1. Dziedzina 2. Pochodna 3. Miejsca zerowe pochodnej f '(x)=0 i liczę `x' e>2,5~2,7

4. Ponieważ (mianownik)>0 dla x჎R, to znak f '(x) jest taki sam jak znak funkcji (licznik) 5. Wykres m-c zerowych (+D) 6. f'(x)>0 dla x჎ (prze) i f(x) rosnaca 6. Liczę ekstrema (z m-c zerowych) f(e); 7. Asymptoty: a) pionowa-z tego co wyrzucamy z dziedziny (+ i - ), 2x f(x) 1x f `(x) jak wyjdzie Ⴅ lub -Ⴅ to tworzy przy f ` podst liczbe b) pozioma x --> + - Ⴅ z f(x) jak wyjdzie cyfra to tworzy. c) ukośna: y=ax+b a=lim (x->+-Ⴅ)f `(x) - liczymy 1 raz. Jak wyjdzie cyfra to ok, jak 0-pozioma, cos innego - brak, b=lim(+-Ⴅ)=(f(x)-ax) - cyfra ok., 0-pozioma, cos innego-brak Przy asymptotach podstawiam tylko… nic nie wyciągam!

x | -Ⴅ | | m-ce 0 #1| |wywalone z D| |m-ce 0 #2| | +Ⴅ|

f ` (x) | | +/ - | 0 |+/-| X |+/- | 0 |+/- | |

f (x) | lim| | max/min | | asympt lub x | | max/min | | lim|

(x²-3)e^-x->f'(x)=2xe^-x +( x²-3)e^-x-1->f'(x)=e^-x (-x²+2x+3)->f'(x)=0e^-x (-x²+2x+3)=0e^-x=0 Ciągłość i różniczkowalność: f(x)=(e^4x-1)/x dla x≠0 i 4 dla x=0 } b.roz lub (-x²+2x+3)=0

4x- f. jest ciagla dla x჎R,e^x- f. jest ciągła|| x- f. ciagla (e^4x-1)/x- iloraz e^4x-1 i x dla x ∈R ciagla

Lim _x0 f(x)=(e^4x-1)/x=[0/0]=h=(4e^4x )/1=[4/1]=4 f(x) jest ciągła dla x=0 f(0)=...*[f(x)-f(0)]/(x-0)* f `(0)=lim _x->0[((e^4x-1)/x)-4]/x=[(e^4x-1-4x)/x²]=[0/0]=h=lim (4e^4x-4)/2x=[0/0]=lim 16e^4x/2=[16/2]=8 - funkcja jest rozniczkowalna // jak jest liczba to OK a jak Ⴅ to nie jest

Min&max. 1. pochodna 2.f'(0)=..3.pisze f'(x)=0e..=0e..=0-brak rozw, e..>0 dla x∈R lub (równanie)=0 4.licze f od przedz. i to co należy do dziedziny, min&max porownuje i zapisuje.

(x²-3)e^-x->f'(x)=2xe^-x +( x²-3)e^-x *(-1)->f'(x)=e^-x (-x²+2x+3)->f'(x)=0e^-x (-x²+2x+3)=0e^-x=0

0' Ustalmy dowolne x,y჎R^* // δ(x,y)= |wzor |>= 0 poniewaz |a|>=0 2e^-4=2/e⁴

1' δ(x,y)=0x=y // δ(x,y)=|wzor|=0nad strzalka |a|>=0 x=y stad własność 1' spelniona

2' δ(x,y)= δ(y,x) // δ(x,y)=|wzor|=nad |a|=|-a| a∈R (x,y)=δ(y,x) stad własność 2' spelniona

3' δ(x,y)=|wzor|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|<= nad |a+b|=|a|+|b| =δ(x,z)+ δ(z,y)

Wszystkie war sa speln wiec wnioskuje ze δ jest metryka w X. // K(y,r)={X჎Dzied :δ(x,y)< r

δ(x,y)<r |x+-y|<r / -r<|wzor|<r / i robie dwa przedz. z lewej, prawej i licze x. np. 1>x i 1<x

[Ⴅ/Ⴅ] [Ⴅ-Ⴅ] [0*Ⴅ] [0/0] [0⁰] [Ⴅ⁰]-nieoznaczone;[Ⴅ+a]=Ⴅ [a/0]=Ⴅ [0/a]=0 K(y,r)=przedzial(x₁,x₂)

(f(x)+-g(x))'=f '(x)-+g(x) (af(x))'=af'(x) (x^k)'=kx ^k-1 k჎R (e^e )'= e^x e^-x =-e^-x (a^x )'= a^x ln a

(sqrt z `x', n-stopnia)' =1/(n*sqrt z x^n-1) [f(x)*g(x)]'=f `(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

[f(x)/g(x)]'=f `(x)*g(x)-f(x)*g'(x)] / [g(x)]² [cos⁵(7x)]'=35sin(7x)*cos⁴(7x)

(1/x)'= -1/x² (ln⁶x)'=6/x log⁵x (sin9x)'=9cos9x f(zw)'(za `x' wewn)*f ' (wewn) a^b=e ^{b ln a}

Indukcja 1.spr.dla n=1 ; L=P ; Dla n=1 równanie jest spełnione 2.Ustalmy dowolne n>=1 oraz załóżmy, że zachodzi (wzór)(założ.). Dowodzimy teraz że zach. (wzór z `n+1') (teza)

|| L_n+1=P_n+1 || Krok 1 i 2 dowodzą, ze spełnione są założenia twierdzenia o indukcji matematycznej dla równości (Wzór) więc wnioskujemy, że równość (wzór) jest prawdziwa dla wszystkich n∈N.

Granica z def. Należy wykazać ze dla dowolnego E>0 istnieje n_o∈R takie że dla n>n_o mamy

|Xn - g|<E || Ustalmy dowolne E>0. Wyznaczamy n₀, takie że dla n>n_o zachodzi |Xn - g|<E. || n₀=_max{1;x/E}, jeśli n>1 i n>x/E, wtedy n>n₀ i przy założeniu, że E>0, wynika, że spełniona jest nierówność co dowodzi, że lim _n->oo x_n=1/2 || Przyjmujemy n_o=_max{x/E;0} || Dla n>n_o mamy x/n<E więc dla n>n_o mamy |T(n)|<E. || Alemberta - ! Un+1/Un=r r < 1 zbieżny; r > rozbieżny Cauchego - sqrt n√Un=r r < 1 zbieżny, r > rozbieżny 2e^-4=2/e⁴

Twierdzenie porównawcze 0<=an<=bn dla n>no a-b=a²-b²/a+b a-b=a³-b³/a²+ab+b²

[(n-4)/(n-2)]⁴ⁿ=[(n-4)ⁿ/(n-2)ⁿ]⁴=[(e^-4)/(e^-2)]⁴=(e^-6)⁴=e^-24

---