1. Definicje : Funkcja f ma w punkcie (x_{0 ,} y_o) € M warunkowe max/min lokalne, gdy :istnieje takie otoczenie U tego punktu, ze ^ (≥)

(x,y) € U ∩ M f(x,y) ≤f(x_o, y_o)

2.Funkcja wielu zmiennych z = f(x,y) = x²(x-1)² + y² D_f = R²

1. F `_x = 2x(x-1)(2x-1)

F ` _y = 2y

2.Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f :

2x(x-1)(2x-1)=0

2y=0

3. P₁=(0,0) P₃

P₂=(1,0)

3. Symbol Newtona Leibniza : F(b) - F(a) = F(x)^b_a = [F(x)]_a^b

Wzór Leibniza : Jeżeli f i g są różniczkowalne w punkcie X_o to

(fg)⁽ⁿ⁾ = ∑ⁿ_k=0 (ⁿ_k) f ^(n-k) g^k

4. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie X₀ i ma w tym punkcie ekstremum lokalne to f ` (x_o) = 0

5.Elastycznoscia funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice :

E_f(x) = lim_∆x→0 ^∆y/y/^∆x/x

6.Funcka f ma w punkcie X_{o­_}min/min lokalne , gdy istnieje takie otoczenie U_xo , ze dla każdego każdego x € U_xo zachodzi nierówność :

f(x) ≥^(min)/≤^(max) f(x_o)

Funkcja f ma w punkcie X₀ silne min/max lokalne , gdy istnieje takie otoczenie U_{xo ,} dla każdego X_o € U_xo f(x) >^(min)/<^(max) f(x_o)

7.Macierz Hessego :

H_f (x_o) = [ f ”x_i x_j (x)]_nn

8.Definicja metryki : Metryka w zbiorze X nazywamy funcje d:X X → [0 , ∞) która spelnia następujące warunki zwane aksjomatami metryki :

1. d(x,y) = 0 x = y

2. ^_x,y,z€_X d(x,y) = d(y,x) symetria

3. ^_x,y,z€_X d(x,y) + d(y,z) ≥ d(x,z)

Metryka dyskretna : W każdym niepustym zbiorze X można zdefiniować metryke wzorem:

d(x,y) = {^{0 dla x≠y oraz 1 dla x≠y}}

9.Całka niewłaściwa : ⌠_a^+∞ f(x)dx = lim_β→∞ ⌠^β_a f(x)dx

10. Otoczeniem punktu X € X nazywamy każdy otwarty zbior zawirajacy punkt X

S_x = U_x \ {x}

nazywa się sąsiedztwem punktu X

Zbior A nazywamy zbiorem domkniętym , gdy roznica : A' = X/A

Jest zbiorem otwartym.

11.Warunek konieczny zbieżności szeregu :

Jeżeli szereg ∑ a_n jest zbiezby to lim_n→∞ a_n = 0

Wniosek : Jeśli lim_n→∞ a_n ≠ 0 lub nie istnieje to szereg ∑ a_n jest rozbieżny.

Szeregi liczbowe - (a_n) nieskończony ciag liczbowy

S_n ^dt = ∑ⁿ_i=1 a_n = a₁ + a₂ + ... a­_n

(S_n) - ciag sum czesciowych

Szereg liczbowy * nazywamy zbieznym jezeli istnieje skończona granica

S ^dt = lim_u→∞ S_n , gdy granica ta jest rowna ^+-∞ lub istnieje suma szeregu liczbowego.

Warunki wystarczające Kryteria zbiezbosci szeregow o wyrazach dodatkich

∑_an , a_n>0 (n€N)

1.Kryterium d'Alemberta D=lim_n→∞ a_n+1/a_n­ to

D < 1 => szereg zbiezny

D > 1 => szereg rozbiezny

D = 1 => nie wiadomo

2.Kryterium pierwiastowe Cauchy'ego :

C = lim_n→∞ ⁿ√a_n to ,

C > 1 => szereg zbiezny

C < 1 => szereg rozbiezny

C = 1 => nie wiadomo

Warunek konieczny zbieżności szeregu : ∑ a_n jest zbieżny lim_n→∞ a_n = 0

Szereg zbieżny : ∑^∞_n-1 1/n^∞ - zbieżny dla (slownie bo nie mam znaczka ALFA >1 )

- rozbieżny dla ( ALFA ≤ 1 )

12. Pochodna funkcji w punkcie X_o F `(x_o)

f ` (x_o) = lim_∆x→0 f(x_o + h) + f(x_o)

∆x

13. Macierz Hessego : H_f (x_o) = [ f ” x_ix_j x_o)]_nn

14. Twierdzenie Langrange'a (o wartosci sredniej)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w (a,b) i różniczkowalna w przedziale (a,b)

to istnieje liczba c € (a,b) takie, ze f ` c = ^{f(b) - (f(a)}

^{b - a}

A teraz jak policzyc całke ;-) ?

⌠³√x * ⌠³√x + 1 dx =

√x √x

⌠x e^-x dx =

www.student.e-tools.pl

---