Losowość i liczby losowe.

Wiele procesów obserwowanych przez nas w przyrodzie, technice, życiu społecznym sprawia wrażenie zjawisk losowych, czyli takich dla których nie jesteśmy w stanie określić a co więcej przewidzieć przyszłego przebiegu ani nie potrafimy ustalić przyczyn które je wywołały. Spowodowane jest to brakiem informacji danego zjawiska, nieznany stopień precyzji podanych informacji jak również błędy obserwacji uniemożliwiające precyzyjną jego identyfikację.

Kolejnym miejscem występowania zjawisk losowych jest „świat” liczb. Za przykład możemy uznać częstotliwość występowania liczb pierwszych wśród liczb naturalnych, a w szczególności ich rozmieszczenie. W ciągu dowolnych liczb naturalnych pojawienie się liczby pierwszej jest zjawiskiem losowym. Bez dokładnego sprawdzenia nie jesteśmy w stanie powiedzieć czy dana liczba jest liczbą pierwszą i jaka będzie następna po niej liczba pierwsza. Co więcej dla dużych liczb naturalnych nie są również w sposób oczywisty znane składniki ich rozkładu na czynniki pierwsze. W śród liczb naturalnych mamy do czynienia z ciągami liczb losowych czyli takich których nie możemy opisać żadnym wzorem, ani nie możemy przewidzieć które z pewnością mogą wystąpić.

Wykorzystanie liczb losowych.

Jest bardzo wiele możliwości wykorzystania liczb losowych. Bardzo często są wykorzystywane w różnego rodzaju badaniach statystycznych, a zatem w wszelkich badaniach ekonomicznych, społecznych, marketingowych. W zagadnieniach związanych z planowaniem eksperymentu, w badaniach symulacyjnych. Innym ciekawym wykorzystaniem liczb losowych są gry komputerowe, różnego rodzaju symulatory, gry zręcznościowe, strategiczne czy nawet wojenne, które wykorzystując losowość stwarzają złudzenie realizmu.

Ponadto mogą służyć do budowania modeli skomplikowanych obiektów geometrycznych, fraktali losowych czy wzorów powierzchni. W ostatnim czasie na znaczeniu zyskało wykorzystanie liczb losowych w kryptografii. Związane jest to z masowymi sposobami przesyłania danych, w których niezbędna jest ochrona informacji, gdzie liczby losowe mogą służyć na przykład jako klucze w szyfrach strumieniowych, ogólnie mówiąc spełniają wymagania gwarantujące bezpieczeństwo szyfru.

Początkowe metody otrzymywania liczb losowych.

Pierwszymi źródłami liczb losowych, które można było wykorzystać w praktyce były tablice liczb losowych. Pierwsza, stworzona w 1927 r. przez L. H. Tippett'a , zawierała 41600 cyfr (od 0 do 9) pobranych ze spisu powszechnego w Wielkiej Brytanii. W 1939 r. stworzono już tablicę zawierającą 15000 cyfr losowych, uzyskano ją wypisując cyfry od 15 do 19 z pewnych 20 - cyfrowych tablic logarytmicznych. Jeszcze tego samego roku Kendall, Babington, i Smith przedstawili tablice zawierającą 100000 cyfr losowo uzyskanych za pomocą elektrycznej ruletki (czyli wirującego dysku z oznaczeniami cyfr 0,1,...,9). Natomiast w roku 1955 w RAND Corporation uzyskano tablice 1000 000 cyfr losowych. Wykorzystano maszynę wytwarzającą 100 000 impulsów binarnych na sekundę. Impusy odczytywano paczkami pięciobitowymi w wyniku czego otrzymywano liczby z przedziału [0,31].

Współczesne metody generowania liczb losowych.

Obecnie wykorzystywane są dwie metody otrzymywania liczb losowych:

Jedną grupą są generatory fizyczne, których ogólna zasada jest dość prosta, polega na zamianie na liczby mierzonych parametrów procesu fizycznego przebiegającego w sposób losowy. Najprostszymi przykładami takich generatorów jest kostka do gry, urna z kolorowymi kulami, moneta, ruletka... Innym bardziej złożonym sposobem uzyskania liczb losowych jest licznik Geigera, który zlicza impulsy promieniowania jądrowego wykorzystując naturalną losowość tego zjawiska.

Drugą grupą są algorytmy matematyczne, a więc metody które są powtarzalne czyli ten sam ciąg liczb losowych a właściwie pseudolosowych można otrzymać wielokrotnie, powtarzając przebieg algorytmu z tymi samymi parametrami.

Liczby losowe o rozkładzie równomiernym

Najważniejszym elementem generowania liczb losowych o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa jest otrzymanie liczb losowych o rozkładzie równomiernym tzn. w ten sposób by z określonego przedziału [1,M] uzyskać takie liczby by wszystkie występowały z jednakowym prawdopodobieństwem, oraz by częstotliwość występowania liczb z każdego z podprzedziałów tego przedziału była w przybliżeniu jednakowa w czasie i ponadto by te liczby można było uznać za statystycznie niezależne.

Jednym z podstawowych w wielu zastosowaniach generatorów jest generator liniowy postaci:

. (mod m)

W typowych implementacjach przyjmuje się k = 1, co prowadzi do generatora postaci:

(mod m)

Gdy c=0 to otrzymamy tak zwany generator multiplakywny. Natomiast gdy
to mówimy o generatorze mieszanym.

Wadą generatorów liniowych jest ich przewidywalność, tzn. układanie się punktów o współrzędnych (
) na linii prostej.

W celu uniknięcia liniowej zależności kolejnych wyrazów ciągu stosuje się kwadratową zależność między liczbami w kongruencji definiującej generator:

(mod m)

dla a, b, c,
<M. Maksymalny okres tego generatora, dla odpowiednich wartości parametrów a, b i c, może być równy M.

Uogólnieniem generatora kwadratowego jest generator wykorzystujący wielomiany permutacyjne postaci:

,

jako zależność między wyrazami generowanego ciągu liczb losowych

mod M

Maksymalny okres tego generatora jest równy M. W przeciwieństwie do generatora liniowego nie jest on przewidywalny.

---