1. Zasady mechaniki (prawa Newtona)

• Z I prawa Newtona wynika, że: Układ sił pozostaje w równowadze, jeżeli ciało, na które on działa pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. O ciałach znajdujących się w stanie spoczynku mówimy, że są w równowadze.

• Z prawa III wynika, że: Siły, które wywierają na siebie dwa ciała są równe co do wartości, mają ten sam kierunek (leżą na jednej prostej) i przeciwne zwroty.

2. ciała materialnego; stopnie swobody, więzy i ich oddziaływanie,

• Liczba stopni swobody ciała określona jest liczbą niezależnych (możliwych) ruchów ciała (punktu materialnego, bryły sztywnej).

• Punkt materialny ma w przestrzeni trzy stopnie swobody. Ruch wzdłuż osi x, ruch wzdłuż osi y, ruch wzdłuż osi z.

• Punkt materialny poruszający się po linii posiada jeden stopień swobody

• Punkt materialny poruszający się po płaszczyźnie posiada dwa stopnie swobody

• Punkt materialny poruszający się w przestrzeni posiada trzy stopnie swobody

• Bryła sztywna ma w przestrzeni sześć stopni swobody. Ruch wzdłuŻ osi x, ruch wzdłuż osi y, ruch wzdłuż osi z. Obrót wokół osi x, obrót wokół osi y, obrót wokół osi z.

• Figura płaska ma w przestrzeni trzy stopnie swobody. Ruch wzdłuż osi x, ruch wzdłuż osi y i obrót wokół osi z.

• Ograniczając swobodę ciała, nakładają na ciało więzy (elementy ograniczające swobodę ruchów) powodujemy pojawienie się w układzie dodatkowych sił zewnętrznych (biernych) tzw. Reakcji

3. Klasyfikacja układów sił

• Płaski układ sił (dowolny, sił równoległych, zbieżny)

• Przestrzenny układ sił (dowolny, sił równoległych, zbieżny)

4. Momenty sił względem punktu

• Moment siły względem punktu wyrażony jest jako iloczyn wektorowy promienia wektora r i wektora siły F.

M o = r x F

I j k r [m]

M = r x F = rx ry rz F [N]

Fx Fy Fz Mo [Nm]

Własności momentu siły względem punktu:

• Moment siły nie zależy od punktu przyłożenia siły na linii jej działania

• Momenty sił leżących na jednej płaszczyźnie wyznaczone względem bieguna O na tej płaszczyźnie są do siebie równoległe

• Moment siły względem bieguna jest równy zeru, jeżeli linia działania siły przechodzi przez biegun

5. Tarcie i prawa tarcia

Tarcie toczne (nazywane również oporem toczenia) - opór ruchu występujący przy toczeniu jednego ciała po drugim. Występuje np. pomiędzy elementami łożyska tocznego, między oponą a nawierzchnią drogi. Zwykle tarcie toczne jest znacznie mniejsze od tarcia ślizgowego występującego między ciałami stałymi, dlatego toczenie jest częstym rodzajem ruchu w technice.

6. Szczególne układy sił (układ zerowy, para sił)

Para sił to układ dwóch sił równoległych o przeciwnych

zwrotach, jednakowych wartościach i nie leżących na jednej

prostej.

Własności pary sił:

• Parę sił można dowolnie przenieść w płaszczyźnie jej działania

• Parę sił można przenieść na płaszczyznę równoległą do płaszczyzny jej działania.

• 3. Działanie pary sił nie zmieni się jeżeli proporcjonalnie zmienimy stosunek wartości sił tworzących parę i jej ramienia.

• 4. Układ par sił jest równoważny jednej parze sił, której wektor momentu jest sumą geometryczną wektorów momentów par składowych.

• 5. Pary sił nie można zastąpić siłą wypadkową lecz tylko inną parą sił o takim samym wektorze momentu.

• Dowolny układ par sił jest w równowadze jeżeli suma geometryczna wektorów momentów tych par jest równa zeru. Jest to tzw. Warunek równowagi par sił.

• Warunkiem równoważności par sił jest geometryczna równość ich momentów.

Układ zerowy - układ równoważących się sił

7. Równowaga dowolnego płaskiego układu sił

Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli sumy rzutów wszystkich sił na osie układu są  równe zeru i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu O płaszczyzny działania sił jest równy zeru.

8. Płaski układ sił równoległych

10. Przestrzenny układ sił zbieżnych

11. Środek ciężkości figur płaskich, linii i brył

12. Twierdzenie o momentach statycznych

• Kinematyka

13. Równania ruchu punktu

Oznaczmy przez x, y, z współrzędne punktu A poruszającego się względem przyjętego układu odniesienia. Współrzędne te zależą od czasu, czyli są funkcjami zmiennej t.

x  f1(t) y  f2(t) z  f3(t)

Równania te nazywamy kinematycznymi równaniami ruchu lub skończonymi równaniami ruchu.

14. Parametryczne równania toru punktu, trajektorie ruchu

Równania ruchu są więc zarazem równaniami parametrycznymi toru punktu. Rugując z nich parametr t otrzymujemy równanie toru.

f(x, y, z)  0

15. Prędkość i przyspieszenie punktu

Prędkość:

dr

   v = V_xi + V_yj + V_zk

dt

Składowe prędkości są równe pochodnym względem czasu odpowiednich współrzędnych poruszającego się punktu.

dx .

_x    x

dt

dy .

_y    y

dt

dz .

_z    z

dt

Przyspieszenie:

Przyspieszenie punktu równe jest pochodnej geometrycznej wektora prędkości punktu względem czasu

dv d²r

a =  =  a  a_xi  a_y j  a_zk

dt dt²

Składowe przyspieszenia są równe drugim pochodnym względemczasu odpowiednich współrzędnych poruszającego się punktu.

d²x ..

a_x    x

dt²

d²y ..

a_y    y

dt²

d²z ..

a_z    z

dt²

16. Pochodna wektora zmiennego

17. Podział ruchów punktu ze względu na przyspieszenie normalne i styczne

Ze względu na przyspieszenie normalne możemy wyróżnić

• ruch prostoliniowy aⁿ=0

• ruch krzywoliniowy aⁿ=0

Podział ze względu na przyspieszenie styczne

ruch jednostajny: a^t = 0

dv

a^t =  = 0

dt

v = v₀ = const.

dS

v =   v₀

dt

dS = v₀dt S = v₀t + S₀

ruch jednostajnie zmienny: a^t = const.

• ruch jednostajnie przyspieszony a^t > 0

• ruch jednostajnie opóźniony a^t < 0

v = a^t * t + v₀

a^t _* t²

S =   v_{0 *} t + S₀



ruch niejednostajnie zmienny:

a^t = a^t(t)

v = ʃa^tdt

s = ʃvdt

18. Stopnie swobody ciała sztywnego w przestrzeni

Bryła sztywna ma w przestrzeni sześć stopni swobody. Ruch wzdłuż osi x, ruch wzdłuż osi y, ruch wzdłuż osi z. Obrót wokół osi x, obrót wokół osi y, obrót wokół osi z.

19. Ruch postępowy ciała sztywnego (równania ruchu, prędkości, przyspieszenia)

Niech bryła porusza się tak, że jej położenia chwilowe są równoległe do położenia początkowego. Taki ruch nazywać będziemy ruchem postępowym

r = const

Prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem postępowym są w danej chwili wektorami równymi.

v_A = v_B = v_i = v

Przyspieszenia wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem postępowym są w danej chwili wektorami równymi.

a_A = a_B = a_i = a

20. Ruch obrotowy ciała sztywnego

Ciało wykonujące ruch obrotowy ma jeden stopień swobody. Do określenia położenia tego ciała w przestrzeni potrzebna jest tylko jedna współrzędna.

• Kąt obrotu jest funkcją czasu. = (t) [rad]

• Kąt który tworzy płaszczyzna ruchoma  z nieruchomą płaszczyzną ₀ nazywamy kątem obrotu ciała.

• Kąt ten określa położenie ciała sztywnego w przestrzeni.

• Kąt obrotu ciała będziemy uważali za dodatni jeżeli patrząc z grotu osi obrotu ciało obracać się będzie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Prędkość kątowa to wektor leżący na osi obrotu ciała.

Zwrot wyznaczamy z reguły śruby prawoskrętnej biorąc pod uwagę kierunek obrotów.

Moduł wektora prędkości wynosi:

.

  (t) [rad/s]

Przyspieszenie kątowe to wektor leżący na osi obrotu ciała.

Zwrot zgodny ze zwrotem wektora prędkości kątowej gdy ruch jest przyspieszony lub zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości kątowej gdy ruch jest opóźniony.

. ..

    (t) [rad/s²]

21. Ruch płaski ciała sztywnego (równania ruchu)

Ruchem płaskim ciała sztywnego (bryły materialnej) nazywamy taki ruch podczas którego wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą.

v_A v_B v_c

    

h_A h_B h_c

v_i =  _* h_i

 - prędkość kątowa przekroju w ruchu płaskim,

h_i - odległość punktu bryły od chwilowego środka obrotu

22. Metody wyznaczania prędkości w ruchu płaskim

• Metoda chwilowego środka obrotu

• Metoda analityczna

• Superpozycja

23. Metody wyznaczania przyspieszenia w ruchu płaskim

• Analityczna

• Superpozycji

• Chwilowy środek przyspieszeń

24. Ruch kulisty ciała sztywnego, kąty Eulera

Ruchem kulistym nazywamy, ruch ciała sztywnego, którego jeden punkt, zwany środkiem ruchu kulistego, jest unieruchomiony.

Chwilowa oś obrotu, to prosta związana z bryłą, której wszystkie punkty mają w danej chwili prędkości równe 0

. . .

 _ _ _ _ =  _   _  

_ prędkość kątowa precesji

_ prędkość kątowa obrotu własnego

_ prędkość kątowa nutacji

Kąty Eulera:

• Kąt , zwany kątem nutacji, jest kątem między osią O układu związanego z ciałem, a osią O nieruchomego układu współrzędnych.

• Kąt , czyli kąt precesji, zawarty jest między osią O a prostą ON będącą śladem płaszczyzny O na nieruchomej płaszczyźnie O.

• Prosta ON nosi nazwę linii węzłów i jest prostopadła do płaszczyzny przesuniętej przez osie O i Oz.

• Kąt  , zwany kątem obrotu własnego, jest kątem, który tworzy oś O z linią węzłów ON.

Ruch kulisty ciała sztywnego, który charakteryzuje się tym, że kąt nutacji jest stały, a prędkości obrotu własnego i precesji są stałe, nazywamy precesja regularną.

_ = const. _  const. _  0

25. ??

26. ??

DYNAMIKA

1. Pojęcie punktu materialnego; prawa Newtona

Punkt materialny to ciało o tak małych wymiarach w porównaniu z obszarem, w którym się porusza, że można pominąć zmiany położenia tego ciała wywołane przez obrót i traktować jako punkt geometryczny. Punktowi temu przypisujemy pewną skończoną ilość materii, czyli masę.

• Z I prawa Newtona wynika, że: Układ sił pozostaje w równowadze, jeżeli ciało, na które on działa pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. O ciałach znajdujących się w stanie spoczynku mówimy, że są w równowadze.

• Z prawa III wynika, że: Siły, które wywierają na siebie dwa ciała są równe co do wartości, mają ten sam kierunek (leżą na jednej prostej) i przeciwne zwroty.

2. Równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego w formie wektorowej oraz prostokątnym układzie współrzędnych.

W układzie prostokątnym:

..

ma_x = mx = ΣP_ix

..

ma_y = my = ΣP_iy

..

ma_z = mz = ΣP_iz

3. Zasada d'Alamberta

W ruchu punktu materialnego układ sił zewnętrznych równoważy się z siłą bezwładności:

ΣF_i + (- m _* a) = 0

..

ma_x = mx = ΣP_ix

..

ma_y = my = ΣP_iy

..

ma_z = mz = ΣP_iz

4. Pęd punktu materialnego, zasada pędu, zasada zachowania pędu

Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem układu sił, zatem:

m _* a = ΣF_i

m  const

dv dv

a =  m  ΣF_i

dt dt

Pęd punktu materialnego jest to wektor o module m razy większym od modułu wektora prędkości, mający kierunek i zwrot wektora prędkości.

P = m * v [Ns]

Wektor p nazywamy pędem (ilością ruchu) punktu materialnego.

dv

 (m _* v)= ΣF_i

dt

Zasada zachowania pędu:

Pochodna pędu punktu materialnego względem czasu jest równa sumie sił działających na dany punkt.

dp

 = ΣF_i

dt

Pęd punktu materialnego jest wektorem stałym, jeżeli suma geometryczna sił działających na dany punkt materialny jest równa zeru.

jeżeli ΣF_i = 0 to p = const.

5. Kręt punktu materialnego, zasada krętu, zasada zachowania krętu

Krętem punktu materialnego względem dowolnego bieguna 0 nazywamy wektor równy iloczynowi wektorowemu promienia wektora i wektora pędu poruszającego się punktu. Kręt to moment pędu.

K^o = r x p [Nms]

Zasada krętu:

Pochodna wektora krętu względem czasu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił działających na punkt materialny.

dK^o .

  r x ΣF_i K^o = M^o

dt

Zasada zachowania krętu:

Jeżeli moment główny układu sił działających na punkt materialny, wyznaczony względem dowolnego bieguna jest równy zeru, to kręt punktu poruszającego się względem tego samego bieguna jest wielkością stałą.

Jeżeli M^o = 0 to K^o = const.

6. Pojęcie pracy, jednostka pracy, praca elementarna

Pracą siły stałej F na prostoliniowym przemieszczeniu s nazywamy iloczyn skalarny tej siły przez przesunięcie. L = F * s

Jednostką pracy jest Jul - [J] = [ N * m ]

Własności:

• Praca jest skalarem

• Pracę wykonuje jedynie składowa styczna do toru

• Praca może przyjmować wartości dodatnie, ujemne lub równe zeru.

• Praca elementarna

Pracą elementarną siły zmiennej F na przesunięciu elementarnym ds nazywamy iloczyn skalarny tej siły przez to przesunięcie elementarne.

δ L  F  ds

7. Praca siły ciężkości

8. Energia kinetyczna punktu materialnego

Energią kinetyczną punktu materialnego będziemy nazywali część energii mechanicznej związaną z ruchem tego punktu.

1

E_k =  mv²

2

9. Zasada równowartości pracy i energii kinetycznej

Energia kinetyczna punktu materialnego rośnie lub maleje o wartość pracy wykonanej przez siły zewnętrzne działające na punkt materialny.

E_k = E_k2 - E_k1 = L

10. Energia potencjalna, zasada zachowania energii

Energią potencjalną będziemy nazywali pracę, jaka wykona pole sił ciężkości przy przemieszczeniu masy m z danego położenia na powierzchnię Ziemi, na której przyjęto Ep= 0.

E_p = mgh

Zasada zachowania energii:

W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnej jest niezależna od położenia punktu materialnego w tym polu i ma wartość stałą.

E_p + E_k = const.

11. Definicja momentów bezwładności względem bieguna, prostej i płaszczyzny.

12. Definicje takich pojęć jak: moment dewiacji, promień bezwładności, masa redukowana.

Moment dewiacji:

Momentem dewiacji punktu materialnego względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn  i  nazywamy iloczyn masy punktu materialnego i jego odległości od danych płaszczyzn.

D_ = m_ir_ir_i^'

Dla bryły:

D_  ∫r_*r^'dm

D_










[kgm²]

Promień bezwładności:

Jeżeli ciało sztywne o masie M ma moment bezwładności Jl względem prostęj l-l, to możemy znaleźć taką odległość od osi, że punkt materialny o masie M będzie miał ten sam moment bezwładności Jl. Odległość i będzie określona równaniem Mi2=Jl, skąd:

J₁

i = √ 

M

Masa zredukowana:

Masą zredukowaną bryły na odległość nazywamy taką masę M, skupioną w punkcie O odległym od prostej l-l, której moment bezwładności względem prostej l-l jest równy momentowi bezwładności bryły względem tej prostej.

J₁

M_z = 

r²

13. Tw. Steinera dla momentów bezwładności.

Moment bezwładności ciała sztywnego względem pewnej osi jest równy momentowi ciała względem prostej równoległej przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn masy ciała i kwadratu odległości między osiami.

J₁ = J_s + md²

J_l - moment bezwładności względem osi l,

J_s - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez pkt. S,

m - masa ciala,

d - odleglość między osiami

14. Równania różniczkowe ruchu układu punktów materialnych, zasada ruchu środka masy

Zasada ruchu środka masy:

Środek masy porusza się jak swobodny punkt materialny o masie równej masie całego układu pod działaniem sumy geometrycznej sił czynnych i reakcji.

Ma_s = ΣF_i + ΣR_j

M - masa układu,

Fi - siła czynna

Rj - reakcja

15. Energia kinetyczna bryły sztywnej, twierdzenie Koeniga

Tw. Koeniga:

Energia kinetyczna bryły w ruchu ogólnym jest sumą energii kinetycznej bryły w jej chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy i energii kinetycznej masy całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.

1

E = E_c +  mv_c²

2

16. Zasada równowartości pracy i energii kinetycznej dla ciała sztywnego

Przyrost energii kinetycznej w pewnym przedziale czasu jest równy sumie sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) działających w tym czasie.

17. Ruch obrotowy ciała sztywnego (równanie różniczkowe ruchu, energia kinetyczna)

.

  (t) [rad/s]

18. Ruch płaski ciała sztywnego (równanie różniczkowe ruchu, energia kinetyczna)

v_i =  _* h_i [m/s]

19. Zasada prac przygotowanych; ogólne równanie dynamiki

Zasada prac przygotowanych:

w położeniu równowagi dla dowolnego małego przesunięcia punktów układu zgodnego z więzami suma prac wykonanych nad układem przy tym przesunięciu przez siły zewnętrzne jest zerowa.

r

o

F

h

a

F₁

F₂

F₃

F₁

F₂

Fn



o

Chwilowa oś obrotu

p





r_i^'

r_i

m_i

---