1.Różniczka funkcji jednej zmiennej + interpretacja geometryczna
Zakładamy, że funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0, takim że x0 + Δx ∈ Ơ(x0; δ).
Różniczką funkcji f(x) w punkcie x0 dla przyrostu Δx nazywamy iloczyn pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0 oraz przyrostu Δx i piszemy
dy / x = x0 = f '(x0) * Δx
W ogólnym przypadku mamy: dy = f '(x) * dx dla każdego punktu, dla którego spełnione są powyższe założenia.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA:Oznacza to że różniczka funkcji dy jest przybliżoną miarą faktycznego przyrostu wartości funkcji Δy, przy czym przybliżenie to jest tym dokładniejsze im przyrost argumentu Δx jest mniejszy.
4. Przestrzeń metryczna definicja + przykład : Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X=/0 wraz z funkcją odległości ( metryką) d(p,q) ozn. <x,d>./// Odwzorowanie: d : XxX ->(p,q) -> d(p,q) e R dla dowolnych p,q e X nazywamy metryką (odległością) w zbiorze X < = > a) d(p,q)>=0 ; b) d(p,q)=0 < = > p=q aksjomat tożsamości; c) d(p,q)=d(q,p) aksjomat symetrii; d) d(p,q)+d(q,r)>=d(p,r) aksjomat trójkąta./// Jeżeli jest przestrzeń metryczna <x,d> oraz zbiór y<x to <y,d> nazywamy podprzestrzenią przestrzeni metrycznej <x,d>./// Otoczeniem punktu p e X o promieniu b nazywamy zbiór O(p,b)={peX; d(p,q)<b}/// Przykłady: x=R d(x,y)=|x-y| x=R^2 d(x,y)=pierw.[(x1-y1)^2 + (x2-y2)^2] lub d(x,y)= |x1-y1| + |x2-y2| lub d(x,y)=max{|x1-y1|;|x2-y2|}. 9.Wypukłość.Wklęsłość wykresu f-cji.Punkty przegiecia: Krzywa (wykres funkcji f(x) ) jest wklęsła w przedziale (a,b) gdy krzywa położona jest poniżej stycznej poprowadzonej w dowolnym punkcie wewnętrznym danego przedziału.
Krzywej wypukła , gdy krzywa położona jest powyżej stycznej.///Punkt XO jest punktem przegięcia krzywej , gdy w sąsiedztwie tego pkt krzywa zmienia się z wklęsłej w wypukłą (lub odwrotnie).///* Badanie wklęsłości, wypukłości i punktów przegięcia oparte jest na analizie drugiej pochodnej.:Na ogół w określonych przedziałach: Jeżeli f ”(x) >0,to krzywa wypukła//Jeżeli f ”(x) <0, to krzywa wklęsła//Dla punktów przegięcia mamy :warunek konieczny: jeżeli f”(x)=0,to miejsca zerowe drugiej pochodnej są kandydatami na pp//warunek dostateczny: zmiana znaku drugiej pochodnej w sąsiedztwie kandydatów (spełniającego warunek konieczny)//Uwaga 1 Dla funkcji różniczkowalnej odrzucony kandydat na ekstremum lokalnej jest punktem przegięcia (p.p.) i odwrotnie tzn. odrzucony kandydat na pp jest ekstremum lokalne.//Uwaga 2 Specyficznymi kandydatami zarówno na ekstremum lokalne jak i punkty przegięcia są punkty w których występuje ostrze, funkcja jest ciągła ale brak pochodnej).
10. Pojęcie relacji i własności relacji: Relacją między elementami zbiorów A i B nazywamy każdy podzbiór S iloczynu kartezjańskiego AxB S( AxB.//Relacj określoną na zb. A nazywamy każdy niepusty podzbiór S iloczynu kartezjańskiego AxA S ( A^2.///
11. Wnioski z Twierdzenia Langrangea: Twierdzenie Legrange'a:Jeżeli p jest liczbą pierwszą, wielomian f(x) = aox^n + a1x^(n-1) + ... + an-1x + an jest wielomianem stopnia naturalnego n o współczynnikach całkowitych, gdzie współczynnik przy najwyższej potędze x, a0 jest niepodzielny przez p, to wśród liczb x = 0, 1, 2, ..., p - 1 istnieje nie więcej niż n takich, dla których liczba f(x) jest podzielna przez p. Wniosek : Jeżeli p jest liczbą pierwszą, zaś f(x) wielomianem stopnia n o współczynnikach całkowitych, i jeżeli istnieje więcej niż n liczb naturalnych x < p, dla których f(x) jest podzielne przez p, to wszystkie współczynniki wielomianu f(x) muszą być podzielne przez p.
12. Ciągłość funkcji jednej zmiennej. Rodzaje punktów nieciągłości : 1. Def: Jeżeli istnieje wartość funkcji f(x) w punkcie x0, istnieje granica właściwa funkcji w tym punkcie oraz granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie x0, to mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 tzn. lim(x→x0)f(x)=f(x0) ///2. Warunkiem koniecznym dla ciągłości f(x) w punkcie x0 jest określoność funkcji w pewnym otoczeniu punktu x0. [ Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tzn. określoność funkcji w pewnym otoczeniu punktu x0 nie wystarczy do stwierdzenia, że funkcja jest ciągła w punkcie x0 ]. ///3.Można mówić o ciągłości jednostronnej funkcji f(x) w punkcie x0 wówczas, gdy istnieje właściwa granica jednostronna równa wartości funkcji w danym punkcie: a) lim(x→x0-) f(x)=f(x0) - ciągłość lewostronna w pkt. x0 ; b) lim(x→x0+) f(x)=f(x0) - ciągłość prawostronna w pkt. x0. ///
14. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne + przykłady. Twierdzenie Cantora: Zbiory A i B nazywamy zbiorami równolicznymi (jednakowej mocy) <= > gdy istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru A na zbiór B (ozn. A (kreska falowana)B)/// Zbiór A nazywamy zbiorem przeliczalnym <= > gdy jest on skończony lub równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (_____________________________)./// Własności zbiorów przeliczalnych: A,B -> zbiory przeliczalne to :
/// jeśli B przeliczalny -> każdy podzbiór przeliczalny _________________
Twierdzenie Cantora => zbiór liczb R jest zbiorem nieprzeliczalnym. /// Zbiór A nazywamy nieprzeliczalnym <= > gdy nie jest on przeliczalny.
15. Kiedy funkcja jest ciągła : Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie xo <= > gdy istnieje granica właściwa funkcji f(x) w punkcie xo i jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie tzn. lim(x→x0)f(x)=f(x0).
16. Interpretacja całki w zastosowaniu ekonomicznym : Często spotyka się zastosowanie całek (oznaczonych) do szacowania zasobów. Mamy więc do czynienia w ekonomii z pewnymi strumieniami w procesach gospodarczych a ich efektem są uzyskane zasoby. Do szacowania wielkości zasobów wykorzystuje się aparat formalny całek oznaczonych. W związku z tym w ekonomi mówi się np. że wydajności pracy świadczonej w pewnym okresie odpowiada produkcja w tym okresie.
17. Funkcja logistyczna w zastosowaniu ekonomicznym: Funkcja logistyczna opisuje popyt na pewne dobro w zależności od czasu, który upłynął od wprowadzenia go do sprzedaży. Niech a,c >0, b>1 oraz D(t) = a/(1+ be^(-ct)) , t>0.
18. Liniowa zależność i niezależność wektorów.Ortogonalizacja wektorów: Mówimy, że układ wektorów u1, u2 ,…,uk należy Rn jest układem liniowo niezależnym, wtedy i tylko wtedy gdy L1u1+…+Lkuk=0 <= > L1=…Lk=0, gdzie 0 należy Rn jest wektorem zerowym (wszystkie składowe równe 0). Oznacza to, że w kombinacji liniowej wektorów liniowo niezależnych możemy otrzymać wektor zerowy <= >wszystkie współczynniki tej kombinacji są równe 0. //Mówimy o układzie wektorów liniowo zależnym <= > nie jest to układ liniowo niezależny (def. komplementarna). Oznacza to, że aby w kombinacji liniowej wektorów liniowo zależnych uzyskać wektor zerowy, niewszystkie współczynniki tej kombinacji muszą być równe 0 (przynajmniej jeden ze współczynników może być różny od 0).// Ortogonalizacja wektorów-> wiektory x, y nazywamy ortogonalnymi jeśli x o y =0.
19. Odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne : Mówimy, że odwzorowanie f: A->B jest wzajemnie jednoznaczny <= > gdy dla każdego a1, a2 e A f(a1)=f(a2) <= > (a1=a2) oznacza to ,że dla odwzorowania wzajemnie jednoznacznego wartości odwzorowania są wtedy i tylko wtedy , gdy równe są argumenty.// Funkcje X->Y nazywa się wzajemnie jednoznaczną tj. bijekcją gdy jest różnowartościowa i „na”.
20. Definicja pochodnej f-cji jednej zmiennej + interpretacja geometryczna.: Pochodną funkcji f(x) w punkcie xo nazywamy granicę ilorazu różniczkowego ( o ile ta granica istnieje) i oznaczamy :
Jeżeli funkcja posiada granicę w punkcie xo , to mówimy, że jest zróżnicowana w punkcie xo.
21. Całka nieoznaczona .Właściwości.: Przez całkowanie funkcji f(x) rozumiemy operację odwrotną do różniczkowania, tzn. pytamy o tzw. funkcję pierwotną F(X), której pochodna jest równa funkcji całkowanej, tzn. F'(X)=f(x),
Jeżeli F(X) jest funkcją pierwotną dla funkcji f(x) to każda funkcja postaci F(X)+C, gdzie C=cons, jest także funkcja pierwotną dla funkcji f(x), ponieważ [F(X)+C]'=F'(X)+C'=f(x)
Całką nieoznaczoną funkcji f(x) nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych, dla funkcji f(x), które różnią się o dowolną, stałą C i piszemy:
[ ∫ f(x) * dx = F(X) +C] <= > F'(X)=f(x)
gdzie f(x) - funkcja całkowana
dx - różniczka zmiennej całkowanej (zmiennej niezależnej x)
f(x)*dx - wyrażenie podcałkowe
F(X) - funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)
C=constans - dowolna stała
(2) własności całki nieoznaczonej
1) ∫[f(x)+g(x)]*dx = ∫f(x)*dx + ∫g(x)*dx = F(X)+G(X)+C,
gdzie F(X) i G(X) są odpowiednio funkcjami pierwotnymi dla funkcji całkowanych f(x) i g(x)
2) ∫[f(x)-g(x)]*dx = ∫f(x)*dx - ∫g(x)*dx
3) ∫[α*f(x)]*dx = α*∫*f(x)*dx
4) Całkowanie przez podstawienie
∫f(x)dx = ∫f(φ(t))*φ'(t)*dt , jeżeli x=φ(t)=>dx=φ'(t)*dt
5) Całkowanie przez części
Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji [u(x)*v(x)]' mamy: ∫[u'(x)*v(x)]dx=[u(x)v(x)]-∫[u(x)*v'(x)]dx..
w wyniku takiego przekształcania otrzymujemy część funkcji pierwotnej w postaci iloczynu
UWAGA: Całkowanie przez podstawienie oraz przez części nie są efektywnymi metodami całkowania pozwalającymi bezpośrednio wyznaczyć poszukiwaną funkcję pierwotna. Są to pewne przekształcenia, których zastosowanie powinno zbliżyć nas do efektywnego wyznaczenia całki nieoznaczonej.
22. Własności ciągu zbieżnego liczb rzeczywistych.: 1) Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony to jest ciągiem zbieżnym. W szczególności: a) jeżeli ciąg jest rosnący i ograniczony z góry to jest ciągiem zbieżnym, b) jeżeli ciąg jest malejący i ograniczony z dołu to jest ciągiem zbieżnym;c) każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy'ego.
23. Określoność formy kwadratowej: Symetryczną formą dwuliniową, w której y=x , nazywamy formą kwadratową i oznaczamy F(x)=f(x,x).// Kryterium Sylvestera -> macierz A jest : a) dodatnio określona <= > gdy jej minory główne są dodatnie M1>0,...,Mn>0 ; b)ujemnie określona <= > gdy jej minory główne mają naprzemienne znaki M1<0,M2>0,...
24.Ekstremum lokalne funkcji jednej zmiennej :
Zakładamy, że funkcja f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0. Mówimy, że funkcja f(x) osiąga ekstremum lokalne w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy wartość funkcji w punkcie x0 jest lokalnie największa lub najmniejsza, tzn. w porównaniu z wartościami funkcji w pewnym sąsiedztwie tego punktu
∃δ>0∀x∈(x0,δ) f(x)< f(x0) - maksimum lokalne w punkcie x0
∃δ>0∀x∈(x0,δ) f(x)> f(x0) - minimum lokalne w punkcie x0
Zakładając, że funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0 (istnieje pochodna), możemy opisać warunek konieczny i warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego w punkcie x0.
warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji f(x) w punkcie x0 (dla funkcji różniczkowalnej). Jeżeli w punkcie x0 funkcja f(x) osiąga ekstremum lokalne to f'(x0)=0. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tzn. jeżeli f'(x0) = 0 to nie wystarczy do stwierdzenia, że w punkcie x0 występuje ekstremum lokalne, bo może tam być p.p.//
warunek dostateczny (wystarczający) istnienia ekstremum lokalnego funkcji f(x) w punkcie x0, w którym spełniony jest warunek konieczny (kandydat na ekstremum lokalne).//
Jeżeli w sąsiedztwie kandydata pochodna zmienia znak to w dowolnym punkcie funkcja osiąga ekstremum lokalne).
Jeżeli w sąsiedztwie kandydata spełniającego warunek konieczny pochodna zmienia znak z + (funkcja rosnąca) na - (funkcja malejąca) to w danym punkcie osiąga maksimum lokalne.
Jeżeli w sąsiedztwie kandydata pochodna zmienia znak z - na + to w danym punkcie funkcja osiąga minimum lokalne.
Jeżeli w sąsiedztwie kandydata pochodna nie zmienia znaku to w danym punkcie ekstremum nie występuje (p.p.).
Praktycznie: ad a) warunek konieczny: f'(x) = 0 - miejsce zerowe pochodnej są kandydatami na ekstremum lokalne. Ad b) warunek dostateczny: zmiana znaku pochodnej w sąsiedztwie kandydata. Innymi kandydatami n a ekstremum lokalne funkcji są punkty, w których występuje tzw. ostrze - funkcja jest ciągła, ale brak pochodnej.
25. EKSTREMUM LOKALNE FUMKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Mówimy, że funkcja osiąga ekstremum lokalne w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy wartość funkcji w punkcie P0 jest lokalnie największa lub najmniejsza, tzn.
1o , f(P) < f(P0) - maksimum lokalne w punkcie P0
2o , f(P) > f(P0) - minimum lokalne w punkcie P0
warunek konieczny dla ekstremum lokalnego:
rozwiązaniem układu dwóch równań o dwóch niewiadomych daje kandydata na ekstremum lokalne w postaci tzw. punktu stacjonarnego P0(x0,y0)
warunek dostateczny dla ekstremum lokalnego:
w punkcie P0 spełniającym warunek konieczny budujemy, tzw. wyróżnik oparty na pochodnych cząstkowych drugiego rzędu postaci:
warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum lokalnego w punkcie P0 jest dodatnia wartość wyróżnika w tym punkcie, przy czym:
(i) to minimum lokalne w punkcie P0
(ii) to maksimum lokalne w punkcie P0
(iii) ekstremum lokalne nie istnieje w punkcie P0 (punkt ...)
13.Rząd macierzy. Definicja .Własności: Rzędem macierzy A nazywamy max ilość liniowo niezależnych wierszy lub kolumn macierzy A (ozn. r(A) , rz(A) ) ///
26. . EKSTREMUM WARUNKOWE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Poszukiwanie ekstremum warunkowego funkcji przy warunku oznacza poszukiwanie największej bądź najmniejszej wartości dla na powierzchni opisanej funkcji wzdłuż pewnej trajektorii (ścieżki) wyznaczonej przez rzut krzywej płaskiej na powierzchnię (wykres funkcji dwóch zmiennych).
jest równaniem opisującym pewną krzywą na płaszczyźnie X0Y, a rzut tej krzywej na powierzchnię daje trajektorię wzdłuż której poszukujemy wartości największej lub najmniejszej (ekstremum warunkowe).
warunek konieczny dla kstremum warunkowego:
Tworzymy tzw. funkcję Lagrange'a postaci , gdzie parametr nazywa się wyróżnikiem Lagrange'a
Rozwiązując układ trzech równań z trzema niewiadomymi x, y, otrzymujemy punkt P0 o współrzędnych (x0,y0) w którym może wystąpić ekstremum warunkowe oraz stowarzyszoną (sprzężną) wartość mnożnika Lagrange'a 0
warunek dostateczny dla ekstremum warunkowego:
Tworzymy wyróżnik zawierający pochodne cząstkowe drugiego rzędu dla funkcji Lagrange'a, oraz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla funkcji
Warunkiem dostatecznym dla ekstremum warunkowego przy warunku w punkcie P0 i mnożnika 0 to róża od zera wartość wyróżnika , przy czym:
to maksimum warunkowe w punkcie P0(x0,y0)
to minimum warunkowe w punkcie P0(x0,y0)
to przypadek niekonkluzywny (nierozstrzygnięty)