Moment bezwładności Z II zasady dynamiki: wypadkowy moment sił jest proporcjonalny do przyspieszenia kątowego M. = I*ε, stała proporcjonalności I w tym wzorze nosi nazwę momenty bezwładności ciała względem danej osi. Jest ona miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym, podobnie jak masa jest miara bezwładności w ruchu postępowym. Jeśli przedstawimy ciało sztywne jako zespół punktów materialnych o masach m₁, m₂, ... odległych od osi o r₁, r₂ ..... to moment bezwładności wyraża się wzorem I = m₁r₁² + m₂r₂²+ .... Moment bezwładności jest tym większy im większa jest masa i im dalej od osi jest rozłożona. [kg*m²].

Siły van der Waalsa. Własności gazów rzeczywistych najlepiej opisuje van der Waalsa, w który zawarte są dwie poprawki: 1) objętość własna cząsteczek gazu; objętość swobodna gazu jest zatem mniejsza od objętości naczynia o objętość własną, którą oznaczamy literą b (dla jednego mola gazu); 2) siły międzycząsteczkowe; wskutek wzajemnego przyciągania się cząsteczek gazu, ciśnienie całkowite jest sumą ciśnienia zewnętrznego i wewnętrznego, która wynosi ......... (p + .........)(V_o-b)=RT; a i b stałe charakterystyczne dla danego gazu pV₀³-(pb+RT)V₀²+aV₀-ab=0, V_c³-(b+.........)V₀²+.........=0. Uwzględniając równanie trzeciego stopnia to: (V_o-V_okr)³=0, czyli V_o³-3V_o² V_okr+3 V_o V²_okr- V³_okr=0, wynikają związki ................., czyli ................

Prawo Gaussa dotyczy zależności strumienia elektrycznego przechodzącego przez dowolną zamkniętą powierzchnię od ładunku ku znajdującego się w obszarze zamkniętym. Natężenie pola E w dowolnym punkcie tej powierzchni: E =q/4πεR², strumień elektryczny przez powierzchnię kuli ψ_E=_f Eds=q/4πεR^2, czyli ψ_E=ku/ε. Natężenie pola elektrycznego na granicach dielektryków. Na granicy dwóch ośrodków występuje nieciągłość przebiegu linii sił. Dowolny punkt A na powierzchni I i II E_A(I)=ku/4πε₁R², to E_A(II)=ku/4πε₂R²to E_A(I)= =E_A(II)=ε₂, w przypadku gdy wektor ma kierunek ukośny względem powierzchni granicznej rozkładamy go na składowe ε₁E_1n=ε₂E_2n. Składowe normalne natężenia pola przy przejściu przez powierzchnie graniczne rozdzielające dwa dielektryki zmieniają się odwrotnie proporcjonalnie do przenikalności elektrycznych E_1n/E_2n= ε₁/ε₂. Składowa styczna natężenia pola na granicy dwóch ośrodków nie ulega zmianie E_1t=E_2t

Przez ruch ciała rozumiemy zmianę jego położenia w stosunku do innych ciał, które uważamy za nieruchome. Ciała te nazywamy układem odniesienia Np. ruch pociągu można rozpatrywać względem ciał w stosunku do ziemi nieruchomych; drzew budynku. Podczas swego ruchu punkt materialny przesuwa się do coraz innych punktów przestrzeni Zbiór tych punktów stanowi tor ruchu, który maże być linią prostą lub krzywą W zależności od kształtu toru mamy do czynienia z ruchem prostoliniowym lub krzywoliniowym. Ruch prostoliniowy można podzielić na; jednostajny, jednostajnie przyspieszony jednostajnie opóźniony. W ruchu Jednostajnym można wyróżnić następujące zależności przyspieszenie a=0 , Δv=0; prędkość v=const. , Vsr=V ; droga s=Vt ruch jednostajnie przyspieszony a>0 a=const. Δv=at , Δv>0; prędkość V=Vo+at , Vsr Vo+V/2 ; droga S=Vot+at² , S=Vo+V/2*t S=V²-Vo²/2a ; ruch jednostajnie opóźniony przyspieszenie a<0 , a=const , ΔV=at , ΔV<0 prędkość V=Vo-/a/t , Vśr=Vo+V/2 ; droga S=Vot-/a/t²/2 , S=Vo+v/2*t , S=Vo²-V²/a/. Szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch jednostajny po okręgu. Na rysunku przedstawiłem wektory prędkości liniowej i wektory przyspieszenia dośrodkowego w wybranych punktach okręgu. Oprócz prędkości liniowej do opisu ruchu po okręgu używamy prędkości kątowej. Prędkością kątową nazywamy stosunek kąta ΔΦ jaki został zakreślony przez wektor położenia punktu materialnego do czasu Δt w którym to nastąpiło ω= ΔΦ/Δt

Dudnienie. Przy nałożeniu się drgań harmonicznych o niewiele różniących się pulsacjach powstaje drganie złożone, które nazywamy dudnieniem. Załóżmy, że drgania składowe mają jednakowe amplitudy x₁=Acosω₁t=Acos(ω+......)t; x₂=Acos(ω+......)t, gdzie ω =ω₁+ ω₂/2 , .......=ω₂+ ω₁/2. Drganie wypadkowe wyraża się wzorem x=Acos(ω+......)t+Acos(ω-.......)t=2Acos......cosωt=Acosωt Amplituda ta zmienia się periodycznie w czasie. Dudnienie można usłyszeć gdy, np. w Instrumentach muzycznych dwie struny są nastrojone na niewiele różniące się tony: kiedy obie struny wydają dźwięk, słyszymy dudnienie.

Prawo Gaussa dotyczy zależności strumienia elektrycznego przechodzącego przez dowolną zamkniętą powierzchnię od ładunku ku znajdującego się w obszarze zamkniętym. Natężenie pola E w dowolnym punkcie tej powierzchni: E =q/4πεR², strumień elektryczny przez powierzchnię kuli ψ_E=_f Eds=q/4πεR^2, czyli ψ_E=ku/ε. Natężenie pola elektrycznego na granicach dielektryków. Na granicy dwóch ośrodków występuje nieciągłość przebiegu linii sił. Dowolny punkt A na powierzchni I i II E_A(I)=ku/4πε₁R², to E_A(II)=ku/4πε₂R²to E_A(I)= =E_A(II)=ε₂, w przypadku gdy wektor ma kierunek ukośny względem powierzchni granicznej rozkładamy go na składowe ε₁E_1n=ε₂E_2n. Składowe normalne natężenia pola przy przejściu przez powierzchnie graniczne rozdzielające dwa dielektryki zmieniają się odwrotnie proporcjonalnie do przenikalności elektrycznych E_1n/E_2n= ε₁/ε₂. Składowa styczna natężenia pola na arenie/ dwóch ośrodków nie ulega zmianie E_1t=E_2t

Siły van der Waalsa. Własności gazów rzeczywistych najlepiej opisuje van der Waalsa, w który zawarte są dwie poprawki: 1) objętość własna cząsteczek gazu; objętość swobodna gazu jest zatem mniejsza od objętości naczynia o objętość własną, którą oznaczamy literą b (dla jednego mola gazu); 2) siły międzycząsteczkowe; wskutek wzajemnego przyciągania się cząsteczek gazu, ciśnienie całkowite jest sumą ciśnienia zewnętrznego i wewnętrznego, która wynosi ......... (p + .........)(V_o-b)=RT; a i b stałe charakterystyczne dla danego gazu pV₀³-(pb+RT)V₀²+aV₀-ab=0, V_c³-(b+.........)V₀²+.........=0. Uwzględniając równanie trzeciego stopnia to: (V_o-V_okr)³=0, czyli V_o³-3V_o² V_okr+3 V_o V²_okr- V³_okr=0, wynikają związki ................., czyli ................

Ruch falowy. Zaburzenia ośrodka materialnego przenoszące się z pewną prędkością z jednego punktu przestrzeni do innych punktów nazywamy falą mechaniczną. Fale mechaniczne dzieli się na fale poprzeczne i podłużne. Fala poprzeczna to taka fala, której ruch ośrodka następuje prostopadle do kierunku rozchodzenia się fal, fala podłużna jest to fala, której ruch ośrodka następuje równolegle do kierunku rozchodzenia się fal. Jest regułą, że fale mechaniczne poprzeczne mogą powstawać tylko w takich ośrodkach, które charakteryzują się sprężystością postaciową. Fale podłużne mogą natomiast powstawać w ośrodkach o sprężystości objętościowej lub postaciowej. Prędkość fal - prędkość, z jaką rozchodzi się w przestrzeni zaburzenie ośrodk. Dla fali poprzecznej ....... F- siła przyłożona prostopadle do struny do jej długości, m1- masa przypadająca na jednostkę długości struny. Dla fali podłużnej - w ciałach stałych ........ E - moduł Younga, ξ - gęstość materiału, - w gazach .......γ - stałą dla danego gazu, p - ciśnienie gazu. W praktyce można spotkać się z ruchem falowym w postaci ciągu fal, w którym następujące po sobie regularne zaburzenia wytworzone w źródle są przekazywane przez ośrodek np. fala sinusoidalna ciągła w fali takiej wszystkie cząsteczki ośrodka drgają wokół swych położeń równowagi ruchem harmonicznym o tym samym czasie, lecz o różnej fazie początkowej. Równanie x=X₀simω(t-z/v) jest kinematycznym równaniem ruchu dla fali sinusoidalnej o jednej częstotliwości. Parametry fal: powierzchnia falowa jest to powierzchnia utworzona z punktów ośrodka znajdujących się w tej samej fazie drgania są to zwykle punkty jednakowo odległe od źródła fali. Czoło fali jest to powierzchnia fal, która jest najbardziej oddalona od źródła. Fala kulista jest to fala, której powierzchnie falowe są współśrodkowymi kulami, w których środku znajduje się źródło fali. Długość fali jest to odległość między dwoma powierzchniami falowymi różniącymi się fazą o 2Π-λ=v/f=2Πv/ω.

Prawo Maxwella stwierdza, że zmieniające się w czasie pole elektryczne wytwarza wirowe pole magnetyczne. Linie indukcji pola magnetycznego leżą zwykle w płaszczyznach prostopadłych do linii sił pola elektrycznego. Prawo to obowiązuje w ośrodkach jak i w próżni. Jeśli pole elektryczne zmienia się w czasie sinusoidalnie to i pole magnetyczne zmienia się sinusoidalnie. Indukcja wytwarzanego pola magnetycznego jest taka że ∫B*dl obliczona po dowolnej linii zamkniętej jest równa szybkości zmiany strumienia wektora natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię rozpiętą na tej linii zamkniętej pomnożonej przez iloczyn ε₀*μ₀ w przypadku próżni lub przez ε*μ w przypadku ośrodka materialnego. ∫B*dl=ε₀*μ₀*(dΦ_ε/dt)

Zasady dynamiki

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła bądź działające wypadkowe sił się równoważą to ciało to pozostaje w spoczynku bądź porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym Jest to zasada powszechnie znana jako zasada bezwładność ciała. Np. Pasażerowie jadący tramwajem przewracają się przy nagłym zahamowaniu pojazdu, gdyż wskutek swej bezwładności nadal poruszają się do przodu z poprzednią prędkością, mimo tego, że tramwaj już swoją prędkość zmienił. Pierwsza zasada dynamiki leży u podstaw statyki punktu materialnego. Określa ona bowiem warunki, przy spełnieniu których punkty materialne spoczywają. Jeżeli punkt materialny ma spoczywać to wg. I zasady dynamiki nie mogą na niego działać żadne siły zewnętrzne lub gdy siły takie działają to ich wypadkowa musi być równa zeru. Oznacza to że warunek konieczny jaki musi być spełniony bt punkt materialny spoczywał można zapisać w postaci ...................... W II zasadzie dynamiki podaje się zwykle dwa sformułowania tej zasady. Wg pierwszego: ciało, na które działa siła niezrównoważona, porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do wartości tej siły, skierowanym i zwróconym tak samo jak działająca na dato siła. Im większa jest masa data tym większą siła trzeba działać na to ciało by nadać mu to samo przyspieszenie. Drugą zasadę dynamiki w jej pierwszym sformułowaniu można wyrazić następującą zależnością F=ma. W drugim sformułowaniu które jest poprawne również wtedy gdy ruch ciała będzie się odbywał z bardzo wielką prędkością przy której wystąpi zmiana masy opisana wzorem ................Wymaga to jednak zdefiniowania dwóch nowych wielkości dynamicznych: pędu ciała i popędu siły .Pędem ciała nazywamy wielkość wektorową równą iloczynowi masy data i jego prędkości p=mv. Popędem siły nazywamy iloczyn siły i czasu, w ciągu którego ta siła działa na ciało. Druga zasada dynamiki w swoim sformułowaniu brzmi: Przyrost pędu ciała jest równy popędowi siły działającej na to ciało Π=F Δt .III zasada dynamiki brzmi następująco; Jeżeli ciało A działa na ciało B z pewną siłą to ciało B działa na ciało A z siłą równą co do wartości i kierunku ale przeciwnym zwrocie wektorowo F_ab=-F_ba, skalarnie F_ab=F_ba. Siły wynikające z III zasady dynamiki są przyłożone do różnych ciał, a zatem błędem byłoby twierdzić, że się równoważą. Równoważyć się tylko mogą siły przyłożone do jednego ciała. III zasada informuje nas o tym ze każdemu działaniu towarzyszy przeciwdziałanie Np. jeżeli naciskamy palcem na stół to czujemy ze stół także oddziałuje na nasz palec i to tym silniej im silniej naciskamy. Siły zawsze występują parami.

Moment pędu L punktu materialnego o masie m. i wektorze wodzącym r, poruszającego się z prędkością v względem osi obrotu odległej o r od tego punktu, definiujemy wzorem L=rxvm. Wektor momentu pędu jest skierowany zgodnie z osią obrotu. Jego wartość bezwzględna, wynosi L=rmv=mr²ω. Moment pędu bryły jest sumą momentów pędów wszystkich jej punktów, czyli L=Σm₁r₁²=ωΣm₁r₁²=Iω Moment pędu bryły równa się iloczynowi jej prędkości kątowej i momentu bezwładności. Pochodna momentu pędu bryły względem czasu jest równe momentowi siły działającej na tę bryłę M.=aI=Idω/dt=d(Iω)/dt=dL/dt.

Ruch po okręgu. Gdy ciało porusza się po okręgu wektor jego prędkości, stycznego toru, będzie stale zmieniał swój kierunek. Oznacza to, że wektor prędkości nie jest stały a zatem ruch po okręgu jest ruchem zmiennym. Jeżeli jednak wektor prędkości zmieniając swój kierunek zachowa przy tym stałą wartość to taki ruch będzie ruchem jednostajnym po okręgu. Ruch jednostajny po okręgu jest ruchem okresowym tzn. ruchem, który powtarza się w regularnych odstępach czasu. Okres, który definiujemy jako czas trwania jednego pełnego obiegu jest przy tym równy T=2Πr/v r- promień okręgu v - prędkość ciała poruszającego się po okręgu. Liczbę pełnych obiegów wykonanych w jednostce czasu nazywamy częstotliwością ruch po okręgu. Częstotliwość f i okres T są ze sobą związane zależnością T=1/f [sek=l/Hz]. Przyspieszenie w ruchu jednostajnym po okręgu jest skierowane wzdłuż promienia okręgu i zwrócone do środka okręgu dlatego właśnie przyspieszenie w tym ruchu nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym lub normalnym ................... Przyspieszenie ciała w ruchu jednostajnie zmiennym po okręgu można rozłożyć na dwie składowe: normalną - odpowiedzialna za zmianę kierunku prędkości ciała i styczną - odpowiedzialną za zmianę wartości prędkości ciała a=lim[(ΔV₁+ ΔV₂)/Δr.

Rzut ukośny. Ciało wyrzucone z prędkością początkową V₀ tworzą kąt φ z poziomem. Jeżeli układ współrzędnych obierzemy tak, aby oś y była skierowana pionowo w górę i aby w chwili początkowej ciało znajdowało się w początku układu, to przyspieszenie ciała w czasie rzutu będzie równe przyspieszeniu ziemskiemu i będzie skierowane pionowo w dół. Współrzędne prędkości ciała wynoszą V_0x=v₀cosφ, V_0y=v₀sinφ W kierunku poziomym ruch jest jednostajny, ponieważ a,=0, więc x=V_0xt=V₀tcosφ. W kierunku poziomym ruch jest jednostajnie opóźniony z przyspieszeniem a_y=-g, więc y=V_0yt+a_yt/2=V₀tsin φ-gt²/2. Z dwóch ostatnich równań otrzymujemy równanie toru y=xtgφ-x²g/2v²₀cos2φ. Ze wzoru na równanie toru otrzymujemy wzór na zasięg rzutu D=v₀²sin2φ/g. Wysokość rzutu znajdujemy podstawiając do wzoru wartość x=D/2, h=V₀² sin²φ/2g.

Fala stojąca. Fala wytworzona w ciele o skończonych rozmiarach odbija się od granic tego ciała. Fala odbita porusza się w przeciwnym kierunku co fala padająca i superpozycja tych dwóch fal daje w wyniku fale wypadkową zwaną falą stojącą. Załóżmy, że mamy do czynienia z falą harmoniczną i że fala odbita ma tę samą amplitudę co fala padająca ξ₁=Asin(kx-ωt), ξ₂=Asin(kx+ωt, stąd fala wypadkowa ξ=ξ₁+ξ₂=2Asinkxcosωt, jest to równanie fali stojącej. Amplituda drgań przybiera wartość max. 2A w punktach, w których kx=π/2,3π/2,5π/2.., a wartość minimalną, równą zero w punktach kx=0,π,2π,3π,... Maksymalną amplitudę drgań nazywamy strzałkami, ponieważ zachodzi zależność k=2π/λ, strzałki znajdują się w punktach x=λ/4,3λ/4,5λ/4,.. a punkty, w których amplituda drgań jest równa zero, nazywane są węzłami x=0λ/2,3λ/2,... Węzły i strzałki położone są na przemian, a odległości między węzłami lub kolejnymi strzałkami wynosi pół długości fali.

Zasada zachowania pędu. Wg II zasady dynamiki dla dowolnego punktu zachodzi zależność: F_i=m_ią_i=dp_i/dt. Pisząc równanie dla wszystkich punktów i sumując je stronami, otrzymujemy ΣF_i=Σdp_i/dt=d/dtΣp_i. Sumę pędów wszystkich ciał należący do układu fizycznego nazywamy pędem całkowitym układu; pęd całkowity, zwany też-pędem wypadkowym, oznaczamy przez p F_z=dp/dt Pochodna pędu całkowitego układu względem czasu jest równa wypadkowej sił zewnętrznych działających na układ. Szczególnym przypadkiem układu punktów jest układ, na który siły zewnętrzne nie działają lub ich wypadkowa Jest równa zeru, gdy F_z=0, to p=const. Jeżeli wypadkowa sit zewnętrznych działających na układ jest równa zero, to całkowity pęd tego układu jest stały.

Pędem cała nazywamy iloczyn mas i jego prędkości p=mv. Z definicji tej wynika, że pęd jest wektorem skierowanym zgodnie z wektorem prędkości.

Indukcja własna i wzajemna. Jeśli w jednym obwodzie zmienia się natężenie prądu, to zgodnie z prawem indukcji Faradaya w drugim obwodzie znajdującym się w pobliżu pierwszego indukowana jest SEM. Zjawisko to zwane jest indukcją wzajemną i oznaczone przez Φ₂₁...........=dΦ₂₁/dt. Strumień Φ₂₁ jest proporcjonalny do I₁. Oznaczając współczynnik proporcjonalności przez L₂₁ można napisać Φ₂₁=L₂₁I₁. Zamieniając role obwodów Φ₁₂=L₁₂I₂. Współczynniki L₂₁ i L₁₂ zwane są współczynnikami indukcji wzajemnej. Można udowodnić, że jeśli w pobliżu nie ma materiałów ferromagnetycznych to współczynniki indukcji wzajemnej są równe i zależą tylko od kształtu i wzajemnego położenia obwodów ..........=L₂₁dI/dt. Z zależności tej wynika, że SEM indukowana w obwodzie 2 jest proporcjonalna do szybkości zmian natężenia prądu w obwodzie 1. W przypadku pojedynczego obwodu występuje tzw. zjawisko indukcji własnej. Strumień magnetyczny wytworzony przez prąd płynący w obwodzie przenika ten obwód, zatem każda zmiana natężenia prądu wywoła w nim SEM indukcji. Strumień magnetyczny Φ wytwarzany przez obwód i przenikający go jest proporcjonalny do natężenia prądu I płynącego w tym obwodzie Φ=LI. Współczynnik indukcji własne oznaczamy przez L, zatem ......=-dΦ/dt=-LdI/dt. SEM samoindukcji odgrywa dużą rolę w obwodach układu zamkniętego. Ponieważ SEM przeciwdziała zmianom prądu, wiec gdy prąd rośnie, SEM działa przeciwnie do kierunku prądu, a kiedy prąd maleje to SEM działa w tym samym kierunku co prąd. W rezultacie obwód wykazuje większy opór dla prądu zmiennego niż dla prądu stałego.

Prawo 0hma. W przewodnikach metalicznych natężenie prądu jest dla danego przewodnika wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia I=G*U. Współczynnik proporcjonalności G nazywa się przewodnością i mierzy się go w [simensach]. Podane prawo Ohma można podać innej postaci I=U/R gdzie R nazywa się opornością danego przewodnika i mierzy się w [Omach Ω] Prawo Ohma stosuje się tylko do przewodników liniowych.

Siły van der Waalsa. Własności gazów rzeczywistych najlepiej opisuje van der Waalsa, w który zawarte są dwie poprawki: l) objętość własna cząsteczek gazu; objętość swobodna gazu jest zatem mniejsza od objętości naczynia o objętość własną, którą oznaczamy literą b (dla jednego mola gazu); 2) siły międzycząsteczkowe; wskutek wzajemnego przyciągania się cząsteczek gazu, ciśnienie całkowite jest sumą ciśnienia zewnętrznego I wewnętrznego, która wynosi ........(p+.....)(V₀-b)=RT; a i b stałe charakterystyczne dla danego gazu pV₀³-(pb+RT)V₀²+aV₀-ab=0, V₀³-(b+...)V₀²+..........=0. Uwzględniając równanie trzeciego stopnia to: (V₀- V_okr)³=0, czyli V₀³-3V₀²V_okr+3V₀V²_okr- V³_okr=0, wynikają związki ............ czyli ..........................

Ruch harmoniczny jest przykładem ruchu niejednostajnie zmiennego. Jest to ruch drgający okresowy charakteryzujący się tym, że jego kinetyczne równania ruchu jest określone przez funkcję sinusoidalną i ma postać: x=X₀sin(ωt+ φ₀), X₀ jest amplitudą ruchu harmonicznego. Wielkość ta jest zawsze dodatnia, jest równa max wartości współrzędnej x określającej położenie ciała w ruchu harmonicznym, (ωt+ φ₀) jest fazą ruchu harmonicznego. Faza określa wartość współrzędnej ciała w danej chwili ruchu harmonicznego, φ₀ jest fazą początkową ruchu harmonicznego, określa ona położenie ciała w ruchu harmonicznym w chwili t=0. Gdy np. φ₀= Π/2 wtedy kinetyczne równanie ruchu harmonicznego przyjmuje postać: x=Xo*cosωt gdzie ω jest częstością kołową ruchu harmonicznego [rad/sek].

Prędkość rozchodzenia się fal. W ciałach stałych mogą rozchodzić się zarówno fale poprzeczne, jak i podłużne. Prędkość rozchodzenia się fali podłużnej w ciele stałym wyraża się Wzorem v=......, gdzie E - moduł Younga, a ρ - gęstość ciała. Fala poprzeczna rozchodzi się w ciele stałym z prędkością v=........., gdzie G - moduł sprężystości. Gazy nie mają sprężystości postaci i dlatego nie mogą się w nich rozchodzić gale poprzeczne. Prędkość fali podłużnej w cieczy wynosi v= ......., gdzie K - moduł ściśliwości cieczy. Prędkość rozchodzenia się fali podłużnej w gazie wyraża się wzorem v=........, gdzie p - ciśnienie gazu. Przykładem fali mechanicznej, rozchodzącej się w ciele stałym, są fale sejsmiczne.

Wahadłem fizycznym - nazywamy bryłę sztywną, zawieszoną tak, że może się wahać dookoła pewnej osi przechodzącej przez tę bryłę. Wiemy, że moment: siły wywołującej ruch równa się iloczynowi momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego. Zatem w przypadku wahadła fizycznego grawitacyjnego zachodzi równość Iα=-mgrsin0, I- moment bezwładności, r - odległość środka masy bryły od osi obrotu, a - przyspieszenie kątowe. Iloczyn mgr jest maksymalną wartością momentu siły ciężkości, odpowiadająca wychyleniu wahadła, o kąt 90° od położenia równowagi, nazywany jest momentem kierującym wahadła grawitacyjnego. Okres drgań T=2π......., czyli 2π= pod pierwiastkiem współczynnik przyspieszeniu dynamicznym rów. ruchu / przez współ, przy wychyleniu dynamicznym równaniu.

Wahadło matematyczne jest to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nitce. Siłę ciężkości działającą na ten punkt materialny rozkładamy na dwie składowe- równoległą i prostopadłą do nitki. Równoległa jest równoważona siłą naciągu nici, a prostopadła jest bezpośrednią przyczyną drgań tego wahadła. Dynamiczne równanie ruch drgań wahadła matematycznego: -mgsinφ=ma, Wyrażając sinus kąta przez długość wahadła otrzymujemy -mgx/l=ma. Dla małych kątów φ odległość x jest równa wychyleniu wahadła z położenia równowagi, a zatem okres drgań tego wahadła jest określony zależnością T=2π...... Można zauważyć, że na okres drgań wahadła nie - wpływa mas punktu materialnego wahadła matematycznego.

Gaz doskonały i jego równanie. Stan pewnej stałe ilości gazu określają jednocześnie trzy parametry stanu: ciśnienie p, objętość V i temperatura T. Pv=1/2N(mv²)= 2/3Nmv²/2 korzystając z określenia temperatury bezwzględnej jako opowiadającej średniej E_k dla cząsteczek o trzech stopniach swobody E_k=3k/2t otrzymamy równanie gazu doskonałego: pv=Nkt, gdzie k- stała Boizmana. Jeżeli liczba cząsteczek w danej ilości gazu wynosi N, to posługując się liczbą Avogarda (N_A=6,022*10²⁶[1/kmol]) można zapisać N=nN_A, gdzie n liczba gramocząsteczek (moli) gazu. Wówczas równanie stanu doskonałego ma postać równania Clapeyrona: pv=nN_AkT=nRT, gdzie R=kN_A stała gazowa. Równanie stanu gazu doskonałego dla jednego mola n=i jest następujące: pv=RT, ponieważ k=1,38066*10^-23J/K, a N_A=6,022*10²⁶l/kmol, wiec uniwersalna stała gazowa R=8,314J/(mol*K).

Energia kinetyczna ciał określana przez masy i ich prędkości. Rozważmy ruch prostoliniowy punktu materialnego, zachodzący pod wpływem działania siły F. Ruch ten Jest jednostajnie przyspieszony, prędkość początkowa v₁, a końcowa v₂. Praca siły F równa się: W=F*S=mas=mav₂²-V₁²/2a=mv₂²/2-mv₁²/2. Wiemy, że ciało poruszające się ma energię kinetyczną. E_k punktu materialnego o masie m. poruszającego się z prędkością v określamy wzorem E_k=mv²/2. Praca siły powodująca ruch punktu jest równa przyrostowi energii kinetycznej W=E_k2-E_k1.

Ruch falowy. Zaburzenia ośrodka materialnego przenoszące się z pewną prędkością z jednego punktu przestrzeni do innych punktów nazywamy falą mechaniczną. Fale, mechaniczne - dzieli się na fale poprzeczne i podłużne. Fala poprzeczna to taka fala, której ruch ośrodka następuje prostopadle do kierunku rozchodzenia się fal, fala podłużna jest to fala, której ruch ośrodka następuje równolegle do kierunku rozchodzenia się fal. Jest regułą, że fale mechaniczne poprzeczne mogą powstawać tylko w takich ośrodkach, które charakteryzują się sprężystością postaciową. Fale podłużne mogą natomiast powstawać w ośrodkach o sprężystości objętościowej lub postaciowej. Prędkość fal - prędkość, z jaką rozchodzi się w przestrzeni zaburzenie ośrodk. Dla fali poprzecznej ....... F- siła przyłożona prostopadle do struny do jej długości, m1- masa przypadająca na jednostkę długości struny. Dla fali podłużnej - w ciałach stałych ....... E - modół Younga, ξ- gęstość materiału. - w gazach ........-stała dla danego gazu, p - ciśnienie gazu. W praktyce można spotkać się z ruchem falowym w postaci ciągu fal, w którym następujące po sobie regularne zaburzenia wytworzone w źródle są przekazywane przez ośrodek np. fala sinusoidalna ciągła w fali takiej wszystkie cząsteczki ośrodka drgają wokół swych położeń równowagi ruchem harmonicznym o tym samym czasie, lecz o różnej fazie początkowej. Równanie x=X₀simω(t-z/v) jest kinematycznym równaniem ruchu dla fali sinusoidalnej o jednej częstotliwości. Parametry fal: powierzchnia falowa jest to powierzchnia utworzona z punktów ośrodka znajdujących się w tej samej fazie drgania są to zwykle punkty jednakowo odległe od źródła fali. Czoło fali jest to powierzchnia fal, która jest najbardziej oddalona od źródła. Fala kulista jest to fala, której powierzchnie falowe są współśrodkowymi kulami, w których środku znajduje się źródło fali. Długość fali jest to odległość miedzy dwoma powierzchniami falowymi różniącymi się fazą o 2Π-λ=v/f=2Πv/ω.

Drgania wymuszone. Jeżeli chcemy, aby opory ośrodka nie tłumiły drgań, to na drgający punkt materialny należy działać odpowiednio zmienną siłą. W przypadku drgań harmonicznych siła ta ma postać: F_w=F₀cosΩt, siłę tę nazywamy wymuszającą. W przypadku drgań wymuszonych mamy F_s+F_t+F_w=ma, czyli ................+kx=F₀cosΩt, jest to równanie różniczkowe drgań wymuszonych. Rozwiązaniem tego równani jest x=Acos(Ωt+Φ)), gdzie:

A=F₀/m ........., Φ=arctg(-2βΩ/ω²-Ω²). Amplituda drgań wymuszonych jest ściśle określona i zależy od amplitudy siły wymuszonej F₀ oraz jej pulsacji Ω.

Rezonans - gdy sita wymuszająca działa na drgające ciało z odpowiednią częstotliwością, to amplituda drgań tego ciała może osiągnąć bardzo duża wielkość nawet przy niewielkiej sile wymuszającej, Zjawisko to nazywamy rezonansem. Po wprowadzeniu oznaczenia γ=F₀/m, wyrażenie to można zapisać w postaci A=γ ........... Wykres przedstawiający funkcję A(Ω) nazywamy krzywą rezonansu, współczynnik tłumienia β rośnie. Amplituda przyjmuje wartość maksymalną, gdy wielomian pod pierwiastkiem osiąga minimum ......., otrzymujemy A_γ= γ/2β ........ Zjawisko rezonansu jest bardzo rozpowszechnione w przyrodzie i technice. Również skutki mogą być pozytywne jak i negatywne. Ze zjawiskiem rezonansu spotykamy się np. gdy jedziemy autobusem, przy pewnej prędkości obrotów silnika szyby zaczynają drgać.

Ładunki elektryczne. Istnienie ładunków elektrycznych można stwierdzić w najprostszym zjawisku elektryzowania się ciał obserwowanym przy zdejmowaniu swetra z anilany, towarzyszą trzaski i iskry, które można zauważyć w ciemnym pomieszczeniu. Ładunki elektryczne są ściśle związane z atomową budową materii. Protony zawarte wiadrach atomowych, mają ładunki dodatnie, a elektrony znajdujące się w powłokach atomów, ładunki ujemne. Zetknięcie dwóch różnych ciał o różnych energiach wiązania elektronów powoduje przejście pewnej liczby elektronów z jednego ciała do drugiego. Wzajemne pocieranie ułatwia ten proces poprzez zwiększenie powierzchni styku ciał. Ciało, które utraciło część elektronów elektryzuje się dodatnio, a ciało, które ma nadmiar elektronów- ujemnie. Całkowita suma ładunków obu ciał jest równa zero tak Jak przed naelektryzowaniem, ponieważ elektryzowanie polega na rozdzieleniu ładunków dodatnich od ujemnych, a nie na ich wytwarzaniu. We wszystkich zjawiskach obowiązuje zasada zachowania ładunku: całkowity ładunek elektryczny układu izolowanego jest stały. Przez układ izolowany rozumie się układ, który nie może wymieniać ładunków z otoczeniem.

Drgania tłumione. Jeżeli drgania ciał odbywają się w ośrodku materialnym, to wskutek występowania siły oporu ośrodka, którą będziemy nazywać siłą tłumiącą, drgania będą zanikać. Niezależnie od natury ośrodka siłą tłumiąca F_t jest proporcjonalna do prędkości ciała drgającego, jeśli prędkość ta jest niewielka. Zatem: .......... b- współczynnik oporu, minus ponieważ siła F_t zawsze skierowana jest przeciwnie do kierunku ruchu. Uwzględniając działanie siły można dla drgań tłumionych, zgodnie z II zasadą dynamiki, napisać F_s+F_t=ma, czyli ........=m........, albo ............. jest to równanie różniczkowe drgań tłumionych punktu materialnego. Rozwiązaniem jest ...................., gdzie ......... współczynnik tłumienia, ........ pulsacja drgań tłumionych. Amplituda drgań maleje z upływem czasu wg zależności A=.......... Pulsacja drgań jest mniejsza niż dla drgań swobodnych .........<ω. Wielkością charakterystyczną drgań tłumionych jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia. .............. jest to logarytm naturalny dwóch amplitud w chwili t i t+T.

Siły van der Waalsa. Własność gazów rzeczywistych najlepiej opisuje van der Waalsa, w który zawarte są dwie poprawki: 1) objętość własna cząsteczek gazu; objętość swobodna gazu jest zatem mniejsza od objętości naczynia o objętość własną, którą oznaczamy literą b (dla jednego mola gazu); 2) siły międzycząsteczkowe; wskutek wzajemnego przyciągania się cząsteczek gazu, ciśnienie całkowite jest sumą ciśnienia zewnętrznego i wewnętrznego, która wynosi ........ (p+.....)(V₀-b)=RT; a i b stałe charakterystyczne dla danego gazu pV₀³-(pb+RT)V₀²+aV₀-ab=0, V₀³-(b+...)V₀²+..........=0. Uwzględniając równanie trzeciego stopnia to: (V₀- V_okr)³=0, czyli V₀³-3V₀²V_okr+3V₀V²_okr- V³_okr=0, wynikają związki ............ czyli ..........................

Drgania swobodne. Rozważamy drgania, jakie wykonuje punkt materialny o masie m. pod działaniem siły sprężystości F_s=-kx. Zgodnie z II zasadą dynamiki F_s= ma, zatem ........., czyli .......... jest to równanie różniczkowe drgań swobodnych punktu materialnego. Łatwo można sprawdzić, że jeśli zachodzi zależność ω=........... Drgania swobodne są zatem drganiami harmonicznymi. Częstotliwość drgań swobodnych ciał nazywamy częstotliwością własną. Drgania swobodne możemy obserwować zawieszając na sprężynie ciężarek i wytrącając go z równowagi. Drgania swobodne wykonuje też wahadło matematyczne. Drgania swobodne nie muszą być wyłącznie mechaniczne: np. w obwodzie elektrycznym złożonym z indukcyjności i pojemności występują drgania swobodne elektryczne. Energia całkowita drgającego harmonicznie punktu materialnego. Jego E_k= 1/2mv²=1/2mAsin²(ωt+φ), a E_ρ=1/2kx²=1/2kA²cos² (ωt+φ). Całkowita energii mechaniczna E=E_ρ+E_k=1/2A²[mω²sin²(ωt+φ)+kcos²(ωt+φ)] =1/2kA². Wdać, że w ruchu harmonicznym E_k i E_ρ punktu wykonującego drganie zmieniają się w taki sposób, że ich suma pozostaje stała.

Moment pędu L punktu materialnego o masie m. i wektorze wodzącym r, poruszającego się z prędkością v względem osi obrotu odległej o r od tego punktu, definiujemy wzorem L=rxvm. Wektor momentu pędu jest skierowany zgodnie z osią obrotu. Jego wartość bezwzględna, wynosi L=rmv=mr²ω. Moment pędu bryły jest sumą momentów pędów wszystkich jej punktów, czyli L=Σm_ir_i²ω=ωΣm_ir²_i=Iω. Moment pędu bryły równa się iloczynowi jej prędkości kątowej, i momentu bezwładności. Pochodna momentu pędu bryły względem czasu jest równe momentowi siły działającej na tę bryłę M.=αI=Idω/dt=d(Iω)/dt=dL/dt.

Zasada zachowania momentu pędu. Moment pędu bryły L=Iω, przy czym zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego pochodna krętu jest równa momentowi siły M.-dL/dt. Rozważając układ złożony z n ciał, które mogą być traktowane jak bryły sztywne. Dla dowolnej bryły obowiązuje równanie M.i=dL_i/dt. Sumując stronami dla wszystkich brył otrzymujemy ΣM._i=ΣdL_i/dt=d/dtΣL_i. Po lewej stronie mamy sumę momentów wszystkich sił działających na układ. Po lewej stronie otrzymaliśmy sumę krętów. Sumę krętów ciał należących do danego układu nazywamy krętem całkowitym albo krętem wypadkowym. Oznaczając całkowity kręt przez L, otrzymujemy M._z=dL/dt. Pochodna krętu całkowitego układu względem czasu jest równa momentowi wypadkowemu sił zewnętrznych. W przypadku, gdy siły zewnętrzne nie działają lub ich moment wypadkowy równa się zero M._z=0, to L=const. Jeśli moment wypadkowy sił zewnętrznych działający na układ równa się zero, to całkowity kręt tego układu jest stały.

---