PROGNOZOWANIE I SYMULACJE

Adaptacyjne metody prognozowania

A) Szeregi ze stałym poziomem zmiennej prognozowanej.

Zadanie 1 (Metoda naiwna)

Wielkość sprzedaży pewnego przedsiębiorstwa produkującego soki owocowe w kolejnych kwartałach 2001-2003 w tys. litrów, przedstawia się następująco:

155

162

158

149

152

150

158

154

148

153

158

152

1. Zdecyduj, czy do prognozowania wielkości sprzedaży przedsiębiorstwa na I kwartał 2004 roku można zastosować metodę naiwną.

2. Wyznacz prognozę na I kwartał 2004 metodą naiwną.

3. Oceń trafność prognozy, jeżeli wiadomo, że rzeczywista wartość sprzedaży w okresie prognozowanym wynosiła 159 tys. litrów.

Zadanie 2 (Metoda średniej ruchomej)

Zużycie środków piorących w pewnym województwie (w kg/os) w latach 1986-1997 przedstawia się następująco:

8,0

7,6

7,7

8,0

7,7

8,3

8,6

7,8

7,8

7,7

8,2

8,4

Odchylenie standardowe w tym szeregu wynosi 0,32 kg/osobę.

1. Określ, czy wahania przypadkowe w tym szeregu są na tyle małe, że można zastosować metodę średniej ruchomej.

2. Prognozę zużycia środków piorących wyznacz 3- i 4 -elementową średnią ruchomą prostą oraz 3-elementową średnią ruchomą ważona przyjmując trzy zestawy wag:

I: 0,2 0,3 0,5

II: 0,15 0,25 0,6

III: 0,1 0,2 0,7

3. Dla każdej prognozy wyznacz średni kwadratowy błąd ex post oraz względny błąd ex post dla prognoz wygasłych.

4. Wybierz metodę o najmniejszym średnim błędzie kwadratowym ex post i policz prognozę na rok 1998.

Zadanie 3

Sprzedaż benzyny na pewnej stacji benzynowej w tys. litrów w kolejnych miesiącach 2003 roku kształtowała się następująco:

41

38

39

40

39

42

38

39

41

42

40

39

Należy wyznaczyć prognozę sprzedaży benzyny na styczeń 2004 stosując następujące metody prognozowania:

- 3-elementową średnią ruchomą prostą,

- 5-elemetową średnią ruchomą prostą.

- 3-elementową średnią ruchomą ważoną (wagi: 0,2 0,3 0,5).

Kierując się średnim kwadratowym błędem ex post wybrać najbardziej trafną metodę prognozowania.

Zadanie 4 (Prosty model wygładzania wykładniczego)

Dla danych z zadania poprzedniego znaleźć prognozę na styczeń 2004 przy pomocy prostego modelu wyrównywania wykładniczego. Przyjąć stałą wygładzania α = 0,05 i α = 0,6. Wybrać tę prognozę, która jest dokładniejsza ze względu na kryterium minimalnego średniego błędu kwadratowego ex post prognoz wygasłych. Czy wybór jest taki sam, jeżeli jako kryterium zastosuje się średni względny błąd ex post prognoz wygasłych?

Zadanie 5

Ilość sprzedanego ryżu w kg w pewnym sklepie w kolejnych 10 tygodniach kształtowała się następująco:

60

62

58

61

59

63

60

62

60

62

1. Zbadać, czy w tym przypadku właściwe jest zastosowanie metod dla zmiennych ze stałym poziomem zmiennej prognozowanej.

2. Przy pomocy średniego błędu kwadratowego ex post prognoz wygasłych ocenić, która z metod daje najlepsze prognozy w tym przypadku:

- metoda naiwna

- średnia ruchoma prosta 3-elemetowa

- średnia ruchoma ważona o wagach ( 0,15 0,25 0,6 )

- proste wyrównanie wykładnicze dla α = 0,5.

3. Wyznaczyć prognozę sprzedaży ryżu na 11 tydzień najlepszą z tych metod.

B) Szeregi z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej.

Zadanie 6 (Metoda wygładzania wykładniczego Holta)

Koszty całkowite pewnej firmy usługowej w tys. zł w kolejnych kwartałach lat 2000-2002 i w trzech pierwszych kwartałach 2003 przedstawiały się następująco:

37

41

40

41

45

42

46

48

47

53

58

67

79

85

88

Należy wyznaczyć prognozę kosztów całkowitych tej firmy na IV kwartał 2003 roku. Zbadać dopuszczalność tej prognozy. (Przyjąć α = 0,95 β = 0,45)

Zadanie 7

Liczba ludności Polski (w mln osób) w latach 1980-1995 kształtowała się następująco:

1980	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987
35,735	36,062	36,399	36,745	37,063	37,341	37,572	37,764
1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995
37,885	38,038	38,183	38,309	38,418	38,505	38,581	38,609

Stosując model wygładzania wykładniczego Holta wyznaczyć prognozę liczby ludności na 1996 rok. Ocenić jej trafność jeżeli wiadomo, że w tym roku w Polsce było 38,639 mln mieszkańców.

(Przyjąć α = 0,9 β = 0,4)

C) Szeregi z tendencją rozwojową i z wahaniami sezonowymi zmiennej prognozowanej.

Zadanie 8 (Metoda wygładzania wykładniczego Wintersa)

Pewna firma prowadzi sprzedaż oleju opałowego. Dane dotyczące kwartalnej sprzedaży w tys. ton w latach 1999-2004 znajdują się w poniższej tabeli. Należy wyznaczyć przewidywaną wielkość sprzedaży oleju opałowego w kolejnych kwartałach 2005 roku.

(Przyjąć α = 0,5 β = 0,95 γ =0,2 )

Kwartały	Lata
		1999	2000	2001	2002	2003	2004
I	500	450	350	550	550	750
II	350	350	200	350	400	500
III	250	200	150	250	350	400
IV	400	300	400	550	600	650

Zadanie 9

Liczba zawartych umów leasingowych w firmie finansowo-leasingowej w poszczególnych kwartałach lat 1996-1999 kształtowała się następująco:

20

10

4

11

33

17

9

18

45

23

14

11

25

60

30

13

Sporządzić prognozę liczby zawartych umów na kolejny rok stosując metodę Wintersa.

(Przyjąć α = 0,6 β = 0,9 γ =0,2 )

Zadanie 10

Liczba turystów odwiedzających Półwysep Helski w poszczególnych kwartałach lat 2002-2006 kształtowała się następująco:

okres	2002kw1	2002kw2	2002kw3	2002kw4	2003kw1	2003kw2	2003kw3	2003kw4	2004kw1	2004kw2
yt	215,1	371,5	484	250,1	228,8	350,9	506,9	284,7	282	436,9
okres	2004kw3	2004kw4	2005kw1	2005kw2	2005kw3	2005kw4	2006kw1	2006kw2	2006kw3	2006kw4
yt	696,7	466	468,4	739,8	921,9	641,9	770,9	1119,1	1405,2	892,8

Polecenia:

1. Skonstruuj wykres. Na jego podstawie określ możliwe do zastosowania metody wyznaczenia prognoz.

2. Zbuduj model tendencji rozwojowej. (Gretl, Microfit)

3. Zbuduj model tendencji rozwojowej z uwzględnieniem sezonowości.

4. Wyznacz prognozę na poszczególne kwartały roku 2007.

5. Dokonaj pełnej weryfikacji obu modeli.

Zadanie 11

Szereg czasowy kwartalnych obserwacji na PKB w Polsce w latach 2002 - 2007 przedstawia tablica:

okres	t	PKB	okres	t	PKB
czasu			yt+1		czasu		yt+1
2002.1	1	187 570,0	2005.1	13	229 395,80
2002.2	2	197 917,5	2005.2	14	238 094,50
2002.3	3	200 185,1	2005.3	15	241 759,80
2002.4	4	222 186,9	2005.4	16	274 052,20
2003.1	5	193 721,5	2006.1	17	242 379,20
2003.2	6	206 999,9	2006.2	18	253 924,00
2003.3	7	208 078,5	2006.3	19	261 442,60
2003.4	8	233 320,5	2006.4	20	300 109,10
2004.1	9	212 619,3	2007.1	21	267 077,20
2004.2	10	225 232,3	2007.2	22	279 582,30
2004.3	11	228 690,4	2007.3	23
2004.4	12	255 615,2	2007.4	24

Wyznacz prognozę na ostatnie dwa kwartały 2007 roku. Czy można wyznaczyć prognozę na pierwszy kwartał 2008 roku?

Zadanie 12

Dane kwartalne od 1Q 1997 do 2Q 2006 przedstawiono w tablicy:

EURO kurs 100 Euro w złotych,

DGD depozyty gospodarstw domowych w mln złotych,

M3 podaż pieniądza M3 w mln złotych,

BEZ stopa bezrobocia rejestrowanego (%),

PRZEWOZY przewozy ładunków w mln ton,

PRZEŁADUN przeładunki w portach w mln ton,

T trend.

Zbuduj odpowiednie modele ekonometryczne. Określ ich właściwości prognostyczne. Jeśli to możliwe skonstruuj (dobierając odpowiednią metodę) prognozę na dwa kolejne kwartały 2006 roku.

T	EURO	DGD	M3	BEZ	PRZEWOZY	PRZEŁADUN
1	353,15	86009,7	144931,6	12,6	88843	12482
2	361,65	92749,9	154747,6	11,6	99007	13339
3	375,36	99673,3	165037	10,6	99670	12250
4	355,43	109366,9	179602,4	10,3	103808	12914
5	381,53	115528,1	183236,3	10,4	83909	11286
6	378,69	121773	195388,1	9,6	93155	11925
7	397,53	129171,2	206639,4	9,6	101163	13883
8	411,24	138206,2	223913,4	10,4	98944	13902
9	421,44	147416,6	236748,5	12	81261	12170
10	418,81	150198,9	242631,2	11,6	86149	13159
11	416,64	155953,5	252147,9	12,1	92684	11845
12	434,02	159256,9	268867,8	13,1	93898	12505
13	406,51	167789,7	269788,1	14	79671	12540
14	408,44	177312,5	291886,9	13,6	85716	11538
15	397,74	182221,7	289140,2	14	89244	11861
16	391,78	191075,7	300757,3	15,1	88906	11932
17	377,65	201107,4	309465,8	16,1	76508	11683
18	363,16	205482,9	314587,3	15,9	78925	12783
19	367,31	213158,3	325639,6	16,3	79121	11399
20	366,85	203862,4	328433,8	17,5	81084	11889
21	362,14	207721,6	319371,8	18,2	71955	10910
22	366,83	205669,8	322430,2	17,4	75218	12265
23	380,78	202915,5	320850,2	17,6	77933	12000
24	385,57	196324,9	321961,2	18	79693	13791
25	418,45	195654	320913,5	18,6	71291	12146
26	426,87	191650,2	326631	17,7	79291	13911
27	432,1	190351,1	330893,8	17,5	82859	13497
28	439,78	195352,4	342943,4	18	81915	12256
29	477,81	194712,2	342501,3	20,4	72870	13380
30	473,58	191560,4	353318,2	19,4	82976	14271
31	463,27	191497,3	355942,3	18,9	85034	15299
32	453,4	196524,5	373409,1	19	84580	13968
33	403,03	201093,6	380227	19,2	70346	13473
34	408,01	199670,7	391461,3	18	78030	13832
35	406,08	199872,5	400989	17,6	88230	15915
36	402,54	203544	412346	17,6	84326	16259
37	383,22	207337,9	417611,9	17,8	71681	15008
38	394,28	210857,7	437859,5	16	87485	15108

Prognozowanie na podstawie statycznych modeli ekonometrycznych.

Zadanie 1

Dany jest oszacowany liniowy model nominalnej płacy przeciętnej w sześciu działach gospodarki (w tysiącach zł.). Na podstawie danych z przedziału m11 1990 - m3 1993:

W_t nominalna płaca przeciętna w 6-ciu działach gospodarki w tys. zł.

CPI_t indeks cen w punktach %.

Dodatkowe dane:

zbadaj czy model ma dobre właściwości predyktywne,

1. wyznacz prognozę punktową i przedziałową,

2. oblicz średni i względny błąd prognozy ex post,

3. zinterpretuj otrzymane wyniki.

Zadanie 2

Kwartalna sprzedaż środków piorących Y_t w mln zł. W latach 1998-2002 opisano modelem ekonometrycznym w zależności od wydatków na reklamę (x_t w tys. zł.). Otrzymano wyniki:

Wydatki na reklamę w okresach t = 18, 19, 20 wynosiły odpowiednio 10; 12; 14,5 tys. zł.

1. wyznacz prognozę punktową i przedziałową sprzedaży środków piorących na pierwszy kwartał 2003r,

2. oceń dopuszczalność powyższej prognozy, zakładając, że nie może być ona obarczona większym błędem niż 8%.

3. zinterpretuj wyniki.

Zadanie 3

Na podstawie danych z ośmiu lat oszacowano model:

t = 1,2, ..., 8

Należy wyznaczyć prognozę punktową i przedziałową na rok 10 wiedząc, że planowana wielkość zmiennej x na ten okres będzie wynosiła 4. Przyjąć wiarygodność prognozy 0,9 (
).

Zadanie 4

Oszacowano model liniowy:

gdzie: x- dochód w mln zł.,

c- cena w tys. zł/kg,

p- popyt w kg.

Wyniki oszacowań przedstawiają się następująco:

1. Zinterpretuj postać liniową modelu uwzględniając średnie błędy szacunku.

2. Oblicz i zinterpretuj prognozę zmiennej objaśnianej wiedząc, że , natomiast średni błąd prognozy wynosi 2,5.

3. Oblicz i zinterpretuj elastyczności cenowe i dochodowe w punkcie prognozy.

Zadanie 5

Na podstawie statycznego liniowego modelu wydatków gospodarstw domowych na energię (oszacowanego w oparciu o próbę czasową) wyznaczono ich prognozę z wyprzedzeniem jednookresowym: 0,2 mln zł na osobę miesięcznie. Względny błąd prognozy wyniósł 4.5%. Zapisz i zinterpretuj przedział ufności dla wydatków w okresie prognozowanym, przyjmując
=2.01 dla =0.05.

Zadanie 6

Na podstawie próby obejmującej lata 1990-1999 oszacowano parametry funkcji uzależniającej sprzedaż energii elektrycznej (mln MWh) od długości linii przesyłowych (w tys. km) i liczby odbiorców (tys), otrzymując następujące oszacowanie:

gdzie: E - sprzedaż energii, D - długość linii przesyłowych, L - liczba odbiorców.

Wiadomo ponadto, że macierz wariancji i kowariancji estymatorów parametrów strukturalnych jest następująca:

oraz:
,

t=1,2,...,10,
.

Wyznacz prognozę sprzedaży energii na rok 2002 (punktową i przedziałową), czy prognoza jest dopuszczalna, jeśli maksymalny względny błąd prognozy wynosi 5%?

Zadanie 7

Na podstawie 60 obserwacji z okresu 1996M1- 2000M12, gdzie:

Y - produkcja energii w elektrowniach wodnych w województwie Pomorskim (w kWh.),

X₁ - przepływ wody w elektrowniach (w mln m³),

X₂ - czas przestoju elektrowni (w godz.),

oszacowany został następujący model ekonometryczny:

RSK = 1 680 000.

Następnie szereg obserwacji podzielony został na dwie części: od 1996M1 do 1997M12 oraz od 1998M1 do 2000M12. Oszacowane zostały oddzielne modele dla obu podrób:

(1)
RSK = 80 400.

(2)
RSK = 1 580 000.

Stosując odpowiedni test stabilności parametrów strukturalnych modelu, należy ocenić właściwości predyktywne modelu.

Zadanie 8

Oszacowano model sprzedaży produktów firmy Alka-Selther, gdzie, y - wartość sprzedaży firmy w tys. $, x1 - wydatki na reklamy w radio i telewizji w tys. $, x2 - wydatki na pokazy w sklepach tys. $. Dla 10 obserwacji wyniki oszacowania modelu przedstawiają się następująco:

Ponadto wiadomo, że: RSK = 25,5619 oraz
.

Szereg 10 obserwacji podzielono na dwie równe podpróby: t₁ = 5 i t₂ = 5. Uzyskano następujące oszacowanie obu modeli:

(1)

RSK = 0,2194 oraz
;

(2)

RSK = 17,0826 oraz
.

1

5

---