PARY SIŁ

Para sił przyłożony6ch do ciała sztywnego to układ dwóch sił o równych modułach o równoległych, lecz nie przecinających się liniach działania i przeciwnych zwrotach.

F1 = F2

F1 = -F2

(F1, F2) - para sił

π- płaszczyz działania pary sił (zawiera linie działania obu sił)

Układ sił tworzących parę nie znajdującej się w równowadze

Para sił nie ma siły wypadkowej

(F1, F2) ~ 0

(F1, F2) ~ W

Załóżmy, że (F1, F2) ~W : wprowadźmy siłę W (siłę równoważącą siły W)

(F1, F2, -W) ~(W, -W) ~0, co jest sprzeczne z założeniem

(F1, F2) ~0

moment pary sił

Mo(F1) + Mo(F2) = r1 x F1 + r2 x F2 = r1 x F! + r2 x (-F) = (r1 - r2) x F = ρ x F

ρ = BA

Mo(F1) + Mo(F2) nie zależy od przyłożenia punktu O

M(F1-F) = Mo(F1) + Mo(F2) = (ρ x F)

M (F, -F) - moment pary sił

M(F, -F) = BA x F

M(F, -F) = BA x F = Mb(F)

(-BA)x(F) = AB x (-F) = Ma(-F)

Składanie sił równoległych

1Siły skeirowane ZGODNIE

P1=P2

P1= -P2 (P1,P2)~0

(F1, F2)~(F1, F2, P1, P2)~(W1,W2)

P1'=P1=P2=P2'

(F1, F2)~(F1, F2, P1, P2)~(F1',F2')~(W)

|W|=|F1'|+|F2'|=|F1|+|F2|

Linia działania W jest równoległa do linii działania sił F1 i F2. Zwrot W jest zgodny ze zwrotami sił F1 i F2

Δ ACD ~ Δ GHD

AC/GH = CD/HD

Δ CBD ~ Δ HJD

CB/JK = CD/JD

AC/GH JK/CB = CD/HD JD/CD GH=|P1|=JK=|P2|

AC/CB = JD/HD HD=|F1'|=|F1| JD=|F2'|=|F2|

AC/CB = F2/F1

Linia działania sił W dzieli odcinek na długości odwrotnie proporcjonalne do wartości sił

W przypadku gdy |F1|=|F2| AC=CB punkt C jest środkiem odcinka AB (dzieli go na połowy)

2. Siły skierowane PRZECIWNIE

Moment pary sił

|(F, -F)| = P ABCD

TW. Nie zamieniając pary sił na ciała sztywne można je przesunąć i dowolnie obrócić w płaszczyźnie jej działania oraz zmienić wielkość sił tworzących parę i jej ramię tak, aby moment pary sił pozostał niezmieniony

F= -F' F1= - F2

|F1|=|F2|=|F|=|F'|

F2'= -F1' (F1',F2')~0

(F1,F2)~0

(F,F')~(F1, F', F1, F2, F1', F2')

|W|=|W'|, W i W' linia działania GJ i przeciwne zwroty

W= -W (W,W') ~0

(F,F')~(F1, F', F1, F2, F1', F2')~(W, W'; F1, F1') ~(F1, F1')

|F*| = |F*'|

F* = -F*'

(F,F')~(F,F',F*,F*')~(F2,F2')

F2,F2' tworzą parę sił

|M(F2,F2')| = |F2| h2 = |F|/cos α h cos α = |F| h = |M(F,F'|

TW. Daną parę sił niezmieniając jej działania na ciało sztywne można przenieść do dowolnej płaszczyzny równoległej do płaszczyzny danej pary.

(F1, F1'), AB, π

π2 || π1, CD є π2, CD=AB

Linia działania F2,F3 || linii działania F1,F1'

|F2|=|F3|=|F1|=|F1'|

Linia działania F2', F3' || linii działania F2, F1'

|F2'|=|F3'|=|F1|=|F1'|

(F1,F1')~(F1, F1', F2, F3, F2',F3')~(W, W'; F2, F2') ~(F2, F2')

|W|= s|F1| W є E

|W'| 2|F2'| W' є E |W|=|W'| (W,W')~0

(F1,F1') ~(F2,F2')

π1~ π2

M1=M(F1,F1')

M2=M (F2,F2')

|M1|=|F1| h = |F1|AB=|F2|CD=|F2| h2= |M2| M1=M2

TW. (o równości par sił)

Pary sił działające na ciało sztywne są statycznie rozważane jeżeli ich momenty są geometrycznie równe.

Załóżmy, że dane są dwie pary sił P i P', Q i Q' leżące w różnych płaszczyznach i mające równe geometrycznie momenty.

M1=M(P1,P')=M(Q,Q') =M2

(P, P') є π1, (Q,Q') є π2 π1 || π2

TW. Dwie pary sił leżące w dwóch płaszczyznach, przecinające się są równoważne jednej parze, której moment jest równy wektorowej sumie momentów par sił dodawanych

(F1,-F1) I , (F2,-F2) II

dowód:

α - kąt dwuścienny

AB - wspólne ramię sił

{(F1,-F1),(F2,-F2)}~{(F1',-F1'),(F2,-F2')}~(R',-R')

M(R,-R)=BA x (-R')=BA x (-F1', -F2')=BA x (-F1') + BA x

(-F2')=M1(F1',-F1')+M2(F2',-F2')=M1(F1,-F1)+M2(F2,-F2)

Moment dwóch par sił jest równy sumie momentów poszczególnych par sił

M(R',-R') = M(F1,-F2)+M2(F2,-F2)

dla układu n - par sił

{(F1,-F1),(F2,-F2),...,(Fi,-Fi),...,(Fn,-Fn)}~(F,-F)

M(F,-F) = Σ M(Fi,-Fi)

Para sił działająca na ciało sztywne tworzy nowy, niezależny element statyki, który obok siły jest drugim najważniejszym pojęciem statyki.

---