LISTA ZADAŃ NR 6,7 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ
Algebra i teoria liczb

1. Zbadać czy funkcja f(x,y) jest działaniem w zbiorze A dla:

a) f(x,y)=x+y+1 i A=N,

b) f(x,y)=x-y-1 i A=Z,

c) f(x,y)=x⋅y+1 i A=N,

d) f(x,y)=x/y+x i A=Q,

określić własności działań, wyznaczyć element neutralny działania oraz element odwrotny do każdego a∈A i sprawdzić czy zachodzi dla działań prawo skracania.

2. Czy zbiór A z działaniem f(x,y) jest półgrupą oraz czy jest grupą:

a) A=Q f(x,y)=x+y-1,

b) A=N f(x,y)=x+y,

c) A=Q f(x,y)=x-y,

d) A=R f(x,y)=x⋅y,

e) A=Q\{0} f(x,y)=x⋅y.

3. Wyznaczyć tablicę działania ° dla grupy permutacji S₃.

4. Obliczyć σ^-1, τ^-1,τ°σ, σ°τ oraz τ°σ²,σ°τ² dla

i
.

5. Zbadać czy poniższe algebry są pierścieniami

a) (Z,+, ⋅),

b) (W[x],+,⋅) , gdzie + to działanie dodawania wielomianów, ⋅ to działanie mnożenia wielomianów,

c) ({0,1,2}, +,⋅) gdzie działania określone są tablicami:

+	0	1	2		⋅	0	1	2
0	0	1	2		0	0	0	0
1	1	2	0		1	0	1	2
2	2	0	1		2	0	2	1

6. Zbadać czy relacja ℜ={(x,y)x∈R ∧ y∈R ∧ x=y } jest kongruencją a) w algebrze (R,+),

b) w algebrze (R,⋅).

7. Wyznaczyć NWD i NWW dla par liczb:

a) a=56 i b=35, b) a=309 i b=186,

c) a=233 i b=144, d) a=12378 i b=3054,

e) a=6409 i b=42823.

8. Wyznaczyć liczby całkowite x i y takie, że ax+by=NWD(a,b)

a) a=56 i b=35, b) a=309 i b=186,

c) a=233 i b=144, d) a=12378 i b=3054.

9. Rozwiązać równania

a) 3x=1 w Z₅, b) 5x=3 w Z₆,

c) 7x=5 w Z₉, d) 2x=1 w Z₄.

10. Wyznaczyć rzędy poszczególnych elementów w grupach multiplikatywnych:

a) Z*_7, b) Z*₁₂ c) Z*₁₄,

czy są to grupy cykliczne?

---