24.02.2008r.

ELEMENTY MATEMATYKI FINASOWEJ

DR. TADEUSZ MIŁOSZ

BEZ ZASADY INDUKCJI MATEMATYCZNEJ(w zeszycie)

Zysk, kapitał , akumulacja, czynnik akumulacji

Zysk - jest to wynagrodzenie za wykorzystanie pieniędzy - K(t) - K(o)

Kapitały - są to pieniądze zainwestowane bez odsetek - K = K(o)

Akumulacja (zwrot) - jest to funkcja opisująca zmienność w czasie kapitału i zysku.

Kapitał + Zysk < to zwrot = K(t)

Stopa zysku jest to stosunek zysku do kapitalu

Zysk K(t) - K(o)

=

Kapitał K(o)

Będziemy rozpatrywać na wykładzie różne operacje finansowe:

- programy oszczędnościowe i inwestycyjne

- lokaty terminowe i renty

- kredyty z rozmaitymi schematami (planami) wpłat

- sposób przeprowadzania takich operacji jest na ogół przedmiotem szczegółowych umów. Przedstawimy niektóre standardowe pojęcia występujące w takich umowach.

Termin płatności, jest to czas , który dana własność ma być dokonana.

Mówimy też o zapadalności płatności .

Wartość pieniądza w czasie - jest to pojęcie oparte na założeniu , że ta sama suma pieniędzy dziś i jutro ma inną wartość dla szczęśliwego posiadacza.

Zadaniem powyższego pojęcia jest porównywanie różnych operacji finansowych.

Strumień pieniądza- jest to kolejne pojęcie służące do zarządzania pieniądzem. Interesować nas będą sposoby obliczania i parametry potrzebne do porównań a nie zewnętrzne warunki, operacje takie , jak ryzyko, stabilność polityczna, trendy gospodarcze. O tych warunkach nie należy zapominać, ale nie będziemy ich uwzględniać.

Pieniądze maja swoje jednostki.

Czynnik akumulacji

____________________________>

0 K(s) K(t)

Czynnik akumulacji A(s,t) jest to funkcja opisująca akumulację jednostki pieniężnej od czasu s do czasu t, to jest dla każdego (s(t) = K(t) przy założeniach

K(t)

A(s,t) = <___> K(t) = A(s,t)K(s)

K(s)

Odsetki proste i złożone (procent prosty i złożony)

Procent prosty - skład K włożony do banku na procent prosty przy stopie i w danym okresie przynosi po tym okresie zwrot kapitału K oraz iK odsetek .

K(1) = K + iK = K (1+i) w tym iK odsetki

Jeżeli pozostawimy K na dłużej to zwrot po dwóch okresach wyniesie:

K(2) = K + iK +iK = K (1+2i) w tym 2iK odsetki

Zwrot po n okresach wynosi:

K(n) = K(1+n) w tym NIK odsetki.

Można rozszerzyć definicję procentu prostego na dowolny czas t, przy okresie oprocentowania T i stopie procentowej i w tym okresie. Zwrot po czasie tT .

t

Kit = k(1+ i) , ta umówiona definicja, nie zawsze jest praktycznie użyteczna.

T

Procent złożony- wkład K włożony do banku na procent złożony w stopie i w danym okresie przynosi po tym okresie zwrot kapitału K zraz iK zysku.

K(1) = K + iK = K(1+i) w tym odsetki

Jeżeli pozostawimy kapitał na dłużej, to zwrot po dwóch okresach mamy:

K(2) = Kt + iK + i(K+iK) = K +2iK + i²K = K(1+i)² w tym odsetki 2iK +i²K

Zwrot po n okresach jest równy

K(n) = K(1+i)² w tym odsetki K(1+i)²-K = K(1+i)²-1)

powyższą definicje procentu składanego można uogólnić na dowolny czas t przy okresie oprocentowania T i stopie procentowej i w tym okresie.

Zwrot po czasie t wyniesie K(t) = (1+i) do potęgi t/T

To ogólna definicja , nie zawsze jest praktyczna.

Kluczową rolę w powyższych pojęciach grają okresy oprocentowania. Jeśli składamy depozyt K na dwa okresy to po pierwszym okresie otrzymujemy o trzymujemy zwrot K + iK- odsetki. Przy umowie na procent prosty kapitał K pracuje dalej a zysk iK jest odkładany i nie procentuje. Przy umowie na procent składany zysk jest dopisywany do kapitału i w kolejnym okresie procentuje. Kapitalizacja odsetek jest to dopisywanie zysku do kapitału.

Na ogół umowy opierają się w długich okresach na procencie składanym, w przeciwnym razie w bankach utworzyłyby się długie kolejki wyjmujące kapitał i zysk na konie okresu i natychmiast wpłacając na kolejny okres, zyskując na tej operacji i²K, ale tracąc czas.

Procent prosty jest wykorzystywany do obliczania oprocentowania za niepełne okresy przechowywania oszczędności.

---