2. Arbitrage Pricing Theory (APT)

W połowie lat siedemdziesiątych XX wieku Stephen Ross opracował teorię arbitrażu cenowego - APT.

Model APT opiera się na dwóch podstawowych założeniach. Pierwszym jest założenie działania prawa jednej ceny.

Prawo jednej ceny głosi, że to samo dobro nie może być sprzedawane po dwóch różnych cenach.

W odniesieniu do instrumentów finansowych oznacza to, że ten sam instrument finansowy na dwóch różnych rynkach ma tę samą cenę. Gdyby było inaczej, wówczas pojawiłaby się możliwość arbitrażu.

Arbitraż jest działaniem na rynkach finansowych polegającym na wykorzystywaniu różnic cenowych.

Arbitraż polega na kupnie instrumentu finansowego po niższej cenie na jednym rynku i jednoczesnej sprzedaży tego samego instrumentu po wyższej cenie na drugim rynku.

Takie działania prowadzą do wzrostu popytu i wzrostu ceny na rynku, na którym cena jest niższa oraz do wzrostu podaży i spadku ceny na rynku, na którym cena jest wyższa.

W rezultacie ceny danego instrumentu na obydwu rynkach wyrównują się, co właśnie oznacza działanie prawa jednej ceny.

Model APT zakłada, że arbitraż właściwie natychmiast wyrównuje różnice cenowe.

Prawo jednej ceny na rynkach finansowych można przedstawić również w nieco innej wersji - dwa instrumenty finansowe o takim samym ryzyku dają tę samą stopę zwrotu.

Drugie podstawowe założenie modelu APT - ceny papierów wartościowych generowane są przez mechanizm podobny do mechanizmu modelu jedno- lub wielowskaźnikowego.

Zwolennicy APT twierdzą, że model ten w porównaniu z CAPM posiada dwie podstawowe zalety:

1. założenia modelu APT mają mniej restrykcyjny charakter,

2. APT można empirycznie zweryfikować, tzn. albo potwierdzić jego słuszność albo obalić.

W modelu APT stopę zwrotu z dowolnej akcji J uzyskaną w okresie t możemy przedstawić za pomocą następującego wzoru:

gdzie:

- wyraz wolny równania regresji,

- współczynnik beta j-tej akcji względem n-tego czynnika,

- wartość poszczególnych czynników w okresie t,

- składnik resztowy,

n - liczba czynników.

Wariancję resztową portfela możemy zatem zapisać za pomocą wykorzystywanego wcześniej wzoru:

Również wariancję stopy zwrotu z portfela można wyrazić za pomocą wzoru na wariancję portfela w modelu wielowskaźnikowym, czyli:

=
+
+ ...+
+

Z kolei współczynnik beta portfela obliczony względem któregokolwiek z czynników równy jest, tak jak w modelu wielowskaźnikowym, średniej ważonej współczynników beta akcji wchodzących w skład tego portfela:

Można postawić pytanie, czym APT różni się od modelu wielowskaźnikowego?

Różnica polega na tym, że APT pokazuje, w jaki sposób można przejść od modelu wielowskaźnikowego do określenia warunków równowagi rynku kapitałowego.

Dla potrzeb dalszej analizy - poza przedstawionymi wyżej założeniami - należy dodatkowo przyjąć, że (1) istnieje nieskończona ilość papierów wartościowych oraz że (2) krótka sprzedaż jest dozwolona bez ograniczeń.

Załóżmy początkowo, że korelacja pomiędzy stopami zwrotu z różnych akcji jest spowodowana oddziaływaniem tylko jednego czynnika (jednoczynnikowy model APT).

Pytanie - jak będzie kształtowała się zależność pomiędzy oczekiwanymi stopami zwrotu z poszczególnych akcji oraz
, czyli współczynnikiem określającym zależność pomiędzy stopą zwrotu z analizowanej akcji a pierwszym czynnikiem (I₁)?

Załóżmy, że zależność ta jest krzywoliniowa, tak jak przedstawia to wykres.

Opierając się na modelu APT można udowodnić, że zależność taka nie może istnieć.

Gdyby zależność pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu z akcji J oraz
wyglądała tak jak na wykresie, wówczas istniałaby możliwość zarabiania pieniędzy bez ryzyka i bez konieczności angażowania własnych kapitałów.

Zgodnie z założeniami modelu na krzywej znajduje się nieskończenie wiele akcji - sześć z nich zaznaczono na wykresie literami A, B, C, D, E i F.

Interesują nas na przykład kombinacje akcji C i E. Linią kombinacji tych akcji jest na wykresie linia przerywana przechodząca przez punkty E(r_Z'), C i E.

Na odcinku między C i E kupujemy obie te akcje. Natomiast na odcinku E(r_Z') i C sprzedajemy krótko akcje E i uzyskane ze sprzedaży tych akcji środki przeznaczamy na zakup akcji C.

Sprzedając krótko akcje E i inwestując uzyskane w ten sposób środki w zakup akcji C możemy skonstruować portfel, który charakteryzuje się oczekiwaną stopą zwrotu równą E(r_Z') oraz zerowym ryzykiem (współczynnik beta tego portfela równy jest zero).

Posługując się dalej wykresem możemy także skonstruować portfel, którego oczekiwana stopa zwrotu wynosi E(r_Z). W tym celu należy krótko sprzedać akcje D i uzyskane środki przeznaczyć na zakup akcji A.

A zatem możemy skonstruować co najmniej dwa portfele o ryzyku równym zero i różnych oczekiwanych stopach zwrotu.

W celu skonstruowania każdego z tych portfeli oddzielnie musimy angażować własny kapitał, natomiast możemy zająć pozycje w obydwu portfelach jednocześnie bez angażowania własnego kapitału. W tym celu należałoby sprzedać krótko portfel E(r_Z) i za otrzymane środki kupić portfel E(r_Z').

Przykład. Załóżmy, że oczekiwana stopa zwrotu portfela E(
) = 12%, natomiast portfela E(
) = 15%. Załóżmy dalej, że sprzedajemy krótko portfel E(
) za 100 000 zł i uzyskane w ten sposób środki przeznaczamy na zakup portfela E(
).

Na sprzedaży krótkiej portfela E(
) na pewno stracimy 12 000 zł, gdyż:

12% x 100 000 zł = 12 000 zł

Z kolei na kupnie portfela E(
) na pewno zyskamy

15 000 zł, gdyż:

15% x 100 000 zł = 15 000 zł

W sumie zatem zarobimy bez jakiegokolwiek ryzyka oraz wkładu kapitałowego 3 000 zł.

Starając się sprzedawać krótko takie akcje jak D, E i F oraz kupując akcje A, B i C inwestorzy uruchomiliby proces arbitrażowy, który doprowadziłby w ostateczności do wzrostu cen oraz spadku stóp zwrotu akcji A, B i C oraz spadku cen i wzrostu stóp zwrotu akcji D, E i F (na wykresie kierunek zmian oczekiwanych stóp zwrotu poszczególnych akcji zaznaczony jest strzałkami).

W ujęciu graficznym uruchomienie procesu arbitrażowego powodowałoby „prostowanie się” krzywej i w efekcie doprowadziłoby do sytuacji zilustrowanej na kolejnym wykresie, gdzie pomiędzy oczekiwanymi stopami zwrotu oraz ryzykiem czynnika
poszczególnych akcji zachodzi zależność liniowa.

Przedstawioną na wykresie zależność pomiędzy ryzykiem czynnika
oraz oczekiwaną stopą zwrotu w jednoczynnikowym modelu APT można wyrazić za pomocą następującego wzoru:

W równaniu współczynnik
jest współczynnikiem kierunkowym prostej reprezentującej zależność pomiędzy ryzykiem czynnika
oraz oczekiwaną stopą zwrotu.

Dotychczas w modelu uwzględnialiśmy tylko jeden czynnik.

Oczywiście w praktyce tych czynników jest znacznie więcej. Nie zmienia to jednak zasadniczego toku wywodu.

Zależność pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu i ryzykiem w dwuczynnikowym modelu APT można zapisać w postaci równania:

Współczynniki
i
wyznaczamy w następujący sposób:

i

Jeżeli założymy, że w modelu APT występuje większa liczba czynników, to uogólniony wzór na stopę zwrotu z akcji J możemy zapisać w następujący sposób:

Podsumowując, w modelu APT niemożliwe jest skonstruowanie dwóch portfeli o zerowym ryzyku i różnych oczekiwanych stopach zwrotu.

---