Tw. GREEN'a F(x,y) = [ P(x,y) , Q(x,y) ];

F - pole wektorowe klasy C¹ na obszarze ograniczonym D, którego brzeg jest krzywą kawałkami gładką. Wówczas całkę skierowaną

P(x,y)dx+Q(x,y)Dy = (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy gdzie skierowanie brzegu ℓD jest dodatnie względem obszaru D

P(x,y)dx+Q(x,y)dy= F t dl

Tw. GAUSSA F- pole wektorowe, określone na zbiorze D є R³, D=int D; F jest klasy C¹. ∂D składa się ze skończonej liczby powierzchni klasy C¹ F(x,y,z) n(x,y,z)dS =

f_x(x,y,z)dydz + f_y(x,y,z)dzdx + f_z(x,y,z)dxdy, gdzie n jest orientacją zewnętrzną brzegu ∂D

Tw. STOKESA S - powierzchnia orientalna w R³; ∂S - brzeg S traktowany jako krzywa w R³; F- p. wektorowe klasy C¹ w otocz. powierzch. S. Wówczas: F t dl = rotF n dS, gdzie n jest zgodny ze skierowaniem F brzegu ∂S.

Def. CAUCHY'ego (granica) Funkcja ma granicę w x₀ є D równą g є R (lim f(x)=g) jeżeli dla każdego (ε>0) istnieje (δ>0) :

d(x,x₀)<δ => |f(x)-g|<ε

Def. HEINEGO (granica) F ma granicę w x₀ є D równą g є R (lim f(x)=g) jeżeli dla każdego (x_n є D), gdzie n=1,2,3.. takiego, że lim x_n=x₀ zachodzi lim f(x_n)=g

Tw. WEIERSTRASSA Jeżeli funkcja f jest ciągła na zbiorze domkniętym i ograniczonym K to istnieją punkty p₁ , p₂ є K, takie że: f(p₁)=max f(x) ; f(p₂)=min f(x)

Def. Funkcją LAGRANGE'a związaną funkcją f i odwzorowaniem G zadającym hiperpowierzchnię H nazywamy funkcję:

L(x,Λ) = f(x₁) - λ₁g₁(x) + λ₂g₂(x) +..+ λ_kg_k(x)

Tw. Wzór TAYLORA Jeżeli f jest klasy Cⁿ na przedziale (c,d) oraz istnije f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) w każdym punkcie x є (c,d) to dla ustalonego a є (c,d) i każdego x є (c,d) istnieje punkt Θ leżący między x i a taki, że: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)¹ + (f''(a) / 2!)(x-a)² +..+ (f⁽ⁿ⁾(a) / n!)(x-a)ⁿ + ( f⁽ⁿ⁺¹⁾(a) / (n+1)! )(x-a)ⁿ⁺¹ [jeśli a=0 -wzór Maclaurina]

f(x) = f(a) + ∑ (f⁽ⁿ⁾(a) / n!)(x-a)ⁿ -rozkład funkcji

f w szereg Taylora

Def. Mówimy, że funkcja f określona na obszarze f:D->C jest holomorficzna, gdy dla każdego z є D istnije f'(z)

Równanie Cauchy'ego-Riemanna (C-R) (∂U/∂x = ∂V/∂y) (∂U/∂y = - ∂V/∂x)

Tw. Jeżeli D jest obszarem jednospójnym to funkcja U:D->R jest częścią rzeczywistą (urojoną) funkcji holomorficznej U jest klasy C² oraz dla każdego z=x+jy є D ∆U(x,y)=(∂²U/∂x²) + (∂²U/∂y²) = 0 -równanie Laplace'a

Tw. CAUCHY'ego Jeżeli f:D->C jest funkcją holomorficzną zaś D jest obszarem jednospójnym to dla każdej krzywej zamkniętej C o wartościach w obszarze D kawałkami klasy C¹ f(z)dz = 0

Tw. Wzór CAUCHY'ego Jeżeli f jest funkcją holomorficzną w obszarze D i ciągłą na D, zaś D jest ograniczony to dla każdego punktu z є D f(z) = (1 / 2πj ) ( f(w) / w-z )dw

n-ta pochodna:

f⁽ⁿ⁾(z) = (n! / 2πj) ( f(w) / (w-z)ⁿ⁺¹ )dw

Izolowanym puktem osobliwym funkcji holom orf f:D->C jest każdy punkt z₀ є C spełniającym warunki 1) z₀ є D 2) istnieje R>0, że P(z₀,0,R) D

Punktem osobliwym izolowanym z₀ funkcji holo f nazywamy: 1) pozornie osobliwym, gdy dla każdego n>0 jest a_-n=0 2) biegunem rzędu k, gdy a_-k≠0 oraz a_-n=0 dla n>k 3) istotnie osobliwym, gdy w ciągu a_-n jest nieskończenie wiele wyrazów różnych od 0.

/////////////////////////////////////////////////////////

Niech z₀ będzie izolowanym punktem osobliwym funkcji f holo, wówczas 1) z₀ jest pozornie osobliwym istnieje lim |f(z)|=g є R 2) z₀ jest biegunem rzędu k lim f(z)(z-z₀)^k = a

є C -{0} i lim f(z-z­₀)(z-z₀)ⁿ=0 dla n>k 3) z₀ jest

punktem istotnie osobliwym dla każdego

(a є C) istnieje z_n----->z₀ : lim f(z_n)=a

Residuum ( rez_z=z0f ) funkcji f w izolowanym punkcie osobliwym z₀ to współczynnik a_-1 y rozwinięcia tej funkcji w szereg Laurenta w

P(z­₀,0,R)

Tw. Jeżeli funkcja holomorficzna t ma w obszarze D skończoną liczbę izolowanych punktów osobliwych i C:<a,b>->D jest zamknięta i ograniczona pewien obszar D₁ D nie zawiera punktów osobliwych to

f(z)dz=( 1 / 2πj )( res­­_z=z1f + res­­_z=z2f +..+ res­­_z=zkf ) = 2πj ∑ res_zkf

Tw. Jeżeli z₀ jest biegunem funkcji f to 1) dla k=1: res_z=z0f = lim f(z)(z-z₀) 2) dla k>1: res_z=z0f

= ( 1 / (k-1)! ) lim ( d^(k-1) / dz^(k-1) )( f(z)(z-z₀)^k )

Tw. o funkcji uwikłanej Jeżeli F:D->R jest klasy C¹ oraz istnieje (x₀,y₀) є D takie, że F(x₀,y₀)=0 i det f'(x₀,y₀)≠0 to wówczas istnieją otoczenia U punktu x₀ w R^n-k oraz V punktu y₀ w przestrzeni R^k takie, że: 1) U▫V D 2) istnieje odwzorowanie G które przekształca U->V klasy C¹ takie, że dla każdego (x є U) punktu (x,G(x))jest jednym punktem zbioru {x}·V spełniającym równanie F=(f₁ , f₂ , f₃)

3) G'(x) = - [ F'_x(x,G(x)) ] / [ F'_y(x,G(x)) ]

Tw. GREEN'a F(x,y) = [ P(x,y) , Q(x,y) ];

F - pole wektorowe klasy C¹ na obszarze ograniczonym D, którego brzeg jest krzywą kawałkami gładką. Wówczas całkę skierowaną

P(x,y)dx+Q(x,y)Dy = (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy gdzie skierowanie brzegu ℓD jest dodatnie względem obszaru D

P(x,y)dx+Q(x,y)dy= F t dl

Tw. GAUSSA F- pole wektorowe, określone na zbiorze D є R³, D=int D; F jest klasy C¹. ∂D składa się ze skończonej liczby powierzchni klasy C¹ F(x,y,z) n(x,y,z)dS =

f_x(x,y,z)dydz + f_y(x,y,z)dzdx + f_z(x,y,z)dxdy, gdzie n jest orientacją zewnętrzną brzegu ∂D

Tw. STOKESA S - powierzchnia orientalna w R³; ∂S - brzeg S traktowany jako krzywa w R³; F- p. wektorowe klasy C¹ w otocz. powierzch. S. Wówczas: F t dl = rotF n dS, gdzie n jest zgodny ze skierowaniem F brzegu ∂S.

Def. CAUCHY'ego (granica) Funkcja ma granicę w x₀ є D równą g є R (lim f(x)=g) jeżeli dla każdego (ε>0) istnieje (δ>0) :

d(x,x₀)<δ => |f(x)-g|<ε

Def. HEINEGO (granica) F ma granicę w x₀ є D równą g є R (lim f(x)=g) jeżeli dla każdego (x_n є D), gdzie n=1,2,3.. takiego, że lim x_n=x₀ zachodzi lim f(x_n)=g

Tw. WEIERSTRASSA Jeżeli funkcja f jest ciągła na zbiorze domkniętym i ograniczonym K to istnieją punkty p₁ , p₂ є K, takie że: f(p₁)=max f(x) ; f(p₂)=min f(x)

Def. Funkcją LAGRANGE'a związaną funkcją f i odwzorowaniem G zadającym hiperpowierzchnię H nazywamy funkcję:

L(x,Λ) = f(x₁) - λ₁g₁(x) + λ₂g₂(x) +..+ λ_kg_k(x)

Tw. Wzór TAYLORA Jeżeli f jest klasy Cⁿ na przedziale (c,d) oraz istnije f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) w każdym punkcie x є (c,d) to dla ustalonego a є (c,d) i każdego x є (c,d) istnieje punkt Θ leżący między x i a taki, że: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)¹ + (f''(a) / 2!)(x-a)² +..+ (f⁽ⁿ⁾(a) / n!)(x-a)ⁿ + ( f⁽ⁿ⁺¹⁾(a) / (n+1)! )(x-a)ⁿ⁺¹ [jeśli a=0 -wzór Maclaurina]

f(x) = f(a) + ∑ (f⁽ⁿ⁾(a) / n!)(x-a)ⁿ -rozkład funkcji

f w szereg Taylora

Def. Mówimy, że funkcja f określona na obszarze f:D->C jest holomorficzna, gdy dla każdego z є D istnije f'(z)

Równanie Cauchy'ego-Riemanna (C-R) (∂U/∂x = ∂V/∂y) (∂U/∂y = - ∂V/∂x)

Tw. Jeżeli D jest obszarem jednospójnym to funkcja U:D->R jest częścią rzeczywistą (urojoną) funkcji holomorficznej U jest klasy C² oraz dla każdego z=x+jy є D ∆U(x,y)=(∂²U/∂x²) + (∂²U/∂y²) = 0 -równanie Laplace'a

Tw. CAUCHY'ego Jeżeli f:D->C jest funkcją holomorficzną zaś D jest obszarem jednospójnym to dla każdej krzywej zamkniętej C o wartościach w obszarze D kawałkami klasy C¹ f(z)dz = 0

Tw. Wzór CAUCHY'ego Jeżeli f jest funkcją holomorficzną w obszarze D i ciągłą na D, zaś D jest ograniczony to dla każdego punktu z є D f(z) = (1 / 2πj ) ( f(w) / w-z )dw

n-ta pochodna:

f⁽ⁿ⁾(z) = (n! / 2πj) ( f(w) / (w-z)ⁿ⁺¹ )dw

Izolowanym puktem osobliwym funkcji holom orf f:D->C jest każdy punkt z₀ є C spełniającym warunki 1) z₀ є D 2) istnieje R>0, że P(z₀,0,R) D

Punktem osobliwym izolowanym z₀ funkcji holo f nazywamy: 1) pozornie osobliwym, gdy dla każdego n>0 jest a_-n=0 2) biegunem rzędu k, gdy a_-k≠0 oraz a_-n=0 dla n>k 3) istotnie osobliwym, gdy w ciągu a_-n jest nieskończenie wiele wyrazów różnych od 0.

/////////////////////////////////////////////////////////

Niech z₀ będzie izolowanym punktem osobliwym funkcji f holo, wówczas 1) z₀ jest pozornie osobliwym istnieje lim |f(z)|=g є R 2) z₀ jest biegunem rzędu k lim f(z)(z-z₀)^k = a

є C -{0} i lim f(z-z­₀)(z-z₀)ⁿ=0 dla n>k 3) z₀ jest

punktem istotnie osobliwym dla każdego

(a є C) istnieje z_n----->z₀ : lim f(z_n)=a

Residuum ( rez_z=z0f ) funkcji f w izolowanym punkcie osobliwym z₀ to współczynnik a_-1 y rozwinięcia tej funkcji w szereg Laurenta w

P(z­₀,0,R)

Tw. Jeżeli funkcja holomorficzna t ma w obszarze D skończoną liczbę izolowanych punktów osobliwych i C:<a,b>->D jest zamknięta i ograniczona pewien obszar D₁ D nie zawiera punktów osobliwych to

f(z)dz=( 1 / 2πj )( res­­_z=z1f + res­­_z=z2f +..+ res­­_z=zkf ) = 2πj ∑ res_zkf

Tw. Jeżeli z₀ jest biegunem funkcji f to 1) dla k=1: res_z=z0f = lim f(z)(z-z₀) 2) dla k>1: res_z=z0f

= ( 1 / (k-1)! ) lim ( d^(k-1) / dz^(k-1) )( f(z)(z-z₀)^k )

Tw. o funkcji uwikłanej Jeżeli F:D->R jest klasy C¹ oraz istnieje (x₀,y₀) є D takie, że F(x₀,y₀)=0 i det f'(x₀,y₀)≠0 to wówczas istnieją otoczenia U punktu x₀ w R^n-k oraz V punktu y₀ w przestrzeni R^k takie, że: 1) U▫V D 2) istnieje odwzorowanie G które przekształca U->V klasy C¹ takie, że dla każdego (x є U) punktu (x,G(x))jest jednym punktem zbioru {x}·V spełniającym równanie F=(f₁ , f₂ , f₃)

3) G'(x) = - [ F'_x(x,G(x)) ] / [ F'_y(x,G(x)) ]

---