Granica funkcji

Granica funkcji.
Sumę przedziałów nazywamy sąsiedztwem punktu
o promieniu . Sąsiedztwo oznaczamy symbolem
Niech funkcja będzie określona w sąsiedztwie punktu (wartość może nie istnieć).
Definicja: (granicy funkcji w punkcie według Heinego).
Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie , jeżeli dla każdego ciągu argumentów o wyrazach i zbieżnego do ciąg wartości funkcji
jest zbieżny do .
Zapisujemy to:
Przykład: Obliczyć granicę: Funkcja ta jest określona w każdym sąsiedztwie
punktu =-1. Nie jest ona jednak określona w punkcie =-1. Niech będzie dowolnym ciągiem argumentów takim, że Badamy ciąg wartości ,
gdzie Zatem:
Stąd: =-2.
Wykazać, że nie istnieje granica funkcji w punkcie =0
Funkcja jest określona w każdym sąsiedztwie punktu =0, ale nie jest określona w punkcie
=0. Niech Wówczas
Badamy ciąg wartości ,oraz

Zatem
Tak więc w punkcie =0 nie istnieje granica funkcji ponieważ dla dwóch różnych ciągów argumentów zbieżnych do zera odpowiadające im ciągi wartości są zbieżne do różnych granic

Definicja: (granicy funkcji w punkcie według Cauchy`ego).
Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie jeśli dla każdego istnieje taka liczba że dla każdego i takiego, że spełniona jest nierówność:
Rys1:
Możemy zatem zapisać:

Twierdzenie: Jeżeli to;
1).
2).
3).
4). , przy założeniu, że w sąsiedztwie punktu oraz
Twierdzenie: Jeśli funkcja jest funkcją wymierną to znaczy , gdzie
są wielomianami i punkt nie jest miejscem zerowym wielomianu ,
to:
· Granice niewłaściwe
Niech funkcja będzie określona w pewnym sąsiedztwie punktu
Definicja (Heinego): Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą , jeżeli dla każdego ciągu zbieżnego do i takiego, że ciąg jest rozbieżny
do
Definicja (Cauchy`ego):

Definicja (Heinego): Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą , jeżeli dla każdego ciągu zbieżnego do i takiego, że ciąg jest rozbieżny
do .
Definicja (Cauchy`ego):

Ilustracja graficzna:

· Granice jednostronne
Sąsiedztwem prawostronnym punktu nazywamy przedział i oznaczamy symbolem:
Sąsiedztwem lewostronnym punktu nazywamy przedział i oznaczamy symbolem:
Niech funkcja będzie określona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie
punktu .
Definicja (Heinego): Liczbę nazywamy granicą prawostronną funkcji w punkcie jeżeli dla każdego ciągu argumentów o wyrazach i zbieżnego do ciąg wartości funkcji jest zbieżny do
Definicja (Cauchy`ego):

Niech funkcja będzie określona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie
punktu .
Definicja (Heinego): Liczbę nazywamy granicą lewostronną funkcji w punkcie jeżeli dla każdego ciągu argumentów o wyrazach i zbieżnego do ciąg wartości funkcji jest zbieżny do
Definicja (Cauchy`ego):

Rozważana poprzednio funkcja ma granicę prawostronną oraz
lewostronna
Granicę lewostronną i granicę prawostronną nazywamy granicami jednostronnymi.
Funkcja ma w punkcie granicę wtedy i tylko wtedy gdy posiada obie granice jednostronne i są one równe.
Można również mówić o granicach jednostronnych niewłaściwych.
· Granica funkcji w nieskończoności:
Niech funkcja będzie określona w przedziale
Definicja (Heinego).
1. Funkcja ma w granicę , jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach
i rozbieżnego do , ciąg jest zbieżny do .
Możemy zapisać:
2. Funkcja ma w granicę niewłaściwą jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach i rozbieżnego do , ciąg jest rozbieżny do .
Możemy zapisać:
3. Funkcja ma w granicę niewłaściwą jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach i rozbieżnego do , ciąg jest rozbieżny do .
Możemy zapisać:
Definicja (Cauchy`ego):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Pominiemy definicje granic przy
Przykład: Obliczyć granice:

Twierdzenie:

---